Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчета

Подставляя выражение (42) в формулу (41) и производя замену пере­ менных

Проиллюстрируем применение формулы (43) на простом примере. Рассмотрим линейную систему с одной степенью свободы, находящуюся

Для вычисления корреляционной функции перемещения по задан­ ной корреляционной функции усилия необходимо построить функцию Грина h(t). Согласно (35), эта функция удовлетворяет уравнению

—+ 2е — + ш20/1 = б(/)

при нулевых начальных условиях. Вместо того, чтобы решать неодно­ родное уравнение, можно рассмотреть соответствующее однородное уравнение, принимая начальные условия в виде

h = 0, 4at = 1 (* = °)- Несложные вычисления дают

где через о)е обозначена частота собственных колебаний системы, вы­ численная с поправкой на силу трения,

( 0 ,= |/ (о2_ег.

При этом полагаем, что е < (о0, т. е. что трение меньше критического значения. Подставляя выражение (45) в формулу (43), получим

Пусть корреляционная функция внешнего воздействия имеет вид

где К0 — постоянная. При этом внешнее воздействие является дельтакоррелированным, т. е. представляет собой «белый шум». Подстановка выражения (47) в формулу (46) дает

До сих пор мы рассматривали реализации операторных соотноше­ ний (27), (29), (30) и т. д. для случая, когда внешнее воздействие (а так­ же и поведение системы) описывается единственной функцией време­ ни. Пусть теперь внешнее воздействие характеризуется п функциями времени q^t), q2{t)y...,qn(t), а поведение системы—т функциями време­ ни u1{t)9u2(t), ..., um(t). Пусть далее оператор Н является интеграль­ ным оператором с матрицей Грина

элементы которой hjk представляют собой реакцию /-й координаты си­ стемы на единичный импульс, соответствующий k-му воздействию (/ =

/ г = 1 - о о

Осредняя соотношение (49) по множеству реализаций, получим формулу, которая является обобщением формулы (36):

пt

<М0>=2 $ hjk {t,x){qh(x)ydx (/ = 1,2,... ,т). (50) k=1—оо

Для моментных функций второго порядка получаем формулу

=— = —<«А>-

Обозначим эти функции следующим образом:

Связь между корреляционными функциями входного и выходного про­ цессов дается формулой

п п i I tj

Эта формула обобщает зависимость (40). Дальнейшие упрощения, свя­ занные со стационарностью системы и (или) стационарностью про­ цессов, проводятся аналогично тому, как это было сделано ранее для одномерных процессов.

§ 1.5. Метод стохастических дифференциальных уравнений

Пусть связь между входным и выходным процессами задана в фор­

ме

где L — дифференциальный оператор. Уравнение (54) связывает слу­ чайные функции и(/) н q(/) и называется поэтому стохастическим диф­ ференциальным уравнением. Осредняя уравнение (54), а также урав­ нения, которые получаются из него умножением на u(/j), u(/2) и т. д., будем получать дифференциальные уравнения относительно момент­ ных функций выходного процесса. Такой путь определения момент­ ных функций, как указывалось ранее, называется методом стохасти­ ческих дифференциальных уравнений.

Связь между математическими ожиданиями входного и выходного процессов получим, осредняя уравнение (54) по множеству реализа­ ций. Если L — линейный детерминистический оператор, то он переста­

вим с оператором осреднения. В результате получаем уравнение отно­ сительно математического ожидания выходного процесса

Таким образом, математические ожидания связаны теми же дифферен­ циальными уравнениями, что и соответствующие реализации. Началь­ ные условия для математического ожидания выходного процесса по­ лучим осреднением начальных условий для реализаций. Так, если на­ чальные условия для реализации нулевые, то для математического ожидания также ставятся нулевые начальные условия.

Переходим к выводу дифференциальных уравнений относительно моментных функций второго и более высокого порядков. Формальный метод получения этих уравнений аналогичен выводу формул (27), (29) и (30). Пусть L — оператор, переводящий процесс q(4) в процесс и(4). Этот оператор действует только на функции переменной tk. Например, если

Запишем уравнение (54) для двух моментов времени tx Ф /2:

Но из второго уравнения (57) после умножения на q(/j) и осреднения находим

L <q(/x) и 0У> = <q(/2) q (L)>. *2

Учитывая эти соотношения, получим окончательно уравнение относи­ тельно моментной функции второго порядка:

'1 '2

Вообще, если 1Ъ /2, ..., tn — несовпадающие моменты времени, то момеитная функция /г-го порядка удовлетворяет уравнению

умножим каждое из них на произведение

d * u ( t h)

К

и осредним по множеству реализаций. В результате получим началь ные условия

Их симметричная форма находится в соответствии с условиями симметрии моментных функций по отношению к перестановке аргументов

ческой физики (например, методом разделения переменных) показы­ вает, что при начальных условиях, поставленных в форме (63), реше­ ние уравнения (62) существует и определяется единственным образом. , В качестве простого примера рассмотрим определение корреля­ ционной функции на выходе системы, движение которой описывается уравнением (44). Уравнение (60) для этой системы записывается так:

(If+:2 ‘5 7 +•“») ( щ + :2‘ 1 г + )*■<'*'«= <*»

Пусть начальные условия для центрированного выходного процесса u(t) — нулевые. Начальные условия для корреляционной функции мо­

ut2

так и в форме (64)

* • = 1 7 5 Г ° Л - о » '.= » ) •

По-видимому, можно ограничиться постановкой начальных условий при tx = 0, дополнив его условием симметрии корреляционной функ­ ции:

Если u(t) — стационарный случайный процесс, то

Обозначая /2 — tx = т и замечая, что

перепишем уравнение (65) следующим образом:

(^■-2es +fflS)(S+2' i +“!")'c“<,)='(«(,)- (67)

Дополнительные условия получим из рассмотрения свойств кор­ реляционных функций стационарного случайного процесса. Эта функ­ ция должна быть четной, т. е.

Кроме того, корреляционная функция и ее производные должны быть ограничены на бесконечности, а для корреляционной функции эргодического процесса выполняется более сильное условие

Заметим, что в силу условия четности (68) достаточно определить

решение (67) при 0 ^ т < оо. При этом, если процесс u(t) — дифферен­ цируемый, то из условия (68) вытекает, что

В противном случае при т = 0 должно быть задано условие скачка нечетных производных, которое устанавливается из рассмотрения поведения в нуле корреляционной функции Кд(т).

Допустим, что внешнее воздействие является стационарным белым шумом. Его корреляционная функция имеет вид (47). Из уравнения (67) видно, что четвертая производная от /Сц(т) содержит сингулярную составляющую /С06(т). Следовательно, третья производная имеет в

нуле скачок, равный -^/С0. Вместо неоднородного уравнения (67) с пра­

вой частью (47) рассмотрим соответствующее однородное уравнение

На бесконечности должно выполняться условие (69).

Решение уравнения, как обычно, ищем в виде Ки=Сегх, где г — ха­ рактеристический показатель. Уравнение для определения харак­ теристических показателей имеет вид

(г2—2ег+ ©о) (г2 + 2ег+ ©о) = 0.

соответствуют показатели с положительной действительной частыо. Таким образом,

К и(т) = Сх t + С2 е-(е+/«е)

Постоянные Сх и С2 находим из условий (70):

откуда после перехода к действительному выражению получаем окон нательную формулу

Эта формула выведена при т > 0. Заменяя в ней т на | т |, распро­ страним ее на всю действительную ось. Будучи переписана в таком ви­ де, полученная формула совпадает с формулой (48).

Метод стохастических дифференциальных уравнений легко обоб­ щается на случай, когда как внешнее воздействие, так и реакция си­ стемы являются многомерными процессами. Пусть внешнее воздейст­ вие описывается п функциями qi(t), q2(t)...... 7П(/), а поведение системы—

k=i

Уравнения относительно математических ожиданий-и моментных функций для многомерного процесса u^t), иЖ), .... um(t) получим, как

и ранее, осреднением. Так, для математических ожиданий имеем си* стему уравнений

2 £л<и*> = <^> (/= 1 ,2 , *=i

для моментных функций второго порядка — систему уравнений

И Т. Д .

§ 1.6. Метод спектральных представлений

Среди эффективных методов решения задач прикладной математи­ ки особое место занимает метод преобразований Фурье. Представляя функции (оригиналы) в виде обобщенных рядов или интегралов Фурье, мы заменяем операции над оригиналами соответствующими операция­ ми над коэффициентами ряда Фурье или трансформантами Фурье. При надлежащем выборе преобразования операции над коэффициентами или трансформантами Фурье могут оказаться значительно проще, чем операции над оригиналами. На заключительном этапе мы вновь воз­ вращаемся к пространству оригиналов. Частными случаями этой ши­ роко известной методики являются методы преобразований Лапласа, Фурье, Фурье — Бесселя и т. п.

Распространение метода преобразований Фурье на случайные функции будем называть методом спектральных представлений. Суть этого метода состоит в том, что случайная функция представляется в ви­ де обобщенного ряда Фурье со случайными коэффициентами или в виде обобщенного интеграла Фурье, спектр которого есть случайная функция. Действия над заданной случайной функцией заменяются действиями над ее коэффициентами или трансформантой Фурье. Часто такой подход дает весьма ощутимые преимущества [97]. Хорошо из­ вестным примером служит представление центрированного стацио­ нарного случайного процесса в виде стохастического интеграла Фурье. При любом спектральном составе заданного процесса его трансфор­ манта Фурье оказывается стационарным «белым шумом».

Остановимся на методе спектральных представлений подробнее, начав со случая представления функции в виде ряда Фурье. Пусть случайная функция q(t) может быть представлена в виде конечного или бесконечного ряда

любая реализация процесса q(t) может быть удовлетворительно аппро­ ксимирована рядом (71). Случайный процесс q(t) будет задан, если из­

вестна совместная плотность вероятности p(Qx, Q2, •••) коэффициентов ряда (71) или полная система моментов этих коэффициентов.

Рассмотрим прохождение процесса, заданного в форме (71), через линейную детерминистическую систему. Пусть связь между входные и выходным процессами задана в форме (54). Подставляя ряд (71) 0 уравнение (54) и учитывая линейность системы, получим представле­ ние для выходного процесса в виде

Здесь Qu Q2, ... — коэффициенты ряда (71), фх(/), ф2(/),... — детер­ министические функции, определяемые из решения уравнения

Моментные функции выходного процесса u(t) определяются осред­ нением ряда (72) и рядов, получаемых перемножением (мы предпола­ гаем, что перестановка оператора L и операции суммирования, пере­ множение рядов и т. п. допустимы). Для математического ожидания выходного процесса получаем формулу

Моментная функция второго порядка выходного процесса вычисляется по формуле

и т. д. Таким образом, при заданных моментах коэффициентов ряда (71) решение задачи о прохождении процесса через линейную систему сводится к решению вспомогательного детерминистического уравне­ ния (73) и применению формул типа (74) и (75).

Рассмотрим простой пример применения только что выведенных формул. Пусть линейная колебательная система, уравнение которой имеет вид (44), при / < 0 находится в покое. В момент t = 0 к системе прикладывается случайная нагрузка

лагаем известными. Очевидно, мы имеем здесь частный случай разло­ жения (72). Уравнение (73) запишется для данного случая следующим образом: