Механика композитных материалов 4 1979

Преобразование связей между обобщенными перемещениями qa и Яь с учетом выражения (1) можно записать в виде:

В случае, когда конструкция состоит из большего числа суперэлементов, производится дальнейшее разделение границ. Уравнение (2) необходимо тогда расширить для согласования границ всех суперэлементов.

Выпишем уравнение движения для суперэлемента а в матричной форме (без учета демпфирования):

где Ка, Ма — матрицы жесткости и масс для суперэлемента а. Процедура их получения приведена в работе2. Уравнения типа (3) составляются для всех суперэлементов. Решением системы (3) является вектор собствен­ ных частот Q и соответствующая ему матрица собственных форм коле­ баний Z . Очевидно, порядок матрицы Z определяется числом степеней свободы данного суперэлемента. На практике для получения надежных результатов из общего числа форм колебаний суперэлементов достаточно удерживать несколько форм, отвечающих нижним тонам колебаний су­ перэлементов.

Введем новые координаты х\ и свяжем их с обобщенными перемеще­ ниями суперэлементов посредством удерживаемых форм следующим об­ разом:

Число обобщенных координат qa и т)ь будет определяться количеством форм, удерживае­ мых при анализе суперэлементов а и Ь, необ­ ходимых при исследовании конструкции в целом.

653

По аналогии с выражением (2) построим преобразование R2, связы­ вающее обобщенные перемещения всей конструкции с обобщенными ко­

ЧЬг

Если конструкция разделена на большее число суперэлементов, матрица преобразования R2 расширяется, чтобы учесть усеченные формы колебаний всех суперэлементов. Комбинируя выражения (2) и (4), можно получить преобразование координат системы, трансформирующей несвязанные координаты суперэлементов в координаты связанной системы, причем преобразование осуществляется с помощью усеченных форм колебаний. Матрица преобразования R3 будет иметь вид:

(5)

здесь R3= R 1R2 =

Далее, пользуясь выражением для полной потенциальной и кинетиче­ ской энергии, построим.матрицы жесткости К и масс М для всей системы:

K=R3T[КаО М= R3T МаО MbJ°1 R3.

Здесь индекс «т» означает транспонирование матрицы.

Уравнение динамики всей конструкции с использованием обобщенных координат т| = (т)аТ]{)}т запишется в виде:

ЦЬ

Собственный вектор уравнения (6) дает следующее преобразование, со­ ответствующее подстановке форм колебаний:

(7)

где 4я — матрица форм колебаний всей системы, полученная на основе форм колебаний отдельных суперэлементов; у — вектор обобщенных ко­ ординат, полученный с использованием форм колебаний отдельных супер­ элементов.

Перемещения суперэлементов а и b в связанной конструкции вычис­

Отметим, что точность изложенного выше метода в значительной сте­ пени определяется числом удерживаемых форм в каждом суперэлементе. Влияние числа удерживаемых форм на точность вычисления динамиче­ ских характеристик для прямоугольной, консольно закрепленной плас­ тинки, состоящей из четырех суперэлементов, показано на рис. 2.

654

Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 3. Суперэлементы для пластинки сложной в плане формы.

Рис. 4. Узловые линии для второй, третьей, шестой и восьмой форм собственных коле­ баний.

Матрицы масс и жесткости пластинки были получены на основе тео­ рии Кирхгофа4. В вычислениях удерживалось 5, 7 и 10 форм, соответ­ ствующих нижним тонам колебаний суперэлементов. По оси абсцисс на рис. 2 отложены номера определяемых форм колебаний, по оси орди­ нат — относительный процент ошибки вычислений, полученной при срав­ нении с результатами расчета пластинки, основанного на применении метода Бубнова—Галеркина. Результирующие матрицы масс и жесткос­ тей для пластинки имеют порядок 20X20 для пяти, 28X28 для семи и 40X40 для десяти низших форм колебаний суперэлементов, хотя матрицы для суперэлементов имеют порядок 60x60.

В качестве второго примера приведем результаты исследования дина­ мики пластинки из композитного материала, представляющей в плане контур самолета. Конструкция представлена набором из трех суперэле­

суперэлементов (см. рис. 3).

Узловые линии для некоторых вычисленных форм собственных коле­ баний пластинки построены на рис. 4.

Из рассмотренных примеров следует, что введение суперэлементов позволяет проводить эффективные исследования динамики сложных систем как изотропной, так и анизотропной структуры. При этом значи­ тельно расширяются возможности применения ЭВМ со средним объемом памяти, поскольку порядок результирующих матриц масс и жесткости для всей конструкции определяется только числом удерживаемых форм

ичислом суперэлементов, на которое разбивается конструкция.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., 1975. 539 с.

2.Вольмир А. С., Сметаненко В. А. Исследование собственных колебаний пластинок, выполненных из композиционных материалов, с помощью метода конечных элементов.

Механика полимеров, 1976, № 2, с. 284—288.

3. Holze Н., Boresi Р. Free vibration analysis using substructuring. — J. Structural

Division, 1975, N ST-12, p. 2627—2639.

4. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М., 1956. 416 с.

м е х а н и к а к о м п о з и т н ы х м а т е р и а л о в , 1 9 7 9 , № 4, с. 656—662

УДК 539.4:678.5.06

Г Г Портнов, В. Л. Кулаков

РАЗРУШЕНИЕ РАЗМОТКОЙ МАХОВИКОВ ИЗ КОМПОЗИТОВ

При вращении некоторых конструкций слоистых маховиков, изготов­ ленных намоткой (из высокопрочной стальной ленты, стеклоткани и т. д.), возможно отслоение последнего витка из-за разрушения связующего между ним и предыдущим витком1. Это разрушение возникает вслед­ ствие концентрации касательных и радиальных напряжений вблизи конца витка; распространяясь по спирали, образованной намотанной лентой, оно может привести к полному расслоению всего обода маховика. Подоб­ ного рода расслоение возникает иногда в кольцах или трубах, нагружен­ ных давлением; оно описано в2. Характер нагружения прослойки связую­ щего в этих двух случаях существенно различается. Это приводит к необходимости отдельного рассмотрения расслоения (так называемой размотки) под действием центробежных сил*. Целью работы является оценка напряжений, возникающих около конца витка ленты на поверх­ ности маховика, вращающегося с постоянной скоростью.

Лента представляется состоящей из жесткого слоя толщиной h2 и по­ датливой клеевой прослойки h\, соединяющей слой с нижележащими вит­ ками, которые будем считать однородным кольцом с внешним радиусом г0. Материалы слоя и прослойки линейно-упругие с окружными модулями EQ2и £01 соответственно, причем EQ2'^>EQI. Большая разница в жесткостях слоя и прослойки и малая их толщина относительно радиуса и толщины обода маховика позволяют принять следующие, упрощающие расчет пред­ положения: 1) модуль упругости податливой прослойки в окружном на­ правлении равен нулю (£01 = 0); следствием этого является 001 =0; 2) ок­ ружные напряжения в жестком (верхнем) слое постоянны вдоль радиуса

слоя (^ 2-=о) ; 3) материал верхнего слоя является бесконечно жестким

в радиальном направлении (£гг=оо); 4) напряженно-деформированное состояние нижележащего кольца (обода маховика) считается осесиммет­ ричным, т. е. его поверхность имеет лишь постоянные по величине ради­ альные перемещения UrQ.

Исследуем напряженное состояние прослойки с учетом этих предпо­ ложений. Условие <701 = 0 приводит одно из двух уравнений равновесия для плоской задачи в полярных координатах к виду:

дтГ01 дг Н—г тГ01 —0.

Из него можно сразу определить характер распределения касательных напряжений вдоль радиуса прослойки:

И2

Т Г0 1 = Т 12-------7Г . (И

*Следует отметить, что разматывающийся наружный слой может быть использован

икак своего рода предохранитель для монолитных маховиков. В этом случае параметры наносимого слоя и склейки подбираются таким образом, чтобы расслоение происходило при определенном, предельно допустимом числе оборотов. Отслаивающаяся лента тре­ нием о кожух будет тормозить его вращение.

656

где Ti2 — касательные напряжения на границе (г= г{) контакта слоя и прослойки. Распределение радиальных напряжений в прослойке в том же направлении можно получить из второго уравнения равновесия:

где pi — плотность материала прослойки; ю — угловая скорость махо­ вика. Оно имеет вид:

Г1 . <3X12 / Г!2

г- ).

где аГ12 — радиальные напряжения на границе контакта слоя и про­ слойки.

Перейдем к определению перемещений в прослойке. Учитывая, что aei = 0, определяем радиальные перемещения (ит\) следующим образом:

где Eri — модуль упругости прослойки в радиальном направлении. Ради­ альные перемещения на границе контакта (г = г\) с точностью до членов, содержащих /ii2/r02, имеют вид:

Перейдем к рассмотрению напряженного состояния во внешнем

(жестком) слое. Учитывая гипотезу = 0, распределение касательных

напряжений вдоль радиуса можно определить из уравнения равновесия

Для касательных напряжений на границе контакта получаем выражение

Обратимся ко второму уравнению равновесия для жесткого слоя:

Используя (4) для подстановки в правую часть (6) и граничное условие стГ2 = 0 при г = г2, получим следующее выражение для распределения ради­ альных напряжений вдоль радиуса слоя:

Радиальные напряжения на границе контакта слоев после отбрасыва­ ния членов с более высокими порядками малости имеют вид:

Таким образом, напряжения в слое и прослойке оказываются выра­ женными через касательные и радиальные напряжения (xi2, онг) на гра­ нице контакта. Для их определения запишем уравнение связи между напряжениями и перемещениями на границе слоев. Учитывая гипотезу

где U\2, U12 — радиальное и окружное перемещения на границе раздела слоев. Сдвиговые напряжения в прослойке выразим через ее деформации:

где G,.0i — модуль сдвига прослойки. Решим уравнение (9) относительно щ, подставив выражения для xroi (1) и ит\ (2), и определим окружное перемещение на границе раздела v\2 = v\ | г=п .

Уравнения (3), (5), (7), (8) и (10) являются системой разрешающих уравнений задачи. Сведя их к одному дифференциальному уравнению четвертого порядка относительно а©2 и пренебрегая членами с высокими

Для реальных материалов и относительных толщин слоев корни полу­ чаются действительными и решение уравнения (11) имеет вид:

где о©0 — частное решение уравнения.

658

Рис. 1. Распределение напряжений вдоль угловой координаты 0, начиная от конца ленть при значениях параметров 2W-En = 50; /i2//ii = l,5; hi/r0= 10-3; pi/p2=0,5; p2/po=l,2E

Рис. 2. Влияние отношения Ев2/Ет1 на величину максимальных напряжений при значе ниях параметров A2//ii=l,5; pi/p2=0,5; /ii/ro= 10-3; р2/р0 = 1,25.

в окружном направлении определялся через модули слоя и прослойки ш закону «смеси»). При этих условиях увеличение разности в упруги) свойствах слоя и прослойки приводило к уменьшению величины макси мальных напряжений (рис. 2).

Изменение соотношения толщин h2lh\ при заданных EQ2IEt\ проводи' лось при постоянной величине модуля упругости материала обода. Прак тически это соответствовало уменьшению или увеличению толщины про' слойки связующего в последнем витке. Увеличение толщины прослойки по отношению к толщине слоя приводило к уменьшению концентрации напряжений у конца ленты (рис. 3).

Для сравнительной оценки опасности возникновения размотки были проведены расчеты при значениях параметров, соответствующих четырел композитным материалам на эпоксидном связующем — стеклоборо,- угле- и органопластикам. Кроме этого, был рассмотрен маховик образованный намоткой стально!

ленты с нанесенным на ее поверхност эпоксидным связующим1. Результат! расчетов при различных значения к\/г0 приведены в таблице. Как видно наиболее велика опасность размотки маховиках из стеклопластиков и сталь ной ленты.

6G0

результаты расчетов. Эти обстоятельства позволяют вывести приближен­ ные формулы для вычисления максимальных радиальных и касательных напряжений:

По зависимости (18) для x"i2max получается оценка сверху, превышающая точное значение примерно на 15%; а для ari2max и Oriomax погрешность расчета по (19), (20) не превышает 5% в рассмотренном диапазоне пара­ метров. Значения напряжений, вычисленные по зависимостям (18) —(20), и соответствующие погрешности представлены в таблице.

Из проведенного анализа видно, что максимальные значения каса­ тельных и радиальных напряжений в прослойке имеют порядок окруж­ ных напряжений в маховиках. Поскольку прочность связующего на сдвиг и на отрыв на один-два порядка меньше прочности композитов на растя­ жение в направлении армирования, то разрушение размоткой слоистого маховика произойдет задолго до исчерпания им окружной прочности материала.

Примечания. Числа 10-2, 10'3, 10-4 обозначают относительные толщины /ii/r0.

/у /у

Ti2ranx, crri2max, (Triomnx — значения максимальных напряжений, вычисленные по при­

ближенным зависимостям (18)-—(20); в знаменателе указаны относительные погрешности. Характеристики композитных пластиков на эпоксидном связующем заимствованы

из работы3.

Отношение Л2/Л1 рассчитывалось условно по формуле Ii2/hi = V//(1 —к/), где Vf

процентное содержание арматуры.

661