Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчета

лосные случайные процессы. При выборе схематизации для спектраль­ ной плотности широкополосных процессов необходимо соблюдать ос­ торожность. Так, представление входного процесса в виде белого шума, часто применяемое в работах по теории виброзащиты, здесь оказыва­ ется некорректным, поскольку приводит к расходимости некоторых из интегралов (154)*.

§ 111.11. Н а д е ж н о с т ь и д о л го в е ч н о с ть си стем м а р к о в с к о г о т и п а

В предыдущих разделах для оценки надежности механических систем применялась спектральная теория случайных процессов. Дру­ гой путь открывает теория марковских процессов, элементы которой были изложены в § 1.10, 1.11. Напомним некоторые сведения.

Пусть эволюция системы в пространстве качества V представляет собой m-мерный марковский процесс v(/) = [у^), v2(t), ...,vm(t)]. Пусть в начальный момент времени t0 система находится в точке v0= (у10, уго, ..., Ут0). Эволюция системы при t > t 0 описывается переходной ве­

Здесь X; и %jh — интенсивности процесса, определяемые из соотно­ шений (1.149). Если рассматривать p(v, t | v0, t0) как функцию пере­ менных Ую, уго» •••. vm0, t„, то вместо (157) получим сопряженное урав­ нение

где Ху и Xy/t также являются функциями переменных vi0i v20t ...» vmC,

t0.

В дальнейшем для простоты ограничимся системами, у которых интенсивности Ху и xyft от времени явно не зависят**. Переходная ве­ роятность p(v, 1 1 v0, t0) будет зависеть при этом от разности моментов

* Более общую формулировку теории виброзащиты см.: Болотин В. В., «Теория оптимальной виброзащиты при случайных воздействиях». Труды МЭИ, вып. 74, Изд. МЭИ, 1970. Некоторые результаты расчета и моделирования на электронных аналоговых установках даны в статье: Комар Н. М., Окоп­ ный Ю. А-, Изучение надежности виброзащнтных систем методом электронного

моделирования. Там же.

** Это условие выполняется для стационарных систем, на входе которых заданы стационарные случайные процессы. Эволюция системы при этом, вообще говоря, будет нестационарным процессом.

(160), особенно в случае большого числа измерений, сложных облас­ тей и переменных коэффициентов весьма затруднительно. Проще опре­ деляются моменты распределения времени достижения границы

В частности, для математического ожидания вместо (164) получаем формулу

оо

0

Формулы (164) и (165) оценивают время достижения границы Г при условии, что при t = 0 система находилась в точке v„. Таким об­ разом, T(v0) — условная долговечность. Для математического ожи­ дания полной долговечности имеем формулу типа (163):

<Г) = [ (T(v0))p (\Q) d \ 0.

По

В дальнейшем знак аргумента в выражении для условной долговеч­ ности T(v0) опускаем.

Интегрируя уравнение (160) почленно по t в пределах от нуля до бесконечности, получим после преобразований уравнение относи­ тельно математического ожидания (165):

Это уравнение было получено впервые Л. С. Понтрягиным [21. Его решение должно удовлетворять условиям ограниченности, непрерыв­ ности и двукратной дифференцируемости внутри й 0 и граничному ус­ ловию

Простота граничного условия (167) подсказывает следующий путь построения приближенного решения поставленной краевой задачи [18]. Пусть фА(и10, v20 • ••> vmo) — некоторая полная внутри Q0система функ­ ций, удовлетворяющая всем условиям для <Г>. Ищем приближенное решение уравнения (166) в виде следующего усеченного ряда:

Согласно методу Галеркина коэффициенты Тк этого ряда должны опре­ деляться из следующей системы линейных алгебраических уравнений:

Здесь

рица. Тогда мы имеем классическую краевую задачу для уравнения эллиптического типа. Для некоторых задач такого типа сходимость метода Галеркина может быть строго доказана. Нас, однако, больше интересует скорость приближения к точному решению при сравнитель­ но небольшом числе п членов ряда (168). Для оценки характера при­ ближения рассмотрим несколько простейших задач, для которых по­

чиво. Предположим, что внешняя сила q(l) является дельта-коррели­ рованной стационарной случайной функцией с интенсивностью s. Найдем среднее время достижения границы отрезка —v* < ь < ц . Эта задача была рассмотрена в работе [2 ]. Она приводит к уравнению типа (166):

сграничным условием <Г> = 0 при v0 = ±и*.

Вбезразмерных переменных уравнение (171) и соответствующие граничные условия имеют вид

где 0 = у( Т) — безразмерное время достижения границы, £ ----- и0/и безразмерная координата. Безразмерный параметр

уи2

(172)

очевидно, пропорционален отношению квадрата характерного Размера допустимой области а* к средней длине «размыва» фазовой точки s (T)3a

характерное время системы т = 1/у. Решение задачи, удовлетворяю­ щее граничным условиям, будет

Найдем теперь приближенное решение. Из соображений симмет­ рии следует, что 0(£) = 0(—£). Поэтому примем

Ф .Ш -с о з ^ - (* = 1 ,2 ,...).

Эти функции удовлетворяют, очевидно, всем условиям для функции 0(Q. Используя формулы (170), найдем, что в первом приближении

На рис. 74 дано сопоставление решения по первому приближению с точным решением, которое показано штриховой линией. При этом

Рис. 74

принято, что р = 1. С приближением р к (я/2)2 первое приближение перестает быть удовлетворительным. Если взять два члена ряда, то вместо формулы (174) получим

При трех членах ряда соответственно находим

Результаты вычислений по этим формулам с учетом аналогичных вы­ ражений для 0Хи 02 приведены на рис. 75, где кривые /, 2 и 3 соответ­ ствуют одночленному, двучленному и трехчленному приближениям. Здесь же штриховой линией нанесена кривая 4, соответствующая зна-

чению 0(0) согласно точному решению (173). Как видно из графика, чем ниже уровень внешних возмущений, тем большее число членов ря­ да должно быть взято для получения удовлетворительного приближе­ ния. Приближение с тремя членами ряда дает удовлетворительные ре­ зультаты вплоть до р, = 5. Заметим, что в случае, когда точка £ = 0 соответствует неустойчивому равновесию (р < 0), процесс сходимости значительно быстрее.

В качестве второго примера для оценки погрешности приближен­ ного метода возьмем систему второго порядка [21:

для которой определим среднее время достижения границы v\ + v\ = = R 2. При Qi = Q2 — 0 и у > 0 эта система имеет устойчивый фокус

Переходя к полярным координатам г и ср, вместо системы (175) по­

9 = — Y + - ( — QiSini|) + Q2cos ф).

Рассмотрим случай, когда обобщенные силы могут быть представ­ лены в виде

Qi = Ягcos Ф — Яг sin ф;

Q2 = Я1 sln Ф + Яг cos Ф>

где ^(/) и q2(t)— стационарные случайные функции типа «белого шума». При этом выполняются условия

<Яг (0> = <<72 (0> = 0; <М0<7р (Н -т )> -5 арб(т),

щественных изменений. Сходное явление обнаружено ранее в мате­ матически аналогичной задаче о флаттере мембраны в сверхзвуковом потоке газа. По-видимому, в обеих задачах оказываются невыполнен­ ными условия известной теоремы, требующей полной непрерывности некоторых операторов.

Применим метод к механической системе с п степенями свободы. Движение этой системы описывается дифференциальными уравнениями

циенты; еа — коэффициенты демпфирования; ha — некоторые, вообще говоря, нелинейные функции обобщенных координат; qa — обобщенные

где sap — некоторые постоянные. При введенных ограничениях сов­ местная эволюция обобщенных координат и обобщенных скоростей будет представлять собой многомерный непрерывный марковский про­ цесс, описываемый уравнением Колмогорова. А именно, полагая

U a ^ V a , Ua = Vn+ a (a = 1, 2, ..., It)

и обозначая v = vu v2, ..., v2nf получим, что переходная вероятность p(v, 1 1v0, /0) должна удовлетворять уравнению (158) с интенсивностя­ ми:

Ра — п

В качестве примера задачи, которая приводит к уравнениям типа (181), можно указать на задачу о прощелкивании тонкой упругой кри­ волинейной панели, нагруженной случайными силами (рис. 77). Диф­

ференциальное уравнение, соответствующее простейшей модели такой панели, имеет вид

Здесь u(t) — обобщенная координата, характеризующая прогиб па­ нели; р — инерционный коэффициент; е — коэффициент Демпфиро­ вания; со0 — частота собственных колебаний; а и р — некоторые по­ стоянные. Если а > 0, Р > 0, то система имеет единственное поло-

жение равновесия v = 0, и оно устойчиво. Если а < О, р > 0, то си­ стема может иметь три положения равновесия (иъ и2, v3), одно из ко­ торых v = v 2 неустойчиво, а два других — устойчивы (рис. 78). При этом ненулевое положение равновесия v = v 3 соответствует прощелкнутому состоянию панели. Относительно обобщенной силы q {t), как и ранее, будем предполагать, что она является стационарной случай­ ной функцией типа «белого шума» с интенсивностью s.

Рассмотрим задачу об определении среднего времени <Т> выхода системы за пределы области, ограниченной петлей сепаратрисы, которая охватывает устойчивое нулевое положение равновесия. Пространством

Математическое ожидание (Т ) должно удовлетворять условию (167) где Г — петля сепаратрисы (см. рис. 78).

Пусть 2 а — длина отрезка, отсеченного указанной петлей сепарат­ рисы на оси vl t а 2 а 0Ь — наибольшая ширина в направлении оси v 2. Тогда петлю сепаратрисы можно приближенно заменить эллипсом, центр которого находится в середине отрезка, отсеченного петлей на оси v l t а полуоси эллипса равны а и щ Ь . Обозначим координату центра

Преобразуем уравнение (184) к виду

Здесь и в дальнейшем введены следующие обозначения:

В качестве параметра, аналогичного параметру |х, который был введен по формулам (172) и (178), здесь взят параметр

о о ,

р CDQа°

пропорциональный отношению характерной площади области abco0

к средней площади размыва s/p2coo за характерное время т ^ 1/со0. После выполненных преобразований эллипс, аппроксимирующий

соответствующую петлю сепаратрисы, превращается в окружность