Краткий курс общей физики

Сравнение формул (3.123) и (3.124) дает для индуктивности очень длинного соленоида выражение

где V – объем соленоида, V S.

Изменения силы тока в контуре сопровождаются возникновением электродвижущей силы самоиндукции õs, которая в случае, если индуктивность остается постоянной (в отсутствие ферромаг-

Знак «минус» в этой формуле можно также объяснить правилом Ленца, согласно которому индукционный ток направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей. В данном случае причиной, вызывающей õs , являетсяизменениесилытокавцепи.

Рассмотрим два расположенных рядом контура 1 и 2 (см.

При изменениях тока I1 в контуре 2 индуцируется ЭДС

õi2 L21 dI1 (3.128) dt

(мы предполагаем, что контуры жесткие и ферромагнетиков вблизи них нет).

Аналогично при протекании в контуре 2 тока силы I2 возникает сцепленный с контуром 1 поток 1 L12 I2 . При изменениях тока I2

в контуре 1 индуцируется ЭДС

õi1 L12 ddIt2 .

Контуры 1 и 2 называются связанными, а явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности L12 и L21 называются взаимной индуктивностью контуров. Соответствующий расчет показывает, что в отсутствие ферромагнетиков эти коэффициенты равны друг другу: L12 = L21. Измеряется взаимная индуктивность также в генри.

181

В настоящее время в технике наряду с постоянным током широко используется и переменный ток. Важное преимущество переменного тока над постоянным состоит в том, что напряжение переменного тока можно достаточно легко повышать или понижать практически без потерь энергии с помощью трансформаторов. Трансформаторы – это приборы, при помощи которых преобразуется напряжение переменного тока. Принцип работы трансформаторов основан на законе электромагнитной индукции.

Простейший трансформатор представляет собой две обмотки, навитые на один и тот же ферромагнитный сердечник (рис. 3.35). Концы первой обмотки подключаются к источнику переменного тока с напряжением U1. Эта обмотка называется первичной. К концам второй обмотки, на которых создается переменное напряжение U2, подключается нагрузка, потребляющая электроэнергию. Эта обмотка называется вторичной. Если U2 > U1, трансформатор называется повышающим. ЕслиU2 < U1, трансформаторназываетсяпонижающим.

При подключении первичной обмотки к сети переменного напряжения по ней течет переменный ток, создающий в обмотке переменное магнитное поле и переменный магнитный поток. Все линии магнитного поля, проходящие через витки первичной обмотки, проходят и через витки вторичной обмотки, т.е. поток через один виток вторичной обмотки точно такой же, как поток через один виток первичной обмотки. Это происходит потому, что магнитное поле в ферромагнетиках значительно превышает магнитное поле в воздухе и все замкнутые магнитные силовые линии практически без рассеяния идут внутри общего для обмоток сердечника.

Рис. 3.35

182

Замкнутый ферромагнитный сердечник, являясь «проводником магнитных силовых линий», представляет собой замкнутую «магнитную цепь» – магнитопровод, внутри которого проходят все силовые линии.

В результате электромагнитной индукции переменный магнитный поток в магнитопроводе создает в обеих обмотках ЭДС индукции, пропорциональную первой производной магнитного потока. Когда вторичная обмотка ни к чему не подключена (режим холостого хода), ЭДС индукции в первичной обмотке практически полностью компенсирует напряжение источника питания, поэтому ток через первичную обмотку невелик. Напряжение на вторичной обмотке в режиме холостого хода определяется коэффициентом трансформации – отношением числа витков первичной обмотки N1 к числу витков вторичной обмотки N2:

При подключении вторичной обмотки к нагрузке по ней начинает течь ток. Этот ток также создает магнитный поток в магнитопроводе, причем он направлен противоположно магнитному потоку, создаваемому первичной обмоткой. В результате в первичной обмотке нарушается компенсация ЭДС индукции и ЭДС источника питания, что приводит к увеличению тока в первичной обмотке до тех пор, пока магнитный поток не достигнет практически прежнего значения. В этом режиме отношение токов первичной и вторичной обмотки равно обратному отношению числа витков обмоток:

Отношение напряжений в первом приближении остается прежним. В результате мощность, потребляемая от источника в цепи первичнойобмотки, практическиполностьюпередаетсявовторичную.

Наиболее часто трансформаторы применяются в электросетях и в источниках питания различных приборов.

3.3.7. Энергия магнитного поля

Пусть имеется цепь, изображенная на рис. 3.36. При замкнутом ключе в соленоиде установится ток I, который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если разомкнуть ключ, то

183

через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в соленоиде ЭДС самоиндукции. Работа, совершаемая током за время dt,

Эта работа идет на приращение внутренней энергии сопротивления R, обмотки соленоида и соединительных проводов (т.е. на их нагревание). Совершение работы сопровождается ослаблением магнитного поля. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не проис-

ходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа (3.131). Таким образом, обозначив энергию сцепленного с соленоидом магнитного поля через W, можно написать, что

(работа dА равна убыли энергии).

Если индуктивность соленоида не зависит от I (L = const), то d = L dI и выражение (3.132) принимает вид

Проинтегрировав это выражение в пределах от 0 до I, получим выражение для энергии магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по которому течет ток I:

Выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само поле. В случае бесконечно длинного (практически

очень длинного) соленоида L 0 n2V , H = n I, откуда I Hn .

Подставляя эти значения L и I в (3.134), получим:

184

Магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия заключена в пределах соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью w, которую можно получить, разделив W

на V:

С учетом (3.113) выражение для объемной плотности энергии

магнитного поля можно переписать в виде

Данные соотношения получены на примере однородного поля соленоида, но они справедливы и для неоднородного поля.

Чтобы найти энергию магнитного поля, заключенную в некотором объеме V, нужно вычислить интеграл

3.3.8. Уравнения Максвелла

Если неподвижный контур находится в переменном магнитном поле, то, согласно открытию Фарадея, в контуре возникает индукционный ток, который свидетельствует о том, что изменяющееся во времени магнитное поле вызывает в контуре появление сторонних сил. Эти силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами в проводнике; они также не могут быть магнитными силами, поскольку такие силы работы над зарядами не совершают. Остается заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводнике электрическим полем (сторонних сил), причем циркуляция напряженности поля сторонних сил дает ЭДС индукции:

Данное выражение для ЭДС является обобщением соотношения (3.64) на случай замкнутого контура.

185

Согласно закону Фарадея (3.119) можем записать следующее:

Максвелл предположил, что изменяющееся со временем магнитное поле обусловливает появление в пространстве электрического поля независимо от присутствия в этом пространстве проводящего контура. Причем, это поле существенно отличается от порождаемого неподвижными зарядами электростатического поля. Электростатическое поле потенциально, его линии напряженности начинаются и оканчиваются на зарядах. Циркуляция напряженности электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю (см. (3.10)). Циркуляция напряженности поля, обусловленного изменяющимся магнитным полем, согласно (3.141) отлична от нуля. Следовательно, это поле, как и магнитное, является вихревым. Линии напряженности вихревого электрического поля замкнуты или уходят в бесконечность.

Итак, электрическое поле может быть как потенциальным, так и вихревым. В общем случае электрическое поле складывается из электростатического поля, создаваемого зарядами, и вихревого поля, обусловленного изменяющимся со временем магнитным полем. Из соотношений (3.10) и (3.141) получаем обобщенную теорему о циркуляции напряженности электрического поля:

где E – результирующая напряженность электростатического и вихревого электрических полей.

Таким образом, электрическое поле не только существует вокруг зарядов, но и порождается переменным магнитным полем. Рассуждая подобным образом, Максвелл пришел к выводу, что магнитное поле, в свою очередь, порождается не только током, но

186

Величина D DndS представляет собой поток вектора элек-

S

трического смещения D через поверхность S, ограниченную контуром .

Величина d D / dt есть скорость изменения этого потока, которую Максвелл назвал током смещения:

Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнит-

ного поля H по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов и тока смещения, охватываемых контуром.

Ток смещения – воображаемый ток. Это удобная модель явления, поскольку мы привыкли к тому, что магнитные поля создаются движущимися зарядами или токами. Нам проще считать, что источником некоторого дополнительного магнитного поля является не переменное электрическое поле, а некоторый ток смещения, дополнительный к обычным токам проводимости. Итак, теперь мы можем сказать, что в присутствии переменных электрических полей текут токи смещения, которые порождают магнитное поле наряду с токами проводимости.

Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии.

Основу теории образуют четыре уравнения Максвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль,

187

как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике.

Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения (3.142)

и (3.102):

Первое из этих уравнений связывает значения E с изменения-

ми вектора B во времени и является, по существу, выражением закона электромагнитной индукции. Второе уравнение указывает на отсутствие источников магнитного поля, т.е. магнитных зарядов.

Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения (3.143)

и (3.39):

Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнитным полем. Второе

уравнение показывает, что источниками вектора D служат сторонние заряды.

Отметим, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля: E и B . Во второй же паре фигурируют только вспомогательные величины: D и H .

Существование взаимосвязи между электрическим и магнитным полями указывает на то, что раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл. Действительно, чисто электрическое поле создается системой неподвижных зарядов. Однако если заряды неподвижны относительно некоторой инерциальной системы отсчета, то относительно других инерциальных систем эти заряды движутся и, следовательно, порождают не только электрическое, но и магнитное поле. Неподвижный провод с постоянным током создает постоянное магнитное поле. Однако относительно других инерциальных систем этот провод движется. Поэтому создаваемое им магнитное поле в любой

188

точке будет изменяться и, следовательно, порождать вихревое электрическое поле. Таким образом, поле, которое относительно некоторой системы отсчета оказывается чисто электрическим или чисто магнитным, относительно других систем отсчета представляет собой совокупность электрического и магнитного полей, образующих единое электромагнитное поле.

Одним из самых важных выводов, вытекающих из системы уравнений Максвелла, является вывод о возможности существования магнитного и электрического полей, не связанных с какими-то материальными источниками – зарядами. Электрическое и магнитное поля, порождая друг друга, могут распространяться в пространстве. Распространение электромагнитного возмущения называется электромагнитной волной. Радиоволны, видимый свет, инфракрасное, ультрафиолетовое, рентгеновское излучения, -излучение – все эти явления представляют собой электромагнитные волны, отличающиеся частотами колебаний полей и длинами волн. Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме (скорость света) c = 3 108 м/с. Она выражается через электрическую и магнитную постоянные (что само посебеуказываетнаэлектромагнитнуюприродусвета):

Примеры решения задач

№ 1. Два бесконечно длинных прямых провода скрещены под прямым углом. По проводам текут токи 80 А и 60 А. Расстояние меж-

ду проводами равно 10 см. Определите магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводников.

Да но: I1 = 80 А, I2 = 60 А; d = 0,1 м.

Р е ш е н и е. Согласно принципу суперпозиции полей проводники создают в точке А магнитные поля, которые

определяются векторами В1 и В2 соответственно, а суммарное поле характеризуется вектором B :

189

Поле бесконечного проводника с током определяется по формуле

B 2μπ0 Ir , где r d2 , μ0 = 4 ·10–7 Гн/м.

Тогда B1 μπ0dI1 ; B2 μπ0dI2

№2. Электрон в однородном магнитном поле с индукцией

В= 0,1 Тл движется по окружности. Найдите силу I эквивалентного

кругового тока, создаваемого движением электрона.

Д а н о: В= 0,1 Тл, me = 9,1·10–31 кг, qe = 1,6·10–19 Кл.

Р е ш е н и е. По определению сила тока I qt . Если за q взять

заряд электрона qe, то время t равно периоду вращения Т.

v Применим второй закон Ньютона для электрона:

№ 3. Круглая рамка с током (S = 15 см2) расположена параллельно магнитному полю (В = 0,1 Тл), и на нее действует вращаю-

190