10.4. Способы аппроксимации конвективных членов

Как мы уже убедились при анализе схемных ошибок, аппроксима­ ция конвективного члена уравнения переноса играет важную роль в чис­ ленном решении этого уравнения. Поэтому целесообразно провести сравнительный анализ нескольких наиболее распространенных разност­ ных схем на регулярной сетке.

Схема с центральнымиразностями

консервативна, так как конвективный член записан в дивергентной фор­ ме, имеет второй порядок точности, поэтому она свободна от счетной диффузии. Однако главным недостатком этой схемы является, как мы уже убедились ранее, ее нетранспортивность. Поэтому схема (10.55) применяется в расчетной практике редко, в основном при малых числах Рейнольдса (Пекле).

В первой схеме сразностями против потока используются одно­ сторонние разности, а не центральная разность, причем при положитель­ ной скорости потока используется формула лево-, а при отрицательной - правосторонней разности, т.е.

м,. < 0 ,

(10.56)

м, > 0

Зависимость односторонних разностей от знака скорости приводит в отличие от предыдущей схемы к выполнению свойства транспортивности, при котором перенос возмущения обеспечивается всегда в направ­ лении потока. Однако схема (10.56) не консервативна, имеет первый порядок точности, т.е. обладает счетной диффузией, пропорциональной сеточному числу Рейнольдса (Пекле).

Вторая схема с разностями против потока известна как схема с донорнымиячейками. В ней используются усредненные значения ско­ ростей на границах ячейки, содержащей узловую точку

Эта схема не консервативна. Кроме того, центральные разности во второй производной делают ее и нетранспортивной. Но она имеет второй порядок точности и свободна от счетной диффузии.

Способы аппроксимации конвективных членов можно продолжить. Однако уже рассмотренные способы достаточно иллюстрируют слож­ ность проблемы устранения схемных ошибок и построения нейтраль­ ных разностных схем уравнений переноса.

10.5. Устойчивость

В процессе решения дискретного аналога уравнения переноса на компьютере ошибки округления, аппроксимации, схемные ошибки проявляются в виде возмущений. Кроме того, возмущения вносятся краевыми условиями. Суммарные возмущения в процессе вычислитель­ ного эксперимента могут затухать или возрастать. В первом случае гово­ рят об устойчивом численном алгоритме. Во втором случае появляются осцилляции нарастающей амплитуды, суммарные возмущения увеличи­ ваются до больших значений, и численное решение теряет всякий смысл. Численный алгоритм неустойчив.

Причиной неустойчивости может быть чрезмерно большой шаг по времени. В этом случае говорят о динамической неустойчивости. Дина­ мическая неустойчивость устраняется уменьшением шага сетки по вре­ мени. Другой причиной неустойчивости может бьггь нарастающая ошибка, не устраняемая уменьшением шага сетки по времени. Появле­ ние такой нарастающей ошибки называется статической неустойчиво­ стью, обусловленной, как правило, схемными ошибками. Статическая неустойчивость устраняется переходом к нейтральным конечно-разно­ стным схемам.

и проведем анализ устойчивости его конечно-разностного аналога при явной схеме аппроксимации методом дискретных возмущений. Конвек­ тивный член аппроксимируем разностью против потока, полагая м>0. Накладывает на Siik.j возмущение s, что дает

2 ^ ^

+ 1> 1,

Л,2

которое в частном случае при A=v выражается через сеточное число Рей­ нольдса

Следовательно, ограничение на шаг сетки (10.63), являющееся усло­ вием отсутствия счетной диффузии, одновременно является и условием отсутствия осцилляций численного решения.

Возвратимся к уравнению (10.61). В силу требования устойчивости возмущения должны затухать, т.е.

(10.64)

Если выражение в круглой скобке (10.61) равно нулю, что справедливо при

то условие затухания приводит к неравенству

где С - число Куранта. Отсюда вытекает ограничение на шаг сетки по времени:

Таким образом, для обеспечения устойчивости численного решения необходимо выбирать число Куранта меньше единицы, откуда следует ограничение (10.67) на шаг сетки по времени. Ограничение на шаг сетки по координате (10.63), вытекающее из неравенства (10.62) для сеточного числа Рейнольдса, позволяет проводить расчеты без осцилляций (раска­ чивания) численного решения. Поскольку условие (10.62) является жест­ ким, особенно при больших числах Рейнольдса и Грасгофа, то устойчи­ вый алгоритм решения, удовлетворяющий условию (10.67), может не удовлетворять условию (10.62) и давать осциллирующее решение.

Полученные неравенства устойчивости и отсутствия осцилляций не являются абсолютными при проведении вычислительного эксперимен­ та. В действительности ограничения, связанные с устойчивостью, при­ меняются локально. Расчетные точки сетки перебираются одна за другой

сцелью установления наиболее жесткого ограничения. Из всех локаль­ ных шагов по времени, удовлетворяющих условию устойчивости, выби­ рается наименьший. Он и принимается для всех точек сетки. На практике полученное таким образом допустимое значение шага по времени берут

скоэффициентом запаса 0,9...0,8 и даже меньше, особенно на ранней стадии расчета, когда велики градиенты решения по времени.

Запишем разложение функции тока в ряд Тейлора в окрестности гра­ ницы, имея в виду, что hx - шаг регулярной сетки (индексj в направле­ нии у опускаем):

Второй член разложения обращается в нуль по условию прилипания (10.69). Из разложения с учетом трех членов находим приближенное зна­ чение второй производной

а 2у

(10.72)

Эх2

имеющее первый порядок точности. Подставляя его в (10.70), получаем выражение

называемое формулой Тома. Формула Тома для приближенного задания завихренности на границе имеет первый порядок точности, надежна и широко используется в вычислительной практике.

Сохраняя в разложении (10.71) четыре члена, можно получить фор­ мулу второго порядка точности для завихренности на границе. Для этого продифференцируем уравнение Пуассона по у:

Из уравнения неразрывности dv/dy= — du/dx. Учитывая это, запишем (10.74) на границе:

Второй член в правой части (10.75) обращается в нуль по условию при­ липания, в результате, записывая левую часть в конечных разностях, по­ лучаем

дуг

Подставим (10.76) в (10.71) и разрешим его относительно СО,, в результа­ те получим граничное условие для завихренности

называемое формулой Вудса. Условие Вудса на порядок точнее условия Тома.

Часто на практике используется формула Йенсена, имеющая также второй порядок точности. Для ее вывода запишем четыре члена разложе­ ния с учетом (10.76) и (10.69)

Записывая вторую производную в конечных разностях, после преоб­ разований получаем формулу Йенсена:

Сохраняя в разложении (10.71) большее число членов, можно полу­ чить по аналогии формулы для граничных значений завихренности бо­ лее высокого порядка точности.

Известен способ определения граничных значений завихренности, основанный на применении итерационного процесса:

'д у '

, dx t

где q - номер итерации; a - итерационный параметр, обеспечивающий сходимость процесса (10.79).

Все полученные формулы независимо от порядка точности носят ло­ кальный характер, что отрицательно сказывается на устойчивости вычис­ лительного алгоритма даже при использовании неявных схем аппрокси­ мации. Дело в том, что о>-\|/-/ система решается совместно, и удовлетво­ рение граничных условий для завихренности по одной из полученных формул приводит к локальному нарушению условия прилипания

= 0 .

Данное нарушение является причиной возмущений, которые могут привести к неустойчивости. Одновременно это объясняет наблюдаемые в расчетной практике парадоксы, когда формула Тома дает при решении задач тепловой конвекции лучшие результаты, чем более точные форму­ лы Вудса и Йенсена.

Отмеченный недостаток устраняется методикой В.Л. Грязнова и В.И. Полежаева, при которой обеспечивается подправленис условия при­ липания. Это достигается введением двух границ: основной границы Г0, совпадающей с границей области, и вспомогательной границы Г,, располо­ женной внутри области и отстоящей от Г0 на шаг сетки. Совместное реше­ ние со-\|/ системы на временном слое состоит в следующем. Сначала на гра­ нице Г| из разностного уравнения Пуассона определяются значения завих­ ренности, которые принимаются за граничные и используются для решения уравнения переноса завихренности внутри области. Затем решается уравне­ ние Пуассона для функции тока при заданных значениях \)/ на основной гра­ нице Г0. И, наконец, подправляется функция тока на вспомогательной гра­ нице по условию выполнения прилипания.

Рассмотрим последовательность расчетов в обозначениях рис. 10.6. Основная граница проходит через точку /=1, а вспомогательная - через /=2. Из разностного уравнения Пуассона для функции тока (10.70)