Краткий курс общей физики

За единицу электроемкости принимается емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл. Эта единица называется фарадом, [C] = Ф. Емкостью

в1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом 9 109 м, т.е. радиусом,

в1500 раз большим радиуса Земли.

Емкость уединенных проводников невелика. Например, шар таких размеров, как Земля, обладает емкостью всего лишь 700 мкФ. Вместе стем бывают нужны устройства, которые при небольшом потенциале накапливали бы на себе большие заряды. Такие устройства называются конденсаторами. Это два проводника (обкладки), помещенные близко друг к другу. Для того, чтобы внешние тела не влияли на емкость конденсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают их относительно друг друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию удовлетворяют две пластинки, расположенные близко друг к другу, два коаксиальных цилиндра и две концентрические сферы. Соответственно бываютплоские, цилиндрическиеисферическиеконденсаторы.

Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии электрического смещения начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, сторонние заряды, сообщаемые обкладкам, имеют одинаковую величину и различны по знаку.

Емкость конденсатора

где U – напряжение между обкладками.

Пример. Пусть площадь обкладкиплоского конденсатора равна S, а расстояние между обкладками d << S. Зазор между обкладками предполагается заполненным диэлектриком с проницаемостью . Вэтомслучаенапряженностьполявдиэлектрике(поформуле(3.26))

E / 0 q / 0 S U / d.

Отсюда емкость плоского конденсатора

Располагая некоторым набором конденсаторов, можно получить много различных значений емкости, если применить соединение конденсаторов в батареи.

141

При параллельном соединении (рис. 3.13) одна из обкладок каждого конденсатора имеет потенциал 1, а другая 2. Поэтому на соединенных вместе обкладках накапливается суммарный заряд:

q qk Ck ( 1 2 ) ( 1 2 ) Ck .

Рис. 3.13

Разделив этот заряд на приложенное к батарее напряжение U 1 2 , найдем емкость батареи:

При последовательном соединении (рис. 3.14) пер-

вая обкладка каждого следующего конденсатора образует со второй обкладкой предыдущего единый проводник, на котором при подключении напряжения возникают индуцированные заряды –q и +q такой же величины, как заряд +q на первой обкладке первого конденсатора и заряд –q на второй обкладке последнего конденсатора. Поэтому напряжение на каждом из конденсаторовUk = q/Ck, анапряжениенавсейбатарее

3.1.7. Энергия электрического поля

Ранее было показано, что кулоновские силы потенциальны. Можно показать, что потенциальная энергия взаимодействия N точечных зарядов определяется формулой

142

где i – потенциал точки пространства, в которой находится заряд qi. Заряд q, находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов qi. Поверхность проводника является эквипотенциальной. Поэтому потенциал точек, в которых находятся точечные заряды qi, одинаков и равен потенциалу

проводника. Энергия проводника

Выразим энергию заряженного плоского конденсатора через характеристики поля в зазоре между обкладками. Подстановка (3.52) в (3.57) приводит к соотношению

В плоском конденсаторе поле однородно. Поэтому энергия распределена по объему конденсатора равномерно. Следовательно, в единице объема поля содержится энергия

w Wп 0 E2 .

V 2

Сучетом(3.37) полученноевыражениеможнопредставитьввиде

Величина w называется объемной плотностью энергии элек-

трического поля.

143

Соотношение (3.58) получено для случая, когда поле однородно. Однако оно будет справедливо для любого электрического поля.

Зная плотность энергии в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл:

Примеры решения задач

№ 1. Два одинаковозаряженныхмаленькихшарикамассойпо5 г, подвешенных на шелковых нитях длиной по 1 м, отталкиваясь друг от

друга, разошлисьна4 см. Найдитевеличину зарядакаждогошарика.

Дано: m = 5·10–3 кг, = 1 м, r = 0,04 м.

Р е ш е н и е. Условие равновесия шариков

144

4 10 2 10 6 1,33 10 8 Кл 13,3 нКл. 3

№ 2. Электрон, находящийся в однородном электрическом поле, получил ускорение 1012 м/с2. Найдите: 1) напряженность электростатического поля; 2) скорость, которую получит электрон за 10–6 с своего движения, если начальная скорость его равна нулю; 3) работу сил электростатического поля за это время; 4) разность

потенциалов, пройденную при этом электроном.

Дано: a = 1012 м/с2; t = 10–6 с; me = 9,1·10–31 кг; qe = 1,6·10–19 Кл.

Р е ш е н и е. По второму закону Ньютона

Скорость электрона v = at = 1012·10–6 = 106 м/с.

Работа электрического поля равна изменению кинетической энергии:

трическими сферами радиусами R1 = 5 см и R2 = 8 см. Сферы имеют заряды: q1 = 2 нКл и q2 = – 1 нКл. Определите напряженность электрического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях

r1 = 3 см, r2 = 6 см, r3 = 10 см.

Р е ш е н и е. Используем теорему Гаусса:

145

где qiохв – заряды, охваченные гауссо-

вой поверхностью. Выберем гауссову поверхность (воображаемую) в виде сферы радиусом r3, описанной вокруг заряженных сфер. Вектор напряжен-

ности Е3 в каждой точке гауссовой поверхности перпендикулярен ей и Е3 const . Поток вектора Е3 поля,

созданного обеими заряженными сферами,

ФE E3dS E3 dS E3 4πr32 .

SS

Вправой части теоремы Гаусса стоит алгебраическая сумма всех зарядов, находящихся внутри воображаемой поверхности (охватываемых этой поверхностью), т.е.

Внутри гауссовой поверхности радиусом r1 заряда нет, поток

ФE 0, следовательно, Е1 = 0.

№4. На пластинах плоского конденсатора равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью 0,2 мкКл/м2. Расстояние между пластинами равно 1 мм. Насколько изменится разность по-

146

тенциалов на его обкладках при увеличении расстояния между

пластинами до 3 мм?

Дано: σ = 0,2 мкКл/м2, d1 = 1 мм, d2 = 3 мм. Решение. Электроемкость конденсатора по

определению C qφ. Электроемкость плоского

пластинами конденсатора воздух, то = 1. Окончательно получим следующее изменение разности потенциалов:

№ 5. Конденсаторы соединены в батарею так, как показано на рисунке. Конденсаторы имеют следующие электроемкости: C1 = 0,2 мкФ,

С2 = 0,1 мкФ, С3 = 0,3 мкФ, С4 = 0,4 мкФ. Опре-

делите электроемкость С батареи конденсаторов.

Р е ш е н и е. Пары конденсаторов C1 и С2, С3 и С4 соединены параллельно, поэтому: C1,2 = C1 + С2 = 0,3 мкФ, С3,4 = С3 + С4 = 0,7 мкФ.

Исходная цепь преобразуется к цепи , где конденсаторы соединены последовательно. Отсюда

№ 6. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциалов U = 1 кВ. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Диэлектрик – стекло (ε = 7). Определите объемную плотность энергии поля конденсатора.

147

Р е ш е н и е. Энергия конденсатора W CU2 2 . Электроемкость

плоского конденсатора C ε0dεS . С учетом того, что объем конден-

сатора V = Sd, получим:

3.2.Постоянный электрический ток

3.2.1.Характеристики и условия существования постоянного тока

Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов. Носителями тока могут быть электроны, а также положительные и отрицательные ионы, т.е. атомы или молекулы, потерявшие либо присоединившие к себе один или несколько электронов. За положительное направление тока принято направление движения положительных зарядов.

Носители тока находятся в беспорядочном тепловом движении со скоростью v ~ 106 м/с. Через воображаемую площадку переносится в обоих направлениях одинаковый заряд, и ток отсутствует. При наличии электрического поля на хаотическое движение накладывается упорядоченное движение носителей – ток (подобно тому, как в газе на хаотическое тепловое движение молекул накладывается их упорядоченное движение – ветер).

Отношение заряда, проходящего через некоторую воображаемую поверхность (например, через поперечное сечение проводника), ко времени прохождения является скалярной величиной и на-

зывается силой тока:

148

Ток, не изменяющийся со временем, называется постоянным. Единицей силы тока является ампер, [I] = А.

Электрический ток может быть распределен по сечению, через которое он течет, неравномерно. В этом случае более детально ток

можно охарактеризовать с помощью векторной величины j, назы-

ваемой плотностью тока. Чтобы определить плотность тока в некоторой точке пространства, нужно взять в этой точке элементарную площадку dS , перпендикулярную к направлению упорядоченного

движения носителей тока. Разделив силу тока dI, текущего через эту площадку, на dS , получиммодульплотноститока(А/м2):

Поле вектора j можно изобразить с помощью линий тока, ко-

торые строятся так же, как и линии любого векторного поля. Линии постоянного тока замкнуты.

Если задано поле вектора плотности тока, можно вычислить силу тока, текущего через любую воображаемую поверхность S. Для этого нужноразбитьS наэлементарныеучасткиdS, черезкоторыетекуттоки:

dI j dS j dS cos jndS,

где jn – проекция j на нормаль к dS.

Просуммировав токи через все площадки, получим силу тока, текущего через поверхность S:

149

Скорость упорядоченного движения носителей тока u невелика. Например, у одного из лучших проводников – меди – при предельно допустимой техническими нормами плотности тока она составляет примерно 1 мм/с.

Для возникновения и поддержания в проводниках тока проводимости на заряженные частицы должны действовать силы, обеспечивающие их упорядоченное перемещение в течение конечного промежутка времени.

Кулоновские силы электростатического взаимодействия зарядов приводят к такому их распределению в проводнике, при котором напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю, а потенциалы всех точек проводника одинаковы. Поэтому электростатическое поле кулоновских сил не может обеспечить постоянного электрического тока в проводнике.

Для того чтобы в проводнике мог существовать постоянный ток проводимости, необходимо выполнение следующих условий:

а) напряженность электрического поля в проводнике должна быть отлична от нуля и не должна изменяться с течением времени; б) цепь постоянного тока проводимости должна быть замкну-

той;

в) на свободные электрические заряды помимо кулоновских сил должны действовать неэлектростатические силы, называемые сторонними силами. Сторонние силы могут быть созданы источни-

ками тока.

За счет сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника тока в направлении, противоположном действию сил электростатического поля. Благодаря этому на концах внешней цепи поддерживается разность потенциалов и в цепи идет постоянный электрический ток. Работа, которая необходима для обеспечения упорядоченного движения электрических зарядов в проводнике при прохождении по нему постоянного электрического тока, совершается за счет энергии источника тока.

Работа по перемещению заряда по проводнику в процессе протекания по нему электрического тока совершается кулоновскими

и сторонними силами, т.е. полная работа A Aкул Aст.

Полная работа, которая совершается при перемещении единичного положительного заряда на участке 1–2 электрической цепи, по которой протекает постоянный ток (рис. 3.16),

150