Строительная механика стержневых систем. Часть 1

Рис. 6.2

Эпюру моментов, имеющую вид треугольника, можно рассматривать как трапецию.

Втом случае, когда одна из прямолинейных эпюр – прямоугольник, рационально перемножать эпюры непосредственно по правилу Верещагина.

Вслучае, когда грузовая эпюра моментов на участке криволинейная, то удобно разбить ее на прямолинейную и сегмент (рис. 6.3, а–г – варианты). При этом площадь сегмента опреде-

лять по формуле ql3 . 12

Рис. 6.3

Пример. Найдем перемещение точки «к» по горизонтали рамы. E I = const.

91

6.2.Определение перемещений от воздействия температуры

Формулаопределенияперемещенийотразноститемператур

где tн иtв – температурасоответственно наружнаяивнутренняя, ºС;– коэффициент линейного расширения (табличная вели-

чина, зависящая от материала), град–1; h – толщина стержня;

M – площадь единичной эпюры моментов, построенной

1

от единичной силы F = 1 или единичного момента m = 1, приложенных в точке, перемещения которой требуется найти, по направлению требуемого перемещения.

N – площадь единичной эпюры продольных сил.

1

Пример. Найти перемещение точки «к» по вертикали рамы, если h1 = 0,3 м и h2 = 0,2 м, 10 5 град–1:

93

Построим эпюры М1 и N1 от единичной силы F = 1, приложенной в точке «к».

По формуле (6.2) получим

Знак «–» указывает, что перемещение точки «к» происходит по вертикали вверх, т.е. в сторону, противоположную силе

F = 1.

94

В формуле (6.2) первое слагаемое принимается со знаком «+», если растянуты (сжаты) соответствующие волокна от тем-

пературы и на эпюре М1 . Второе слагаемое берется со знаком «+», если стержень растянут (сжат) от температуры и на эпюре

N1 .

6.3. Определение перемещений от осадки опор

Формула перемещений от осадки опор:

1С RiCi ,

где Ri – реакция опоры от силы F = 1 (или момента m = 1), получившей перемещение на Ci в результате осадки опоры.

Силу F = 1 или момент m = 1 приложить в точке, перемещение которой требуется найти, в направлении требуемого перемещения.

Пример. Найти перемещение точки «к» по вертикали от смещения опоры В по горизонтали на C1 0,1 м, по вертикали

на C2 0, 08 м и повороте на угол φ = 0,01 рад.

Загружаем раму силой F = 1 в точке «к» и найдем реакции опоры В:

95

Тогда

кс ( RBC2 HBC1 M Bм см

Произведение RiCi положительное, если направление реакции совпадает с направлением перемещения. Следовательно, перемещение точки «к» – по вертикали вверх на 18 см.

96

ГЛАВА 7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

ИРАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ СИЛ

7.1.Основные понятия и свойства статически неопределимых систем

Система называется статически неопределимой, если все или некоторые усилия невозможно определить при помощи уравнений статики (равновесия). В этом случае система имеет лишние связи, усилия в которых называют лишними неизвестными.

Основные свойства статически неопределимых систем:

– усилия в статически неопределимых системах зависят от жесткости элементов и количества лишних связей. Очевидно, что в системе (рис. 7.1, а) с двумя лишними связями ab и cd распределение усилий иное, чем в системе статически определимой, из нее полученной (рис. 7.1, б);

Рис. 7.1

–усилия зависят от соотношения жесткостей элементов;

–перемещения меньше, чем в статически определимых системах, полученных из статически неопределимых;

–в статически неопределимых системах возникают дополнительные усилия от воздействия температуры, осадки опор, неточности сборки, чего нет в статически определимых системах. Это свойство относится к недостаткам статически неопределимых систем.

7.2.Степень статической неопределимости

иосновная система метода сил

Степенью статической неопределимости nст называется число лишних связей. Из кинематического анализа известны

97

формулы числа лишних связей для балочных и шарнирностержневых систем:

nст Соп 2Ш 3Д,

nст С 2у,

где Соп – число опорных стержней;

Ш – число простых шарниров; Д – число дисков;

С – число стержней, в том числе опорных; у – число узлов, в том числе опорных.

Получим формулу nст для систем, содержащих замкнутые

контуры. Один замкнутый контур, например рама на рис. 7.2, а, имеет три лишние связи, так как можно составить для плоской системы только три уравнения равновесия, а имеется шесть опорных связей.

Рис. 7.2

Введем в этот контур один простой шарнир. Шарнир позволяет составить еще одно уравнение равновесия. Введением простого шарнира ликвидируем только одну лишнюю связь (связь, препятствующую взаимному повороту). Следовательно, один простой шарнир уменьшает степень статической неопределимости на единицу, а введение Ш простых шарниров обратит статически неопределимую систему в статически определимую. Значит,

где К – число замкнутых контуров; Ш – число простых шарниров.

98

Замкнутым контуром называется замкнутая цепь, состоящая из стержней, элементов или дисков, жестко соединенных между собой.

Формула (7.1) является общей формулой для определения

nст.

Удаление лишних связей обращает систему в статически определимую. Вместо отброшенных связей принимаем усилия, которые обозначаются Хi . Полученная система называется ос-

новной системой метода сил.

Основные требования к основной системе:

–статическая определимость,

–геометрическая неизменяемость.

Для одной системы можно выбрать несколько основных систем.

Лишними связями могут быть как внешние, так и внутренние связи.

7.3. Примеры определения степени статистической неопределенности и основной системы

Для систем на рис. 7.3–7.7 (варианты а) определить nст и показать основную систему (один из вариантов).

Рис. 7.3

По формуле (7.1) при К = 3 и Ш = 5 имеем nст 3 3 5 4. Основная система приведена на рис. 7.3, б.

99

Рис. 7.4

К = 4, Ш = 10, nст 3 4 10 2. Основная система приведена на рис. 7.4, б.

Рис. 7.5

К = 3, Ш = 7, nст 3 3 7 2. Основная система приведена на рис. 7.5, б.

Рис. 7.6

К = 2, Ш = 3, nст 3 2 3 3. Основная система приведена на рис. 7.6, б, в.

100