Строительная механика стержневых систем. Часть 1

Определим вертикальные реакции VА и VВ . Составим уравнения равновесия МВ 0 и МА 0, при этом нагруз-

ку, распределенную по треугольнику, заменяем равнодействующей силой, равной площади треугольника и приложенной в центре тяжести треугольника.

ределим VВ .

Проверка вертикальных реакций уравнением Y 0. Вер-

тикальные реакции в арке (раме) находятся так же, как в простой балке того же пролета, находящейся под той же нагрузкой

(рис. 5.6, б).

Наличие промежуточного шарнира позволяет составить дополнительное уравнение равновесия. Используем его для определения горизонтальных реакций опор. Составим

простой балки в сечении С. Аналогично, составляя уравнение

МСправ 0, получим Н МfС0 . Последнее уравнение можно использовать для проверки распора.

71

Определение усилий в сечении трехшарнирной арки (рамы)

Получим формулы определения изгибающего момента M, поперечной силы Q и продольной силы N для произвольного сечения «к» с координатами xк и ук . Пусть угол наклона касательной к

оси аркивсечении «к» к горизонтали к (см. рис. 5.6, а).

Рассмотрим равновесие левой части арки, представленной на рис. 5.7.

По определению изгибающего момента

Мк VA xк qxк2 P(xк 0,2l) H yк.

2

Мк0

Тогда Мк Мк0 Hyк, где Мк0 – изгибающий момент в сечении «к» простой балки (см. рис. 5.6, б).

Рис. 5.7

Поперечная сила в сечении есть сумма проекций всех сил, расположенных слева (или справа) от сечения, на нормаль в сечении арки, т.е. на ось, перпендикулярную касательной в сечении «к» к оси арки.

Учитывая правила знаков поперечной силы, получим:

Qк VA cos к qxк cos к P cos к H sin к ,

72

нии «к» простой балки (см. рис. 5.6, б).

Продольная сила в сечении есть сумма проекций всех сил слева (или справа) от сечения на касательную в сечении к оси арки. Продольная сила положительная, если проекция силы направлена к сечению.

(рис. 5.8).

Рис. 5.8

Итак, в трехшарнирной арке (раме) усилия в произвольном сечении от вертикальной нагрузки удобно определять по формулам:

М М0 Hy,

Q Q0 cos H sin

N Q0 sin H cos .

Эпюры M, Q, N в трехшарнирной арке строят относительно оси арки, при этом ординаты эпюр откладывают по нормали в сечении к оси арки.

73

Покажем определение Мn0 и Qn0 (рис. 5.5, б), рассматривая равновесие левой части:

При этом нагрузку, распределенную по трапеции, разбиваем на нагрузку, распределенную по прямоугольнику с интен-

Обязательно брать сечения под сосредоточенной силой, там, где начинается и заканчивается распределенная нагрузка и опорные сечения. Расчет сводят в таблицу.

74

На эпюре Q под вертикальной силой P скачок равен P cos , а на эпюре N скачок равен P sin

5.3. Расчет трехшарнирной арки (рамы) с затяжкой на вертикальную нагрузку

Затяжка на уровне опорных шарниров (рис. 5.9)

Рис. 5.9

Вертикальные реакции опор определяем, как и в простой балке, уравнениями: МВ 0 и МА 0 (см. подразд. 5.2). Из

уравнения Х 0 получаем НВ 0.

75

Усилие в затяжке Nзат находим через уравнение МСлев 0

или МСправ 0.

Составим уравнение равновесия правой части: МСправ 0,

ра в обычной трехшарнирной арке (раме).

На усилия в сечениях арки влияет усилие в затяжке.

По аналогии с формулами M, Q и N обычной трехшарнирной арки (см. подразд. 5.2) получим:

Мк Мк0 Nзат yк , Qк Qк0 cosαк Nзатsinαк ,

Nк [Qк0 sinαк Nзат cosαк ].

Тогда в таблице определения усилий вместо H появляется Nзат. Для расчета удобно взять сечения через 0,1 l.

Повышенная затяжка (рис. 5.10)

Рис. 5.10

76

Вертикальные реакции находим из уравнений равновесия

денного значения Nзат .

По аналогии с выводом формул M, Q и N (см. подразд. 5.2) в обычной трехшарнирной арке получим формулы M, Q и N для сечений ниже затяжки и для сечений выше затяжки.

Сечение 1 ниже затяжки имеет координаты xI и yI .

M I = M I0 , QI QI0 cos I , NI = – QI0sinαI .

Для сечения в правой половине арки (ниже затяжки) в формулах следует учитывать знак угла.

Сечение «к» выше затяжки. На M к , Qк и Nк влияет усилие в затяжке. Пусть координаты сечения «к» – хк и yк .

Mк = Mк0 Nзат yк (f d) .

Значит, в сечениях, где примыкает затяжка, имеем скачок на эпюрах Q и N, т.е.

N Nзат cos n .

В таблицу расчета арки с повышенной затяжкой вводится дополнительная графа y* . Для сечений ниже затяжки y* не имеет смысла, в таблице делается пропуск.

5.4. Пример расчета трехшарнирной арки

Построить эпюры M, Q и N для арки с повышенной затяжкой на вертикальную нагрузку, если арка очерчена по окружности (рис. 5.11). Уравнение окружности (с началом координат на

Рис. 5.11

78

2. Определение изгибающих моментов М0 и поперечных сил Q0 в простой балке того же пролета и находящейся под той же нагрузкой (рис. 5.11, б).

МA0 0, Мn0 М10 18,9 1,8 34,02 кНм,

М20 18,9 3,6 68,04,

79

М30 18,9 5, 4 102,06, М40 18,9 7, 2 15 1,8 109,08,

МС0 116,1.

Q20' 18,9 15 12 5,4 7,5 16,35 (идя слева).

80