Краткий курс общей физики
..pdf
Д а н о: R = 6400 км; H = 600 км; M и m –
массы Земли и спутника.
Р е ш е н и е. По второму закону Ньютона man F , где F – сила всемирного тяготения,
F G Mr2m ; an – нормальное (центростремитель-
ное) ускорение, |
a |
v2 |
; r – |
радиус орбиты, |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
r |
|
|
|
|
r R H. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда m |
v2 |
|
G Mm |
v2 |
|
GM |
. |
||
r |
|
||||||||
|
|
r2 |
|
|
R H |
||||
Ускорение свободного падения у поверхности Земли
v
g0 G RM2
GM g0 R2 , где g0 ≈ 10 м/с2. Следовательно, v2 |
|
|
g0 R2 |
, откуда |
|||||
R H |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
v R |
g0 |
6,4 106 |
10 |
6,4 103 |
10 |
7,65 103 м/с. |
|||
R H |
(6,4 0,6) 106 |
7 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
№ 3. Груз массой 5 кг, связанный нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, с другим грузом массой 2 кг, движется вниз по наклонной плоскости. Найдите силу натяжения нити и ускорение грузов, если коэффициент трения между первым грузом и плоскостью 0,1. Угол наклона плоскости к горизонту 36°. Массами блока и нитей, а также трением в блоке пренебречь.
Д а н о: m1 = 5 кг; m2 = 2 кг; = 0,1; = 36°.
Р е ш е н и е. Рассмотрим движение каждого груза отдельно. Систему отсчета для каждого из грузов выберем свою. Для второго груза достаточно одной оси Y2, так как он движется вер-
тикально. На первый груз действуют: m1g – сила тяжести, N – сила нормальной реакции наклонной плоскости, T1 – сила натяжения нити, Fтр – сила трения (см. рисунок). По второму закону Ньютона
41
m1 a1 m1 g N Fтр.
Проектируя это уравнение на выбранные оси Х1 и Y1, получим:
m |
a |
m |
g sin α T |
F , |
* |
|||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
тр |
|
|
m1 g |
cos α N. |
|
** |
||||
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (**) находим, что N = m1g cos , и с учетом того, что Fтр = |
||||||||
= N, перепишем (*) иначе: |
|
|
|
|
|
|
||
m1 a1 = m1·g sin – T1 – m1 g cos . |
(***) |
|||||||
На второй груз действуют: m2 g – сила тяжести, T2 |
– сила на- |
|||||||
тяжения нити. По второму закону Ньютона |
|
|
||||||
|
|
m a m |
2 |
g T , |
|
|
||
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
или в проекции на ось Y2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 a2 = T2 – m2 g. |
|
(****) |
|||||
Из условия нерастяжимости нити следует, что, во-первых, оба
груза будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением, т.е. |
|||||||||||||||||||||
|
а |
|
|
|
а |
|
а; |
во-вторых, |
сила натяжения в любой точке нити будет |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т2 |
|
|
|
|
|
одинакова, |
т.е. |
|
Т1 |
|
|
|
|
Т. Тогда, решая совместно уравнения |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(***) и (****): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m a m g sin α T m g cos α, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 a T m2 g, |
|
|
|
||||||
находим: |
|
|
m1 g sin cos α m2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
g |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 m2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 10 0,59 0,1 0,81 2 10 |
0,78 м/с2 ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
|
Тm2 a m2 g 2 10 0,77 21,5 Н.
№4. Автомобиль массой 1 т движется со скоростью 36 км/ч по выпуклому мосту. Траектория движения автомобиля является дугой окружности радиусом 50 м. Определите вес автомобиля в верхней точкемоста.
42
Д а н о: m = 1000 кг; R = 50 м; v = 36 км/ч =
= 10 м/с. v
Р е ш е н и е. Согласно третьему закону Ньютона вес P N P = N. По второму
закону Ньютона для автомобиля m a = Nm g, или в проекции на ось Y:
m an N m g N m (g an ).
Нормальное (центростремительное) ускорение an v2 .
R
Тогда вес автомобиля
P m g |
v2 |
|
1000 10 |
|
100 |
|
8000 8 кН. |
|
R |
50 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
№ 5. Два шарика массами 6 и 4 кг движутся со скоростями v1 = 7 м/с и v2 = 5 м/с. Определите скорости шаров после центрального абсолютно упругого и неупругого ударов в случаях: 1) когда больший шар догоняет меньший; 2) когда шары движутся навстречу друг другу.
Р е ш е н и е.
Удар – это значительное изменение скоростей тел за очень малый промежуток времени их столкновения. При соударениях тела деформируются. Поскольку время соударения мало, импульсом внешних сил можно пренебречь, поэтому при соударениях выполняется закон сохранения импульса системы соударяющихся тел.
При абсолютно упругом ударе силы взаимодействия соуда-
ряющихся тел потенциальны. В результате такого взаимодействия механическая энергия системы не изменяется.
При абсолютно неупругом ударе между телами действуют непотенциальные силы, и после такого удара тела, как правило, движутся как единое целое с общей скоростью.
Удар называется центральным, если скорости тел до удара направлены вдоль линии, соединяющей центры масс тел.
Для центрального абсолютно упругого удара двух шаров выполняются законы сохранения импульса и механической энергии:
43
До соударения
v1 |
v2 |
m1 |
m2 |
|
x |
После упругого соударения
u1 |
u2 |
m1 |
m2 |
После неупругого соударения
u
m1 m2
m v |
m v |
2 x |
m u |
m u |
2 x |
; |
|
|
1 1x |
2 |
1 1x |
2 |
|
||
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
m1v1 |
m2v2 |
m1u1 |
m2u2 , |
||||
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
где v1x, v2x, u1x, u2x – проекции скоростей шаров на ось x. Решив
систему, можно получить проекции скоростей шаров после столкновения:
u1x (m1 m2 )v1x 2m2v2 x ;
m1 m2
u2x (m2 m1 )v2 x 2m1v1x .
m1 m2
В случае, когда больший шар
догоняетменьший, v1x = 7 м/сиv2x = 5 м/с. Тогда: |
|
|||||||
|
u |
(6 4) 7 2 4 5 |
5,4 м/с, u |
2x |
(4 6) 5 2 6 7 |
6,4 м/с. |
||
|
1x |
10 |
|
|
10 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
В случае, когда |
шары движутся навстречу друг другу, |
|||||
v1x = 7 м/с и v2x = ‒5 м/с, поэтому: |
|
|
|
|
|
|||
u |
(6 4) 7 2 4 5 2,6 м/с, u |
2 x |
(4 6) 5 2 6 7 |
10,4 м/с. |
||||
1x |
|
10 |
|
|
10 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Знак «минус» означает, что вектор скорости направлен против оси координат.
При центральном абсолютно неупругом ударе двух шаров выполняется закон сохранения импульса:
m1v1x m2v2 x (m1 m2 )ux ,
т.е. шары движутся как единое целое со скоростью
ux m1v1x m2v2 x .
m1 m2
Изменение механической энергии системы двух шаров
W W |
W |
(m1 m2 )u2 |
|
m1v12 |
m2 v22 |
|
||
к2 |
к1 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
m1m2 |
(v v |
)2 |
0. |
|
|
|||||
|
2(m1 m2 ) |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
44
В случае, когда больший шар догоняет меньший, v1x = 7 м/с и
v2x = 5 м/с.
Тогда
ux 6 7 4 5 6,2 м/с. 10
В случае, когда шары движутся навстречу друг другу, v1x = 7 м/с и v2x = – 5 м/с, поэтому
ux 6 7 4 5 2,2 м/с. 10
№ 6. Железнодорожный вагон массой 20 т надвигается на упор со скоростью 0,2 м/с. Обе буферные пружины вагона сжимаются, каждая на 4 см. Определите максимальное значение силы, дейст-
вующей на каждую пружину.
Д а н о: m = 20·103 кг; v = 0,2 м/с, х = 0,04 м.
Р е ш е н и е. Согласно закону сохранения энергии m2v2 2 kx22 ,
где k – жесткость одной пружины, k mv2 . 2x2
Сила, действующая на одну пружину, согласно третьему закону Ньютона равна силе упругости (закон Гука):
F F |
kx |
mv2 |
|
20 103 0, 22 |
10 |
10 |
3 |
10 кН. |
|||
упр |
|
2x |
|
2 0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№ 7. На концах однородного тонкого |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2ℓ/3 |
||||||||
стержня длиной 1 м и массой 3m прикреп- |
|
|
|
|
|
|
|||||
лены маленькие шарики массами m и 2m. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ℓ |
||||||
Определите момент инерции такой систе- |
|
|
|
|
|
|
|||||
мы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку О, лежащую на оси стержня. Принять m = 0,1 кг.
Р е ш е н и е. Полный момент инерции системы I Iст I1 I2 . Момент инерции стержня Iст находим по теореме Штейнера:
Iст IzC mстd 2 ,
где IzC – момент инерции стержня относительно оси, проходящей
45
через его центр масс (см. рис. 1.17), |
Iz |
|
|
|
|
1 |
|
mст 2 |
; d – расстояние |
|||||||||||||||
C |
12 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
между осями, d 2 |
|
4 3 |
|
. Тогда: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
– момент инерции стержня массой 3m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Iст |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
3m |
|
3m |
|
|
|
|
|
m |
; |
|
|||||||||||
12 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
– момент инерции точечной массы m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
I1 |
2 |
2 |
4 |
m |
2 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
m |
3 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
– момент инерции точечной массы 2m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
I2 |
2m |
|
|
|
9 |
m |
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
– момент инерции всей системы
I93 m 2 94 m 2 92 m 2 m 2 0,1 1 0,1 кг м2 .
№8. Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг м2, вращается, делая 20 об/с. Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найдите: 1) момент сил трения; 2) число N оборотов колеса до полной остановки.
Д а н о: I = 245 кг м2; ν0 = 20 об/с; ν = 0 об/с; t = 60 с.
Р е ш е н и е. По основному закону динамики вращательного движения
I ε Mтр.
Записываем его в скалярной форме, так как на колесо действует момент одной силы трения и направлен в сторонуМтр . Далее находим: Mтр I ω t ω0 , где ω0 = 2π·ν0, ω = 0 рад/с. Отсюда
Mтр 245 2π6020 513 Н м.
46
Для нахождения числа оборотов запишем кинематические
уравнения движения: ω = ω0 – εt, φ |
φ0 |
ω0t |
εt2 |
. |
|
||||
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учтем, |
что ω = 0, φ = 0, и, подставив ε |
ω0 |
в уравнение |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
φ |
ω0t |
εt2 |
, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 ω0t.
Учтем, что φ = 2πN 2πN 12 2πν0t , окончательно получим:
N12 ν0t 12 20 60 600 об.
№9. Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 0,5 об/с. Человек массой 60 кг стоит на расстоянии R/3 от центра платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние от человека до центра станет равным R? Платформа – однородный диск радиусом R, человек – точечная масса.
Д а н о: mд = 100 кг; mч = 60 кг; ν0 = 0,5 об/с; r0 = R/3; r = R.
R
д |
|
д |
Р е ш е н и е. Поскольку система является замкнутой, в ней выполняетсязаконсохранениямоментаимпульса. ВпроекцияхнаосьZ
I0ω0 = Iω или (Iд + Iч0) ω0 = (Iд + Iч) ω.
Подставим в это выражение следующие величины:
Iд 12 mдR2 , Iч mчr2 (см. рис. 1.17), ω0 = 2π·ν0, ω = 2π·ν.
47
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
m R |
2 |
m |
R 2 |
|
|
|
|
|
1 |
m R |
2 |
m R |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2πν |
0 |
|
|
|
|
|
|
2πν. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
д |
|
|
|
ч |
3 |
|
|
|
|
2 |
д |
|
|
|
ч |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Наконец, сократив, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
mд |
1 |
|
|
ν0 |
1 |
|
|
|
|
ν |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
9 |
mч |
|
2 |
mд mч |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ν ν |
0 |
|
|
(9mд |
2mч) |
|
0,5 |
|
|
|
900 120 |
|
0,26 об/с. |
||||||||||||||
9 (m |
2m ) |
9 (100 120) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№ 10. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого I = 1,5 кг·м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за 1 мин уменьшил частоту своего вращения с 240 до 120 об/мин. Определите работу сил торможения.
Да н о: I = 1,5 кг·м2; ν0 = 240 об/мин = 4 об/с; ν = 2 об/с.
Ре ш е н и е. Работа сил торможения равна убыли полной ме-
ханической энергии тела: A Iω202 Iω22 . Механическая энергия в
данном случае равна кинетической энергии вращающегося диска. Подставив в это выражение величины ω0 = 2π·ν0, ω = 2π·ν, получим:
A |
I 4π2 |
ν2 |
|
I 4π2 ν2 |
2π2 I (ν02 |
ν2 ) 2π2 1,5 (16 4) 355 Дж. |
|
0 |
|
||||
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
1.3.Колебательное движение
1.3.1.Характеристики колебаний
Колебания (колебательное движение) – это движения или про-
цессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени, например механические колебания тела, подвешенного на пружине, качание маятников, колебания струны, вибрации, электромагнитные колебания и др.
Разнообразные по природе, колебания могут иметь общие закономерности и описываться однотипными математическими методами.
Периодические колебания – колебания, при которых значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени, например положение
48
маятника в часах, абсолютное значение силы тока в сети переменного тока.
Периодом колебаний T называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение, [T] = с.
Частота – число колебаний в единицу времени. Единица измерения частоты – герц, [ ] = Гц. Частота – величина, обратная периоду: T1 .
Циклическая (круговая) частота 0 – число колебаний за 2
единиц времени, 0 = 2 , [ ] = рад/с.
Частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания – колебания, совершающиеся по закону синуса или косинуса.
Если некоторая материальная точка совершает гармоническое колебательное движение около положения равновесия вдоль некоторой оси x, то ее координата меняется по закону:
x Acos( 0t ),
где x – координата материальной точки, смещение из положения равновесия; A – амплитуда колебаний, максимальное отклонение от положения равновесия, A = xmax; – фаза колебаний, = 0t + ;– начальная фаза. Значения величин A и определяются из начальных условий в каждом конкретном случае. Циклическая частота 0 является характеристикой колебательной системы.
Система, совершающая гармонические колебания около положения равновесия, называется гармоническим осциллятором.
Простейшей моделью гармонического колебания является ко-
лебание проекции x конца радиуса-вектора r точки, движущейся по окружности радиусом A с постоянной угловой скоростью 0 (рис. 1.23). Такое представление гармонических колебаний называют
векторной диаграммой.
Угол поворота изменяется по закону рав- |
|
y |
|
|
|||
|
|
|
|||||
номерного вращения: = 0t + . Проекция |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
же конца радиуса-вектора точки изменяется |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
по закону |
|
|
|
|
x |
A |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|||
x Acos( 0t ). |
(1.96) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Колебания бывают свободными и вынуж- |
|
|
|
|
|
|
|
денными, затухающимиинезатухающими. |
Рис. 1.23 |
|
|
||||
49
Свободными называются такие колебания, которые происходят в системе, не подверженной действию переменных внешних сил. Примером могут служить колебания маятника, однократно выведенного из положения равновесия.
Если система консервативна, то в ней не происходит рассеяния энергии (диссипации).
Незатухающие колебания – колебания, происходящие в консервативной системе.
При гармонических колебаниях скорость
|
|
|
|
vx |
dx |
|
|
|
|
|
|
(1.97) |
|
|
|
|
dt |
A 0 sin( 0t ) vmax cos 0t |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
где |
A 0 |
vmax – амплитуда скорости. Из сравнения (1.96) и (1.97) |
||||||||||
следует, что скорость опережает смещение по фазе на |
(рис. 1.24). |
|||||||||||
|
|
|
Ускорение |
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
x |
dvx |
d2 x A 2 |
cos( t ) 2 x a |
|
cos( t ), 1.98 |
||||||
|
|
dt |
dt2 |
0 |
0 |
0 |
max |
0 |
|
|
||
где A 2 |
a – амплитуда ускорения. Из сравнения (1.96) и (1.98) |
|||||||||||
|
|
|
0 |
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
следует, что ускорение опережает смещение по фазе на , т.е. ускорение и смещение меняются в противофазе (см. рис. 1.24).
Из уравнения (1.98) также видно, что a |
x |
|
2 x, или |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
d2 x |
|
|
2 |
(1.99) |
|||
|
|
dt2 |
|
x 0. |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
Соотношение |
(1.99) |
называют |
||||||
|
дифференциальным уравнением коле- |
||||||||
|
баний (свободных незатухающих). |
||||||||
|
Функция |
(1.96) |
|
является решением |
|||||
|
этого уравнения. |
|
|
|
|||||
|
Определим силу, под действием ко- |
||||||||
|
торой происходят гармонические коле- |
||||||||
|
бания тела массой m вдоль оси x. По |
||||||||
|
второмузаконуНьютонасучетом(1.98) |
||||||||
|
F ma |
x |
m 2 x kx. |
(1.100) |
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Силы типа (1.100), пропорциональ- |
||||||||
Рис. 1.24 |
ные смещению тела из положения рав- |
||||||||
50