Составить программу вычисления значений функции F(x) на отрезке [а; Ь] с шагом ft. Результат представить в виде таблицы, первый столбец которой - значения аргумента, второй — соответствующие значения функции:

25.F(x) = sinx + 0,5 cosx.

ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ АРИФМЕТИКА

A

1.Дано натуральное число п. Найти сумму первой и последней цифры отого числа.

2.Дано натуральное число п. Переставить местами первую и последнюю цифры этого числа.

3. Даны два натуральных числа т и п . Проверить, есть ли в записи числа m цифры, одинаковые с цифрами в записи числа п.

4.Дано натуральное число п. Проверить, есть ли в его записи три одинако­ вые цифры.

5.Дано натуральное число п. Дописать к нему цифру к в конец и в начало.

6.Даны натуральные числа п, к. Проверить, есть ли в записи числа пк цифра т .

7.Среди всех 77-значных чисел (тг = 1, 2, 3, 4) указать те, сумма цифр

которых равна данному числу к.

8.Заданы три числа А, В, С, которые обозначают число, месяц и год. Найти порядковый номер даты, начиная отсчет с начала года.

9.Найти наибольшую цифру в записи данного натурального числа.

10.Проверить, является ли натуральное число р произведением последова­ тельных натуральных нечетных чисел, начиная с числа 3. Если да, то сколько

сомножителей взято?

11.Найти на отрезке [m;n] натуральное число, имеющее наибольшее коли­ чество делителей.

12.Задумано некоторое число х (х < 100). Известны числа к, т , п — остатки от деления этого числа на 3, 5, 7. Найти х.

13.Игрок А объявляет двузначное число от 01 до 99. Игрок В меняет ме­ стами его цифры и полученное число прибавляет к сумме его цифр. Полученный результат он объявляет игроку А. Игрок А проделывает с этим числом ту же процедуру, и так они продолжают поступать поочередно, объявляя числа. От суммы чисел берется остаток от деления на 100, поэтому объявляются лишь двузначные числа. Какие числа может объявить игрок А на начальном шаге, чтобы игрок В в некоторый момент объявил число 00.

В

1.Дано натуральное число п. Проверить, будут ли все цифры числа различ­ ными.

2.Найти все целые корни уравнения ах3 + Ьх2 + саъ-f- d = 0, где а, 6, с и d — заданные целые числа, причем а ф 0 и d ф 0.

Замечание: целыми корнями могут быть только положительные и отрицательные делители коэффициента d.

3.Дано натуральное число п. Поменять порядок следования цифр в этом числе на обратный.

4.Найти все делители натурального числа п.

5.Натуральное число М называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, включая 1, но исключая себя. Напечатать все совершенные числа, меньшие заданного числа N.

6.Натуральные числа а, Ь, с называются числами Пифагора, если выполня­

ется условие а2 + Ь2 = с2. Напечатать все неповторяющиеся тройки Пифагора, где а, Ь, с меньше заданного N.

7.Дано натуральное число п. Среди чисел 1, ..., п н е й т и такие, запись кото­ рых совпадает с последними цифрами записи их квадратов (например, б2 =36, 252 = 625).

8.Составьте программу, которая по номеру дня в году выводит число и месяц в общепринятой форме (например, 33-й день года — 2 февраля).

9.Долгожитель (возраст не менее 100 лет) обнаружил однажды, что если к сумме квадратов цифр его возраста прибавить число дня его рождения, то как раз получится его возраст. Сколько лет долгожителю?

10.Дано целое п > 2. Напечатать все простые числа из отрезка [2, гг].

11.Найти наименьшее натуральное число п, представимое двумя различ­ ными способами в виде суммы кубов двух натуральных чисел х3 + у3 (х > у).

12.Даны натуральные числа гг, т . Найти все натуральные числа, меньшие гг, квадрат суммы цифр которых равен т.

13.На отрезке [2; гг] определить число с максимальной суммой делителей.

14.Даны натуральные числа р и q. Получить все делители числа д, взаимно простые с р.

15.Для заданных натуральных п и к определить, равно ли число п сумме к-х степеней своих цифр.

16.Найти все тг-значные числа, сумма квадратов цифр которых кратна М.

17.Найти все натуральные числа, не превосходящие заданного п, которые делятся на каждую из своих цифр.

18.Задано натуральное число п. Найти количество натуральных чисел, не превышающих п и не делящихся ни на одно из чисел 2, 3, 5.

19.Пусть / п 77.-й член последовательности, определяемой следующим об­

разом:

/п = ~fn-1 —2/п_2, fi = 1, /2= —1.

Покажите, что 2n+1 - 7 есть полный квадрат.

20. Последовательность Хэмминга образуют натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Найти:

а) первые А элементов этой последовательности; б) сумму первых N элементов;

в) N -й элемент по заданному номеру Лг;

г) первый элемент, больший данного числа М, а также номер этого элемента в последовательности;

д) сумму всех элементов с номера N по номер М.

21. На отрезке [2; п] найти все натуральные числа, сумма цифр которых при умножении числа на а не изменяется.

С

1.Дано натуральное к. Напечатать к-ю цифру последовательности 12345678910111213.. ., в которой выписаны подряд все натуральные числа.

2.Дано натуральное к. Напечатать fc-ю цифру последовательности 149162536.. ., в которой выписаны подряд квадраты всех натуральных чисел.

3.Составить программу перевода натурального числа п из десятичной си­

стемы счисления в двоичную.

4.Составить программу перевода натурального числа п из десятичной в шестнадцатиричную систему счисления.

5.Дано натуральное число п. Переставить его цифры так, чтобы образова­

лось максимальное число, записанное теми же цифрами.

6.Дано натуральное число п. Переставить его цифры так, чтобы образова­ лось наименьшее число, записанное теми же цифрами.

7.Для записи римскими цифрами используются символы I, V, X, L, С, D, М,

обозначающие соответственно числа 1, 5, 10, 50,100, 500, 1000. Составить про­ грамму, которая запись любого данного числа п (п < 3999) арабскими цифрами переводила бы в запись римскими цифрами.

8.Используйте все цифры от 1 до 9 по одному разу в различных комбинациях

иоперации сложения и вычитания, чтобы получить в сумме 100.

9.Используя все цифры от 1 до 9 по одному разу, при условии, что цифры появляются в возрастающем или убывающем порядке. Например,

123 + 4 - 5 + 67 - 89 = 100

9 - 8 + 7 6 -5 + 4 + 3 + 21 = 100.

10. Палиндромы. Палиндром — это сочетания символов, которые читаются одинаково туда и обратно. Элементом палиндрома может быть буква (например,

КОК, ПОП, А РОЗА УПАЛА НА ЛАПУ АЗОРА), цифра (4884, 121) или слово (STRAP ON — NO PARTS).

10.1.Найдите целые числа, которые при возведении в квадрат дают палин­ дромы, например, 262 = 676.

10.2.Найдите целые числа-палиндромы, которые при вооведении в квадрат также дают палиндромы (222 = 484).

10.3.Найдите натуральные числа, которые при возведении в степень п дают палиндромы. Например II3 = 1331.

10.4.Дано натуральное число п. Если это не палиндром, реверсируйте его цифры и сложите исходное число с числом, полученным в результате реверсиро­ вания. Если сумма не палиндром, то повторите те же действия и выполняйте их до тех пор, пока не получите палиндром. Ниже приведен пример для исходного числа 78:

78

+87

165

+561

726

+627

1353

+3531

4884

11.Целое число можно представить как сумму его частей, называемых раз­

биениями. Например, число 4 можно представить как 4; 3 + 1; 2 + 1 + 1; 2 + 2; 1 + 1 + 1 + 1. Обозначим через Р{п) количество разбиений числа п; Р (4) = 5. Напишите программу, которая для данного числа п печатает его разбиения и

Р(п).

ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ “ПОДПРОГРАММЫ ”

1. Треугольник задан координатами своих вершин. Составить программу вычисления его площади.

2. Составить программу нахождения наибольшего общего делителя и наи­

А •В меньшего общего кратного двух натуральных чисел (НОК(А, В) = НОД(Л,В) )•

3.Составить программу нахождения наибольшего общего делителя четырех натуральных чисел.

4.Составить программу нахождения наименьшего общего кратного трех натуральных чисел.

5.Написать программу нахождения суммы большего и меньшего из 3 чисел.

6.Вычислить площадь правильного шестиугольника со стороной а, испольоуя подпрограмму вычисления площади треугольника.

7.На плоскости заданы своими координатами п точек. Составить про­ грамму, определяющую, между какими из пар точек самое большое расстояние. УказаниеКоординаты точек занести в массив.

8.Составить программу, которая в массиве A[N] находит второе по величине число (т.е. вывести на печать число, которое меньше максимального элемента массива, но больше всех других элементов).

9.Составить программу, проверяющую, являются ли данные три числа вза­ имно простыми.

10.Написать программу вычисления суммы факториалов всех нечетных чи­ сел от 1 до 9.

АС

11.Даны две дроби — и — (Л, В, С, D — натуральные числа). Составить

программу деления дроби на дробь. Ответ должен быть несократимой дробью.

12.Задан массив D из б элементов. Определить следующие суммы: D[1] -f D[2] + D[3]; £[3] + D[4] + D[5]; JD[4] + D[b] + D[6]. Пояснение. Составить под­ программу вычисления суммы трех последовательно расположенных элементов массива с номерами от к до т.

АС

13.Даны две дроби — и (Л, В, С, D — натуральные числа). Соста-

ВD

вить программу умножения дроби на дробь. Ответ должен быть несократимой дробью.

14. Даны две дроби А и С (Л, В, С, D — натуральные числа). Составить

ВD

программу вычитания из первой дроби второй. Ответ должен быть несократи­ мой дробью.

АС

15.Даны две дроби — и ~ (А, Я, С, D — натуральные числа). Составить

программу сложения этих дробей. Ответ должен быть несократимой дробью. 16. На плоскости заданы своими координатами п точек. Создать массив

размерности п х (п —1), элементами которого являются расстояния от каждой из точек до п —1 других.

17. Даны 4 числа X , У, Z, Т — длины сторон четырехугольника. Вычислить его площадь, если угол между сторонами длиной X и Y прямой.

18.Сформировать массив X(N), n-й член которого определяется формулой

19.Составить программу вычисления суммы факториалов всех четных чисел

от то до п.

20. Заменить отрицательные элементы линейного массива их модулями, не пользуясь стандартной функцией вычисления модуля. Подсчитать количество

произведенных замен.

21. Дан массив A{N). Сформировать массив В(М), элементами которого являются большие из двух рядом стоящих в массиве А чисел. (Например, массив

О, 3. Элементами массива В будут 2, 1,5, 2, 1,5.)

23.Дало простое число. Составить функцию, которая будет находить следу­ ющее за ним простое число.

24.Составить функцию для нахождения наименьшего нечетного натураль­ ного делителя к (к ф 1) любого заданного натурального числа тг.

В

1.Дано натуральное число N. Составить программу формирования массива, элементами которого являются цифры числа N.

2.Составить программу, определяющую, в каком из данных двух чисел

больше цифр.

3.Заменить данное натуральное число на число, которое получается из ис­ ходного записью его цифр в обратном порядке (например, дано число 156, нужно получить 651).

4.Даны натуральные числа К и N. Составить программу формирования массива А , элементами которого являются числа, сумма цифр которых равна К

икоторые не больше N.

5.Даны три квадратных матрицы Л, В, С тг-го порядка. Вывести на печать ту из них, норма которой наименьшая. Пояснение. Нормой матрицы считать максимум из абсолютных величин ее элементов.

6.Два натуральных числа называются “дружественными” , если каждое из них равно сумме всех делителей (кроме его самого) другого (например, числа 220 и 284). Найти все пары “дружественных чисел” , которые не больше данного числа N.

7.Два простых числа называются “близнецами” , если они отличаются друг от друга на 2 (например, 41 и 43). Напечатать все пары “близнецов” из отрезка [гг, 2тг],.где п — заданное натуральное число больше 2.

8.Написать программу вычисления суммы

р

для заданного числа п. Дробь —должна быть несократимой (р, q — натураль-

Я

ные).

9. Написать программу вычисления суммы

1+Ы +- + -п1

для заданного числа п. Результат представить в виде несократимой дроби - (р,

Я

q — натуральные).

10.Натуральное число, в записи которого п цифр, называется числом Амстронга, если сумма его цифр, возведенная в степень гг, равна самому числу. Найти все числа Амстронга от 1 до А:.

11.Написать программу, которая находит и выводит на печать все четы­ рехзначные числа вида abed, для которых выг?олняется:

а) а, Ь, с, d — разные цифры;

6)ab - cd = a + b -f c -f d.

12.Найти все простые натуральные числа, не превосходящие п, двоичная

запись которых представляет собой палиндром, т.е. читается одинаково слева направо и справа налево.

13.Найти все натуральные четырехзначные числа, цифры в которых обра­ зуют строго возрастающую последовательность (например, 1234, 5789).

14.Найты все натуральные числа, не превосходящие заданного п, которые делятся на каждую из своих цифр.

15.Составить программу для нахождения чисел из интервала [М; N], имею­ щих наибольшее количество делителей.

3 печати к-го члена в виде обыкновенной несократимой дроби. Например, а2 = - ,

«- х о ;

17.Дано натуральное число п. Выяснить, можно ли представить п в виде

произведения трех последовательных натуральных чисел.

18. Имеется часть катушки с автобусными билетами. Номер билета шести­ значный. Составить программу, определяющую количество счастливых билетов на катушке, если меньший номер билета — N, больший — М (билет является счастливым, если сумма первых трех его цифр равна сумме последних трех).

19.Написать программу, определяющую сумму трехзначных чисел, содер­ жащих только нечетные цифры. Определить тах.ье, сколько четных цифр в най­ денной сумме.

20.Из заданного числа вычли сумму его цифр. Йз результата вновь вычли

сумму его цифр и т.д. Через сколько таких действий получится нуль?

21.Составить программу разложения данного чатураяьного числа на про­ стые множители. Например, 200 = 23 •52.

22.Дано натуральное число п. Найти все меньшие п числа Мерсена. (Про­

стое число называется числом Мерсена, если оно может быть представлено в виде 2Р —1, где р — тоже простое число. Например, 31 = 25 —1 число Мер­ сена.)

23.Дано четное число п > 2. Проверить для него гипотезу Гольдбаха: каждое четное п представляется в виде суммы двух простых чисел.

24.Даны натуральные числа п и fc, п > 1. Напечатать к десятичных знаков

числа —. Программа должна использовать только целые переменные.

25. Дано натуральное число п > 1. Определить длину периода десятичной

записи дроби —.

26. Функция / с натуральными аргументами и значениями определена так: /(0 ) = 0, /(1) = 1, f(2n) = f(n), /(2n + 1) = /(•») + /( " + !)• Составить программу вычисления /(п) по заданному п.

Решите задачу, используя рекурсивную подпрограмму:

1.Найдите сумму цифр заданного натурального числа.

2.Подсчитать количество цифр в заданном натуральном числе.

3.Описать функцию C(m,n), где 0 < m < п, для вычисления биномиального коэффициента С™ по следующей формуле:

С ° = с ; = 1; C T - C ^ . + CTi1 при 0 < m < п.

4. Описать рекурсивную функцию Root(f>b, е), которая методом деления от­ резка пополам находит с точностью е корень уравнения /(х ) = 0 на отрезке [а, Ь] (считать, что е > 0, a < b, f(a) •f(b) < 0 и /(х ) — непрерывная и монотонная на отрезке [а, Ь]).

5. Описать функцию min(x) для определения минимального элемента линей­ ного массива х, введя вспомогательную рекурсивную функцию minl(k), находя­ щую минимум среди последних элементов массива х, начиная с к-то.

6. Описать рекурсивную логическую функцию Simm(S, /, J), проверяющую, является ли симметричной часть строки 5, начинающаяся г-м и кончающаяся j -м ее элементами.

7.Составить программу вычисления наибольшего общего делителя двух на^ туральных чисел.

8.Составить программу нахождения натурального числа, которое образу­ ется из данного при записи его цифр в обратном порядке. Например, для числа 1234 получаем ответ 4321.

9.Составить программу перевода данного натурального числа в р-ичную систему счисления (2 < р < 9).

10.Дана строка, представляющая собой правильную запись натурального числа в р-ичной системе счисления (2 < р < 9). Составить программу перевода этого числа в десятичную систему счисления.

11.Составить программу вычисления суммы:

1! + 2! + 3! + •■•+ п! (п < 20).

Примечание. Тип результата значения функции — Longlnt. 12. Составить программу вычисления суммы:

2! + 4! Н-------Нп! (п < 20, п — четное).

Примечание. Тип результата значения функции — Longlnt.

13*. Дано п различных натуральных чисел. Напечатать все перестановки этих чисел.

ОД Н ОМ ЕРН Ы Е М А С С И В Ы

А

1.В массив A[iV] занесены натуральные числа. Найти сумму тех элементов, которые кратны данному К.

2.В целочисленной последовательности есть нулевые элементы. Создать мас­ сив из номеров этих элементов.

3.Дана последовательность целых чисел а*,а2, ..., ап. Выяснить, какое число встречается раньше — положительное или отрицательное.

5.Дана последовательность натуральных чисел си,а2, ..., ап. Создать массив из четных чисел этой последовательности. Если таких чисел нет, то вывести сообщение об этом факте.

6.Дана последовательность чисел di,a2, ... ,ап. Указать наименьшую длину числовой оси, содержащую все эти числа.

7.Дана последовательность действительных чисел ai,a2, ... ,an. Заменить все ее члены, большие данного Z, этим числом. Подсчитать количество замен.

8.Последовательность действительных чисел оканчивается нулем. Найти количество членов этой последовательности.

9. Дан массив действительных чисел с количеством элементов N. Подсчи­ тать, сколько в нем отрицательных, положительных и нулевых элементов.

10. Даны действительные числа On. Поменять местами наибольший

инаименьший элементы.

11.Даны целые числа аь а2, ..., ап. Вывести на печать только те числа, для которых а,* > г.

12.Даны натуральные числа ai, a2, ..., dn. Указать те, у которых остаток от

деления на М равен L (0 < L < М —1).

13. В заданном одномерном массиве поменять местами соседние элементы, стоящие на четных местах, с элементами, стоящими на нечетных, без исполь­ зования дополнительного массива.

14. При поступлении в вуз абитуриенты, получившие “двойку” на первом экзамене, ко второму не допускаются. В массиве -А[71] записаны оценки экза­ менующихся, полученные на первом экзамене. Подсчитать, сколько человек Не

допущено ко второму экзамену.

15. Дана последовательность чисел, среди которых имеется один нуль. Вы­ вести на печать все числа до нуля включительно.

16. В одномерном массиве размещены: в первых N элементах значения ар­ гумента, в следующих — соответствующие им значения функции.. Напечатать элементы этого массива в виде двух параллельных столбцов (аргумент и значе­

ния функция).

17. Пригодность детали оценивается по размеру 5, который должен соот­ ветствовать интервалу А —6, А + 6. Определить, имеются ли в партии из деталей бракованные. Если да, то подсчитать их количество, иначе выдать от

о стоимости купли-продажи в банках города. В городе N банков, оставьте про­ грамму, определяющую, какой банк выбрать, чтобы выгодно обменять долл ры

каждой из них члены различны. Верно, ли что все члены второй последователь­ ности входят в первую последовательность?

31. Напишите программу, входными данными которой является возраст п че­ ловек. Программа подсчитывает количество людей, возраст которых находится в интервале 10 лет, а именно

0-9 лет

10-19 лет

20-29 лет и т. д.

Напечатать результаты расчетов в удобной для восприятия форме.

32.Дан массив X[N] целых чисел. Не используя других массивов, переста­ вить его элементы в обратном порядке.

33.Коэффициенты многочлена хранятся в массиве A[N] (N — натуральное число, степень многочлена). Вычислить значение этого многочлена в точке х (т.

е.a[N] •xN Н-------Ь а[1] •х + а[0]). Вычислить значение его производной в той же точке.

34.В массивах А[К] и B[L] хранятся коэффициенты двух многочленов сте­ пеней К и L. Поместить в массив С[М] коэффициенты их произведения. (Числа К, L, М — натуральные, М = К -I- L; элемент массива с индексом I содержит коэффициент при х в степени I.)

С

1.В одномерном массиве все отрицательные элементы переместить в начало массива, а остальные — в конец с сохранением порядка следования. Дополни­ тельный массив заводить не разрешается.

2.В одномерном массиве с четным количеством элементов (2N) находятся

координаты N точек плоскости. Они располагаются в следующем порядке: xi, yi, *2, 2/2! *з,Уз, и т.д. Определить минимальный радиус окружности с центром в начале координат, которая содержит все точки.

3. В одномерном массиве с четным количеством элементов (2N) находятся координаты N точек плоскости. Они располагаются в следующем порядке: хг, у\, *2 , 1/2 , *з,2/з, и т.д. Определить кольцо с центром в начале координат, которое содержит все точки.

4. В одномерном массиве с четным количеством элементов (2N) находятся координаты N точек плоскости. Они располагаются в следующем порядке: Х\, у\, *2 , 2/2 , *з,Уз, и т.д. (х{, yi — целые). Определить номера точек, которые могут являться вершинами квадрата.

5. В одномерном массиве с четным количеством элементов (2N) находятся координаты N точек плоскости. Они располагаются в следующем порядке: xi, 2/1, *2 , 2/2 , *з, 2/з, и т.д. Определить номера точек, которые могут являться вершинами равнобедренного треугольника.

6.Задан целочисленный массив с количеством элементов N. Есть ли среди элементов массива простые числа? Если да, то вывести их номера.

7.Дала последовательность целых чисел. Найти количество различных чисел

вэтой последовательности.