Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий

и значением зависимой переменной в центре плана у0. Если раз­ ность превосходит ошибку опыта, то гипотеза о незначимости-коэф- фициентов при квадратичных членах не может быть принята. Од­ нако надо учесть, что сумма может быть незначима и при значи­ мых квадратичных эффектах, если они имеют разные знаки.

Для неадекватной модели мы не будем делать различия между случаями значимых и незначимых линейных коэффициентов рег­ рессии, поскольку решения для них обычно совпадают.

Решения, принимаемые для получения адекватной модели: изменение интервалов варьирования факторов, перенос центра плана, достройка плана.

Наиболее распространенный прием — изменение интервалов варьирования. Он, конечно, требует постановки новой серии опы­ тов. Иногда отказываются от построения адекватной модели, чтобы ценой нескольких опытов проверить возможность движе­ ния по градиенту. Это решение нельзя считать достаточно коррект­ ным. Движению по градиенту обычно предшествует оценка кри­ визны поверхности отклика (по сумме коэффициентов при квадра­

фектов взаимодействия невелик, то решение о движении по гради­ енту представляется возможным.

Еще одно решение: включение в модель эффектов взаимодейст­ вия и движение с помощью неполного полинома второго порядка. Этот прием связан с получением и анализом уравнений второго порядка. Направление градиента будет меняться от точки к точке.

Если область оптимума близка, то, как и в блок-схеме рис. 28, возможны варианты окончания исследования и перехода к постро­ ению плана второго порядка.

На рис. 29 приведена блок-схема принятия решений в задаче оптимизации для случая, когда линейная модель неадекватна.

Пример 5. Оптимизировался процесс получения фармацевтического препарата (карбометоксисульфанилгуанидина). В качестве факторов были выбраны: х1 — отношение растворителя к основному веществу, г!л\ хг — температура реакционной массы, °С; х3 — время реакции, мин.

Параметр оптимизации — выход продукта в процентах. Условия, мат­ рица планирования и результаты опытов приведены в табл. 11.2.

Получены следующие результаты:

градиенту.

200

ЛИ Н ЕЙ Н АЯ МОДЕЛЬ Н ЕА ДЕКВАТН А

Рис, 29. Принятие решений в задаче определения оптимальных условий; линейная модель неадекватна

Таблица 11.2 Матрица планирования и результаты опытов

Изменение интервалов варьирования факторов и попытка получения адекватной модели — в данной ситуации вполне приемлемое решение. Ин­ тервалы варьирования нужно изменить по факторам хг и х3. Изменение ин­ тервалов можно дополнить перенесением центра эксперимента в условия опытов 1 или 8, давших лучшие результаты.

Таким образом, это решение требует реализации еще восьми опытов. Проанализируем второе вполне возможное решение. Три эффекта взаимо­ действия (Ь13, Ь23, Ь123) оказались значимыми, так что постановка новой серии опытов с уменьшением интервалов варьирования представляется разумным решением. Но в то же время линейные эффекты не смешаны с эффектами взаимодействия, и их вклад в уравнение регрессии значительно превышает вклад взаимодействий. Напомним, что опыты дороги. Поэтому решение о про­ ведении двух-трех опытов крутого восхождения более всего в данной ситуа­ ции соответствует цели достижения максимального выхода с минималь­ ными затратами, хотя и существует риск не получить улучшения резуль­

татов.

При выполнении этой работы исследователи выбрали движение по гра­ диенту и улучшили результаты в два раза (см. гл. 12).

Особый случай возникает при использовании насыщенных пла­ нов. При значимости всех коэффициентов регрессии ничего нельзя сказать об адекватности или неадекватности модели. Движение

202

по градиенту в такой ситуации показывает правильность предпо­ ложения, что коэффициенты регрессии являются оценками для линейных эффектов.

Остановимся теперь на задаче построения интерполяционной формулы.

11.3.Построение интерполяционной формулы. Линейная модель неадекватна

Первое, что следует сделать при решении этой задачи,—вклю­ чить в уравнение эффекты взаимодействия. Конечно, такое реше­ ние возможно, если был применен ненасыщенный план. После введения эффектов взаимодействия может не хватать степеней сво­ боды и потребуется реализация еще двух-трех опытов внутри об­ ласти эксперимента для проверки гипотезы адекватности.

Все остальные способы построения интерполяционной формулы связаны с необходимостью проведения новых опытов. Один из них — достройка плана. Используются все те же приемы, что и при устра­ нении незначимости коэффициентов регрессии (стр. 196): метод «перевала», достройка до полного факторного эксперимента, до дробной рецлики, для которой ранее смешанные эффекты стано­ вятся «чистыми», достройка до плана второго порядка.

Рис. 30. Принятие решений в вадаче построения интерполяционной формулы; линейная модель неадекватна

203

Еще один, хотя и не очень распространенный прием,— преоб­ разование зависимых и независимых переменных, о котором упо­ миналось в гл. 2. Однако его подробное рассмотрение выходит эа рамки нашей книги.

Наконец, если не удалось все-таки получить адекватную модель, то остается разбить область эксперимента на несколько подоблас­ тей и описать отдельно каждую из них. Это требует уменьшения интервалов варьирования факторов.

Приведем блок-схему принятия решений в задаче построения интерполяционной формулы для случая, когда линейная модель неадекватна (рис. 30). Если линейная модель адекватна, то за­ дача решена.

Пример 6. В качестве факторов при построении математической модели ящичного экстрактора были выбраны: хх — диаметр турбинки, мм\ х2 — скорость вращения турбинки, об/мин; х3 — температура, °С; х* —концентра­ ция свободной кислоты в водном растворе, гэкв/л\ хй— высота слоя жидкости в ячейке, лиг, хв — соотношение фаз в эмульсии.

Параметр оптимизации — продолжительность полного расслаивания в мин. Условия, матрица планирования и результаты опытов приведены в табл. 11.3. Использована 1/4-реплика от полного факторного эксперимента 2е. Линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным. Затем были введены три несмешанных между собой эффекта взаимодействия факторов, имеющих

— 0,84XIX4 — О.бОа^в — 0,78х2х4.

Это уравнение адекватно описывает процесс s ^ = 0 ,3 9 . Рассчитанное зна­

чение F gKcn= 2,4 при табличном значении F = 2 , l . Уравнение было исполь­ зовано при проектировании промышленного аппарата.

Вот один из возможных приемов построения интерполяционной модели.

11.4. Резюме

Перевод модели с абстрактного математического языка на язык экспериментатора мы назвали интерпретацией модели. Интерпретация — сложный процесс, который проводится в не­ сколько этапов. Он включает оценку величины и направления вли­ яния отдельных факторов и их взаимодействий, сопоставление влияния совокупности факторов, проверку правильности априор­ ных представлений и в некоторых случаях проверку и выдвиже­ ние гипотез о механизме процесса.

Сочетание возможных действий с различными эксперименталь­ ными ситуациями приводит к десяткам тысяч возможных решений. Поэтому обсуждаются только «типичные;) решения. Ситуации разли­ чаются по адекватности и неадекватности модели, значимости и незначимости коэффициентов регрессии, положению оптимума.

Для линейной адекватной модели со значимыми коэффицибн-

204

Таблица 11.3 Матрица планирования и результаты опытов

Уровень *8 Хь Хь

тами регрессии возможны: движение по градиенту, план второго порядка, окончание исследования. Если часть коэффициентов ре­ грессии незначима, то возможен выбор одного из решений, позво­ ляющих получать коэффициенты регрессии значимыми: измене­ ние интервалов варьирования, перенос центра плана, отсеивание незначимых факторов, параллельные опыты, достройка плана. Кроме того, остается движение по градиенту, а если область оп­ тимума близка, то реализация плана второго порядка или окон­ чание исследования.

Наконец, если все коэффициенты незначимы, то выбираются решения по реализации плана второго порядка или окончанию исследования (область оптимума близка) либо решения, позволя­ ющие получать значимые коэффициенты регрессии (область опти­ мума далека и неопределенная ситуация).

Линейная модель неадекватна. Если область оптимума близка, то исследование либо заканчивается, либо реализуется план вто­ рого порядка. Такие решения, как изменение интервалов варьиро-

205

Глава двенадцатая

КРУТОЕ ВОСХОЖДЕНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ОТКЛИКА

Куда ведешь, тропинка милая?

Из песни

Решения, которые обсуждались в предыдущей главе, направ­ лены на то, чтобы обеспечить эффективное движение по градиенту. Давайте посмотрим, как на практике осуществить это движение.

12.1. Движение по градиенту

Посмотрите на рис. 31. На нем изображены кривые равного выхода поверхности отклика для двух независимых переменных. Они подобны линиям равной высоты на географических картах. Поверхность отклика имеет вид холма с вершиной в точке «О». Если попытаться попасть в окрестность этой точки из точки А с помощью одного из вариантов однофакторного эксперимента, то мы сначала должны стабилизировать первый фактор, например хъ и изменять в направлении АС второй фактор до тех пор, пока увеличивается выход. За точкой С выход падает, и поэтому в ней стабилизируем х2 и изменяем хх в направлении CD по такому же правилу и т. д.

Не кажется ли вам, что путь к вершине довольно извилист? Он становится еще более трудоемким при возрастании числа незави­ симых переменных. Наиболее короткий путь к вершине — направ­ ление градиента функции отклика. На рис. 31 это направление АВ, перпендикулярное линиям уровня. Градиент непрерывной од­ нозначной функции <р есть вектор

d 'f

+ £ ■ * .

d x i-

где Vcp — обозначение градиента, d^>/dxi — частная производная функции по г-му фактору, г, /, к — единичные векторы в Направ­ лении координатных осей.

Следовательно, срставляющие градиепта суть частные произ­ водные функции отклика, оценками которых являются-? как мы уже говорили, коэффициенты регрессии.

Изменяя независимые переменные пропорционально величи­ нам коэффициентов регрессии, мы будем двигаться в направлении

207

градиента функции отклика по самому крутому пути. Поэтому процедура' движения к почти стационарной области называется

крутым восхождением.

Величины ^составляющих' градиента определяются фоцмой по­ верхности отклика и темщрешениями, которые были приняты при выборе параметра оптимизации, нулевой точки и интервалов варьи­ рования. Знак составляющих градиента зависит только от формы поверхности отклика и полдя^ения нулевой точки (рис. 32).

Пусть интервал варьирования некоторого значимого фактора равен 10 единицам. Как вы считаете, изменится ли составляющая

градиента, если в качестве единицы измерения воспользоваться вначале миллиметром, а затем дюймом? Переход от миллиметров

В первом случае интервал варьирования равнялся 10 мм, а во втором — 254 мм. Такое изменение интервала варьирования не может не иметь последствий для значимого фактора. Сильно увели­ чится Коэффициент регрессии и вместе с ним — составляющая градиента.

В большинстве задач выбор размерности не является пробле­ мой. Этот выбор определяется характером задач, традициями и существующей системой мер и измерительных приборов. Когда

штабов.

Итак, для данной поверхности отклика выбраны нулевая точка и интервалы варьирования, проведен эксперимент и най­ дены оценки коэффициентов регрессии. После этого направление градиента задается однозначно и является единственным. При этом предполагается, что имеется только один оптимум.

Теперь займемся расчетом направления градиента.

208

12.2. Расчет крутого восхождения

Технику расчета крутого восхождений удобно рассмотреть на простейшем примере в случае одного фактора (рис.. 33).

-Значение коэффициента регрессии равно тангенсу угла между линией регрессии и осью данного фактора. Если его умножить на интервал варьирования, который является прилежащим катетом в прямоугольном треугольнике ОАВ, то получится противолежа­ щий катет А В , который и дает координаты точки, лежащей на градиенте.

Обобщение на случай к факторов делается механически, так как все эффекты независимы друг от друга. Существенно только соотношение произведений коэффициентов на соответствующие

Рис. 33. Расчет координат точек в направлении гради­ ента

интервалы. Их абсолютные величины могут все одновременно умно­ жаться или делиться на любое положительное число. При этом полу­ чаются точки, лежащие на том же градиенте, но с другим шагом. Эта процедура заключается в том, чтобы к нулевому уровню по­ следовательно алгебраически прибавлять величины, пропорцио­ нальные составляющим градиента.

Сразу возникает вопрос: а как выбрать шаг движения по гра­ диенту? Это еще один этап, для которого не существует формализо­ ванного решения. Небольшой шаг потребует значительного числа опытов при движении к оптимуму, большой шаг увеличивает веро­ ятность проскока области оптимума. Во всяком случае, аналогично выбору интервалов варьирования (гл. 6), нижняя граница задается возможностью фиксирования двух соседних опытов, а верхняя— областью определения фактора. Для облегчения работы шаги обычно округляют.

На расчет градиента не оказывает влияние Ь0. Для качествен­ ных факторов на двух уровнях либо фиксируется лучший уровень, либо градиент реализуется дважды для каждого уровня в отдель­ ности. Незначимые факторы стабилизируются на любом уровне в интервале +1 . Если нет специальных соображений, то выбирают нулевой уровень. Если же по экономическим соображениям, напри­ мер, выгодно поддерживать нижний уровень, то выбирают его. В движении по градиенту эти факторы не участвуют [1, 2].