Механика композитных материалов 2 1979

индивидуального образца. Таким образом, нельзя непосредственно про­ верить выполнение условия (2 .1 ).

Остановимся более подробно на испытаниях по двухступенчатой про­ грамме. Пусть каждый образец выдерживается под нагрузкой с характе­ ристикой Si в течение отрезка времени TI, после чего подвергается дейст­ вию нагрузки с характеристикой s2 до разрушения. Время до разрушения определяется какх*=Х1+х2, где длительность второго отрезка х2 является случайной величиной, изменяющейся от одного образца к другому. Вели­ чины п и т2 связаны уравнением, вытекающим из условия (2 .1 ):

чины Ts(si|r) и Ts(s2|r), относящиеся к тому же образцу. Следовательно, чтобы непосредственно проверить выполнение уравнения (2 .2 ), следовало бы один и тот же образец разрушить трижды.

Экспериментаторы, занимающиеся исследованием закономерностей накопления повреждений, вместо условия (2 .2 ) проверяют в сущности некоторое аналогичное условие, в которое вместо х2(г) входит соответ­ ствующее математическое ожидание Е[т2]. Кроме того, вместо долговеч­ ности индивидуального образца xs(s| г) используются оценки для соответ­ ствующих математических ожиданий.

Математические ожидания Е{т2] и Е[т21s/t] должны вычисляться по от­ ношению к некоторым усеченным распределениям, отражающим тактику экспериментатора. Так, при испытаниях по двухступенчатой программе экспериментатор отбросит все образцы, разрушившиеся до выхода на вторую ступень, посчитав их «плохими». Длительность каждого испыта­ ния ограничена некоторой базой хв; поэтому образцы, которые не разру­ шились по истечении времени тв, также будут исключены из статистиче­ ской обработки. Множество значений вектора г, соответствующее усечен­

распределения р(г) для характеристики прочности, то из уравнения

Существенно, что уравнение (2.4), вообще говоря, отличается от линей­ ной зависимости 01 + 02= 1 . Оно отражает влияние истории нагружения, хотя исходное уравнение (2.2) является линейным. На рисунках 3 и 4 по­ казаны некоторые численные результаты. Они получены А. Ф. Ермоленко для стохастической модели: связь между долговечностью х и уровнем на­ пряжения s взята в виде:

гдехс — постоянная времени; m e[ 1 , оо); г — случайная величина с функ­ цией распределения

Здесь Го, гс — положительные постоянные; а е [ 1 ,оо). Эта модель соот­ ветствует семейству кривых длительной прочности, заданных с точностью

до одного случайного параметра г. Этот параметр может быть истолкован как характеристика прочности на базе испытаний тс. Рис. 3 соответствует ступенчатому нагружению при Si<S2, а рис. 4 построен для обратного по­ рядка нагружения. Зависимость условного математического ожидания Е[тг] от продолжительности первой ступени х\ обнаруживает эффект ка­ жущегося упрочнения, если нагрузка по ступеням возрастает, и эффект кажущегося разупрочнения при нагружении по убывающим ступеням. В данной модели эти эффекты порождаются исключительно усечением распределений согласно (2.3). На рисунках 3 и 4 шрихпунктирными ли­ ниями показаны границы 90% доверительных интервалов для статистиче­ ских средних из результатов 50 испытаний. Эти интервалы достаточно широки и включают на большой длине как линейную зависимость 01 + 02= 1 , так и кривую, соответствующую нисходящей программе нагру­ жения. Обычно экспериментаторы берут на каждую программу нагруже­ ния не более 10—12 образцов. Доверительные области при этом настолько расширяются, что не позволяют делать сколь-нибудь содержательных статистических выводов.

3. Рассмотрим еще один способ проверки гипотезы о линейном пра­ виле суммирования повреждений. Испытания проводятся по некоторой программе s(/), содержащей достаточно большое число блоков. Пере­ местив эти блоки в составе программы, например, образовав из них об­ ратную последовательность, повторяют эти испытания. Полагают, что если гипотеза верна, то времена до разрушения в обоих случаях должны совпадать. В действительности же результаты испытаний, относящиеся к двум различным образцам, могут различаться так же сильно, как и результаты стандартных испытаний на длительную прочность.

Другой подход к проверке гипотезы состоит в вычислении предельной величины меры повреждения и в сравнении ее с единицей. Под этой вели­ чиной следовало бы понимать интеграл или конечную сумму типа выра­ жений, стоящих в левых частях условий (2.1) или (2.2). Но так как функ­ ция Ts(s|r) для каждого образца неизвестна, то ее заменяют некоторой оценкой для математического ожидания E[TS(S)]. В конечном счете вместо предельной меры повреждения вычисляется характеристика типа:

(3.1)

О8

244

с тем лишь отличием, что вместо математического ожидания в формулу (3.1) подставляются некоторые подходящие оценки. Поскольку долговеч­ ность т* есть случайная величина, то и характеристика 0 будет случайной величиной. Сравнение ее с единицей лишено смысла.

Долговечность т* есть решение стохастического функционального уравнения (2.1). В некоторых случаях удается непосредственно выразить т* через г. Пусть, например, функция T = T S ( S | T ) имеет вид T = f(s)g (r). Тогда долговечность т* может быть исключена из уравнения, что дает:

Если задано распределение р(т), то при помощи формулы (3.2) можно вычислить распределение для величины 0. В качестве примера рассмотрим модель, задаваемую соотношением (2.5) и распределением Вейбулла (2.6) при го= 0. В этом случае g(r) =rm, так что функция рас­ пределения величины 0 принимает вид:

где р= а /т . Постоянная 0С, входящая в распределение (3.3), вычисляется следующим образом:

Математическое ожидание Е[0] в соответствии с формулами (3.3) и (3.4) оказывается равным единице, а коэффициент вариации WQ совпадает с коэффициентом wx, определяемым по формуле (1.5).

Распределение (3.3) в рамках принятой модели не зависит от про­ граммы нагружения и может быть положено в основу проверки совокуп­ ности соответствующих гипотез. Специально отметим, что величина 0 имеет такой же разброс, как и долговечность при стационарном режиме нагружения. Для сравнения сошлемся на известные данные5 (относя­ щиеся, правда, не к композитным материалам, а к металлическим конст­ рукциям), где минимальное наблюдаемое значение параметра типа 0 было равно 0,11, а максимальное оказалось равным 4,88.

4. После того как подходящая стохастическая модель разрушения вы­ брана, возникает вопрос о получении достоверных оценок для параметров модели. Применительно к моделям замедленного или усталостного раз­ рушения подбор параметров обычно производится одним из двух спосо­ бов. По первому способу вначале подбираются параметры механического уравнения состояния x = f(s) по методу наименьших квадратов или по методу квантилей, после чего делается попытка оценить параметры рас­ пределения долговечности. По второму способу подбор производится в обратном порядке: вначале оцениваются распределения долговечности при различных уровнях нагружения, после чего делается попытка свя­ зать эти результаты в единое распределение. Недостаток поэтапных под­ ходов заключается в том, что эти подходы требуют представительных вы­ борок на каждом уровне нагружения. Допустим, что нужно найти рас­ пределение долговечности на 10 уровнях напряжений и 10 уровнях температуры. Тогда при 50 испытаниях на каждый уровень нагружения потребуется 5000 испытаний. Кроме того, при поэтапном подборе пара­ метров результаты могут оказаться несовместимыми: например, не всегда удается по распределениям долговечности на разных уровнях найти объ­ единяющие соотношения.

245

Указанные недостатки преодолеваются, если использовать следующий алгоритм. Пусть модель разрушения задана уравнением

связывающим вектор w с вектором нагружения s (включающим также температуру и факторы среды) и вектором прочности г. Среди компонен­ тов вектора w, помимо долговечности т, могут содержаться другие харак­ теристики разрушения — остаточная деформация, работа разрушения и др. В уравнение (4.1) входит вектор параметров модели а. Этот вектор подлежит оценке наряду с вектором Ь, входящим в выражение для плот­ ности распределения р(г;Ь) вектора г. Особенность предлагаемого алго­ ритма состоит в одновременной оценке векторов а и Ь. При этом су­ щественно, чтобы размерности векторов w и г были одинаковы. Это тре­ бование представляется естественным, если учесть, что при более полном описании картины разрушения мы получаем и более полную информацию о свойствах образца. Наконец, требуется существование обратной функ­ ции r = f~l (w, s, а).

Пусть из испытаний на разных уровнях s/t получены реализации w& вектора w. Каждой реализации w^ соответствует семейство реализаций Tjk, параметрически зависящих от неизвестного вектора а, а по всем этим семействам можно построить семейство эмпирических распределений р(г;а). С другой стороны, имеется семейство теоретических распределе­ ний р(г;Ь), параметрически зависящих от неизвестного вектора Ь. За­ дача состоит в том, чтобы подобрать оценки векторов а и Ь, дающих наи­ лучшее в некотором смысле приближение функций р(г;а) к функциям р{г;Ь). Сделаем это по методу наименьших квадратов. В результате при­ ходим к условию

где сог — весовые коэффициенты, учитывающие значимость различных узловых значений г* вектора прочности г. Оптимизационная задача (4.2 ) решается при ограничениях, вытекающих из смысла компонентов век­ торов а и Ь.

Проиллюстрируем алгоритм на примере, в котором векторы w и г од­ номерны. Пусть обработка опытных данных ведется при помощи модели

где тс — время, соответствующее перелому на кривых длительной проч­ ности; показатели т\, т2 связаны неравенством г — случайная величина с распределением (2 .6). К данным длительных испытаний доба­ вим результаты кратковременных стандартных испытаний, постулируя линейную связь s=yr между случайным параметром г и пределом проч­ ности s. Таким образом, оценке подлежат вектор параметров уравнений механического состояния а= (тс, т\, /л2,у) и вектор параметров распре­ деления прочности b = (го,гс,а). Результаты применения алгоритма к об­ работке опытных данных, полученных путем цифрового моделирования, приведены на рис. 5. На диаграмме показаны опытные точки, а также квантили распределения длительной прочности. «Истинные» квантили на­ несены сплошными линиями, квантили, соответствующие оцененным зна­ чениям параметров модели, — штриховыми линиями. Хорошее согласие

246

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 2, с. 248—259

УДК 539.4:678.5.06

К. Чамис

ВЛИЯНИЕ МЕХАНИКИ КОМПОЗИТОВ НА МЕТОДЫ ИХ ИСПЫТАНИЙ*

В течение последних 12 лет механика композитов существенно способ­ ствует развитию методов испытаний композиционных материалов и ин­ терпретации их результатов, а следовательно, и значительному прогрессу технологии композитов в целом. Это и иллюстрируется в настоящей ра­ боте специально подобранными примерами. Использованные примеры ограничены областью личных интересов автора, однако они охватывают приблизительно десятилетний период исследований и могут считаться весьма характерными для оценки влияния на методы испытаний трех главных направлений механики композитов — микромеханики, макро­ механики и теории слоистых сред.

Микромеханика композитов. Влияние микромеханики на установле­ ние характеристик компонентов, определяющих прочность композита, по­ казано на двух примерах — исследовании свойств матрицы, определяю­ щих прочность на поперечное сжатие и отрыв и на межслоевой сдвиг1, и влиянии свойств компонентов на ударную вязкость композита2.

Свойства матрицы, влияющие на прочность композитов при попереч­ ном растяжении, сжатии и межслоевом сдвиге. Кривые напряжение—де­ формация для высоко- и низкомодульных смол-матриц показаны на рис. 1 , где представлены также деформационные кривые для однонаправ­ ленного композита, нагружаемого в поперечном направлении. Исполь­ зуемая в дальнейшем система обозначений приведена на рис. 1. Предель­ ные деформации матрицы етрт определяются точкой, при которой нели­ нейность диаграммы а —е становится существенной.

Определяющие уравнения микромеханики1 имеют следующий вид: прочность на поперечный отрыв 5 /22Г

Рис. 1. Кривые а —е при нагружении композита поперек волокон1 для высокомодульной матрицы с волокнами Модмор II (а) и низкомодульной матрицы с волокнами Торнел-бОБ

(б). 1 — композит, 2 — матрица.

Доложено на советско-американском симпозиуме «Разрушение композитных мате­ риалов» (Рига, сентябрь 1978 г.). Перевод Г. Г. Портнова.

248

прочность на поперечное сжатие S122C

ОQ ВтрС с .

Р У ф (.122

прочность на продольный сдвиг Si\2s

РУ фц12

В (1) — (3) р — теоретическо-экспериментальный коэффициент, отражаю­ щий влияние технологии изготовления композита; f3v — коэффициент, от­ ражающий влияние пустот; фд — коэффициент концентрации деформа­ ций в матрице; Т, С, S — растяжение, сжатие и сдвиг; етрт — предель­ ные деформации матрицы, определяемые из рис. 1, то же относится к сжатию и сдвигу; EI22, Gn2 — поперечный и сдвиговый модули соответ­ ственно.

В уравнениях (1) — (3) можно выделить три группы переменных, имеющих различный физический смысл. Эти группы легко устанавлива­ ются записью уравнения (1 ) в следующей форме:

где Р22г/Ру отражает особенности процесса производства и целиком нм определяется; £%г/фц2г определяется как «параметр прочности», завися­ щий от упаковки волокон и упругих свойств компонентов; етрт — пре­ дельные деформации матрицы, определенные выше. Соответствующие переменные в уравнениях (2 ) и (3) могут быть сгруппированы таким же образом и аналогично интерпретированы. Свойства матрицы влияют лишь на параметр прочности £/22/фц22 и на предельную деформацию етрт, тогда как отношение Рггг/Ру не зависит (по крайней мере явно) от упругих и прочностных свойств матрицы.

Изменение Ei22jц>ц22 и Спг/фщг в зависимости от модуля матрицы для композита Торнел-50—эпоксидная смола показано на рис. 2. Как видно из рисунка, модуль матрицы заметно влияет на прочностные параметры при поперечном нагружении и сдвиге. Данные, приведенные на рис. 2, за­ ставляют предположить, что испытания на поперечную прочность и проч­ ность на межслойный сдвиг должны быть чувствительны к модулю матрицы. Изменение параметра поперечной прочности Дгг/фцгг при из­ менении объемного содержания волокон показано на рис. 3 для трех зна­ чений модуля упругости матрицы, для материала без пустот и с 10 % со­ держанием пустот. Кривые рис. 3 показывают, что параметр трансвер­ сальной прочности чувствителен и к модулю матрицы, и к содержанию пустот. Однако он малочувствителен к объемному содержанию волокон. Это применимо и к параметру прочности при межслойном сдвиге.

Результаты, полученные при изучении микромеханики композитов, легли в основу экспериментальных исследований, описанных в1. Объеди­ нение теоретических и экспериментальных данных позволило сделать вы­ вод о том, что влияние матрицы на прочность композита определяется величиной начального модуля ее кривой деформирования. Чем выше на­ чальный модуль, тем выше прочность композита. Интересно отметить, что общий вид кривой а —е (вплоть до разрушения) не оказывает влияния на прочность композита1.

Свойства компонентов, определяющие ударную вязкость композита.

Энергия, накопленная в однонаправленном композите при однородном растяжении в направлении волокон, выражается следующим образом:

£ '= ^r 6*„lrS„,TV' или U = ( ^ - ) v ,

249

где U — энергия деформации; е* — разрушающие деформации; 5 — прочность; V — объем; Е — модуль. Группа индексов /ИГ обозначает следующее: I — однонаправленный композит, 11 характеризует направ­ ление внешней нормали к плоскости сечения и направление напряжений (по порядку), а Г — тип напряжений. Используя методы микромеханики, S/пт и Ещ можно выразить через свойства волокон и матрицы2. Ударная вязкость IED равна энергии деформации, деленной на объем. IED компо­ зитов с Ef/Em> 20 может быть аппроксимирована следующим образом:

следующие: k v , kf — объемное содержание пустот и волокон; (3/Т — коэф­ фициент понижения прочности волокон, отражающий влияние процесса переработки; индекс f — волокна. Существенным выводом из (4) явля­ ется квадратичная зависимость ударной вязкости от прочности воло­ кон SfT2 и коэффициента (3/г2. Исходя из уравнения (4) к ударопрочным композитам должны предъявляться следующие требования: волокна должны быть низкомодульными и высокопрочными, их прочность должна сохраняться после переработки, объемное содержание волокон должно быть высоким, а пустот — низким.

Ударная вязкость в поперечном направлении выражается следующим

образом:

<5)

Использованные обозначения опреде­ лены в уравнениях (1) —(3). Как и в (1 ), определяющей трансверсальную ударную вязкость характеристикой яв­ ляется модуль (Ет ). Описание IED различных композитов с использова­ нием уравнений (4) и (5) и сравнение теоретических значений с измерен­ ными представлены в табл. 1 . Как видно, совпадение является очень хорошим.

Рис. 2. Влияние модуля матрицы на параметры трансверсальной прочности (а) и проч­ ности межслойиого сдвига (б). Композит Торнел-50—эпоксидная смола с объемным со­ держанием волокон 0,5, без пустот1.

Рис. 3. Зависимость прочности на поперечное растяжение однонаправленного композита с волокнами Ториел-50 от содержания волокон, пустот и модуля матрицы1; _____ без пустот;---------- содержание пустот 0,1; — объемное содержание волокон.

250

Макромеханика композитов. Влияние макромеханики композитов на развитие методов испытаний характеризуется рассмотрением метода ис­ пытаний на одноосное нагружение под углом 10° к оси симметрии мате­ риала3. Схема образца для этого метода испытания представлена на рис. 4. При разработке метода испытания на сдвиг путем нагружения под углом 10° к оси симметрии (рис. 5) были использованы следующие урав­ нения макромеханики композитов: уравнения преобразования деформа­ ций к новым осям в случае плоского напряженного состояния

и критерии разрушения при плоском напряженном состоянии

: 0.

(8 )

Не определенные обозначения в (6)— (8) имеют следующий смысл: е — деформации; а — напряжения; 0 — угол между направлением нагруже­ ния и направлением волокон (см. рис. 5); 5 — прочность; Кт — функция упругих свойств композитов4; индекс I означает свойства в осях симмет­ рии композита; индекс С — свойства в осях, определяемых направлением нагружения; индексы Т, S — растяжение и сдвиг.

Изменение деформаций, действующих в направлении осей композита, в зависимости от направления нагружения для композита Модмор I— эпоксидная смола представлено на рис. 6. Как видно, деформации сдвига еп2 достигают максимума при 0 = 10° и вблизи этого угла малочувстви­ тельны к небольшим его изменениям. Именно поэтому метод испытания под углом 10° к направлению волокон рекомендуется использовать для

Примечание: I — в продольном направлении; II — в поперечном направлении. Э — эксперимент; Р — расчет.

251