- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Глава 1. ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
- •1.1. Основные понятия и особенности исследования операций
- •1.2. Этапы операционного исследования
- •4.11. Двойственность задач ЛП
- •4.12. Параметрический анализ
- •4.13. Задания для самостоятельной работы
- •Глава 5. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ
- •5.1. Основные модели транспортных задач
- •5.2. Метод потенциалов
- •5.3. Приведение открытой транспортной задачи к закрытой
- •5.6. Транспортные задачи в сетевой постановке (транспортные сети)
- •Глава 7. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- •7.1. Проблема целочисленности
- •Глава 9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- •9.2. Функциональное уравнение ДП
- •9.3. Распределение одного вида ресурса
- •9.8. Многомерные задачи динамического программирования
- •Варианты 2.1-2.3
- •Варианты 4.1-4.3
- •Варианты S.1-5.3
- •Варианты 6.1-6.3
- •Варианты 7.1-7.3
- •Варианты 8Л-8.3
- •Варианты 9.1-9.3
- •Варианты 10.1-10.3
- •Варианты 11.1-11.3
- •Варианты 12.1-12.3
- •Варианты 13.1-13.3
- •Варианты 14.1-14.3
- •Варианты 16.1-16.3
- •Варианты 17.1-17.3
- •Варианты 18.1-18.3
- •Варианты 19.1-19.3
- •Варианты 21.1-21.3
- •c„(x)-cJ + cJVJ.
- •Варианты 22.1-22.3
- •Варианты 23.1-23.3
- •Варианты 24.1-24.3
- •Варианты 25.1-25.3
- •Варианты 26.1-26.3
- •Варианты 27.1,27.2
- •Варианты 28.1-28.3
- •Варианты 29.1-29.3
- •Варианты ЗОЛ, 30.2
- •Глава 10. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
- •10.1. Основы многокритериальной оптимизации
- •10.2. Методы многокритериальной оптимизации
где максимум берется по коммуникациям, на которых перевозки больше нуля. Предполагается, что перевозки между всеми пунктами начинаются одновременно и ведутся параллельно. Условия задачи записываются как
ив случаях, когда критерием служат затраты. Однако здесь критериальная функция нелинейна, что принципиально отличает эту задачу от ранее рас смотренных. В то же время она легко преобразуется к линейному виду,
ирешение задачи может быть получено любым универсальным методом линейного программирования. Один из приближенных методов рассмот рен в подразд. 5.5.
5.2.Метод потенциалов
Для решения транспортных задач применяют специальные методы, которые учитывают их особенности и поэтому более эффективны, чем универсальные. К ним относятся распределительный метод, метод потен циалов, венгерский метод, метод Глейзала и др. Основными являются ме тоды венгерский и потенциалов. Они применяются для решения задач как типа Т, так и Т</. Подробнее рассмотрим второй из них.
Концепция метода потенциалов та же, что и в симплекс-методе. Опти мальное решение ищется путем последовательных переходов от одного ба зисного решения (опорного плана) к другому с лучшим значением крите рия. Но все шаги алгоритма выполняются проще, чем в симплекс-методе. В то же время метод потенциалов имеет много общего с распределитель ным методом, и в связи с этим его иногда называют модифицированным распределительным методом.
Сначала рассмотрим метод применительно к Т-задаче, а затем сделаем дополнения, позволяющие решать Т^задачу.
5.2.1. Построение начального плана перевозок
Как было показано выше, размерность базисного решения или плана перевозок равна т+п-1, где т и п - число ПО и ПН сбалансированной за дачи. Если задача открытая, то сначала ее необходимо сбалансировать.
Следует также иметь в виду, что в транспортных задачах вырожденность базисного решения встречается очень часто. В задаче заведомо бу дут вырожденные решения, если имеются такие неполные группы пунк тов отправления и назначения, когда суммарная возможность первых равна суммарной потребности вторых. Вырожденным может оказаться и начальное решение.
Для построения начального плана перевозок применяют правила северо-западного угла, минимального элемента и алгоритм Фогеля. Последний можно применять и как приближенный метод решения Т-задачи.
Рассмотрим только первые два правила, хотя по аналогии легко предложить и другие правила построения плана. При этом важно со блюдать принцип присвоения переменной, включаемой в план, макси мально допустимого значения. Это обеспечивает построение базисного решения.
Правило северо-западного угла. Все исходные данные и переменные сбалансированной Т-задачи удобно представить в виде таблицы:
|
Ъх |
Ъг |
ь„ |
а1 |
С\\ |
С\2 |
с |
Ххх |
Х \2 |
Хх„ |
|
а2 |
Сгх |
С |
С2„ |
22 |
|||
Х2\ |
Хгг |
Хъ, |
|
ат |
Сml |
Cm2 |
Стп |
Хтх |
Хт2 |
Хщп |
Построение плана начинается с северо-западной клетки таблицы, то есть первым определяется значение переменной Хц. Так как оно должно быть максимально допустимым, то
Х п =min(a1,61).
При этом обязательно выполнится одно из равенств (5.3), (5.4), что соот ветствует закрытию строки или столбца: переменные в остальных клетках строки или столбца будут равны нулю. Конкретнее, если Х ц - а ь то закрыва ется первая строка и Х п =Х п = = Х\„= 0, а следующей базисной перемен ной будет Х2\. Из указанного выше принципа следует Х2\ = min(a2, b \-a \). Если же окажется, что то закроется первый столбец и следующей базисной переменной станет Х \2 = min(ai - b\, Ь2).
Весь процесс построения начального плана можно представить в виде дерева решений (рис. 5.2).
Из общего правила определения значения очередной базисной пере
менной: |
|
Ху = min (остаток от а„ остаток до bj), |
(5.13) |
следует, что на каждом шаге закрывается или строка, или столбец, а на по следнем шаге при назначении Хш закрываются одновременно т-я строка- и п-й столбец (так как задача сбалансированная). Таким образом, число базисных переменных равно т + п —1. Построение начального плана за вершено.
Хп = тт(аь bx)
|
Х\\ - а\ |
|
Х\\ - |
Ь\ |
|
(закр. 1-я строка) |
|
(закр. 1-й столбец) |
|||
Хы = min(a2, Ьх-а\) |
|
-¥|2 =^rnin(«i—Z>j) |
|
||
ЛГ21 - 02 |
'ж |
|
S |
N . |
|
Хг\= Ь\—а\ |
Хг\ — o\—b\ |
X\2 = 62 |
|||
(закр. 2-я стр.) |
(закр. Ьй столб.) |
(закр. 1-я стр.) |
(закр. 2-й столб.) |
||
I |
*13=- |
|
I |
I |
|
Х31=... |
Х22—... |
Х\2 =... |
|||
|
|
/ |
\ |
S |
\ |
Рис. 5.2
Пример 5.1. Исходные данные приведены в табл. 5.1, где показано также построение начального плана. Значения базисных переменных вы делены серым цветом, а порядок движения по клеткам показан стрелками. Этому плану соответствуют суммарные затраты L = 1295.
|
|
|
|
|
Таблица 5.1 |
|
Поставщик |
|
Потребитель |
|
Запасы |
||
в, |
в2 |
Вз |
в4 |
груза |
||
|
||||||
|
6 |
7 |
3 |
|
5 |
|
А , |
75 |
25 1 |
|
|
100 |
|
|
-> |
|
|
|
6 |
|
а 2 |
1 |
2 |
5 |
|
||
|
55 -> |
60 -» |
3 5 1 |
150 |
||
|
|
|
||||
Аз |
3 |
10 |
20 |
|
1 |
|
|
|
|
50 |
50 |
||
|
|
|
|
|
||
Потребность |
75 |
80 |
60 |
85 |
300 |
|
в грузе |
||||||
|
|
|
|
|
Правило минимального элемента. В приведенном способе построе ния плана не участвовали затраты на перевозку. Следует ожидать, что учет затрат позволит получить начальный план, более близкий к оптимальному. Этим и отличается рассматриваемое правило.
Первой заполняется клетка с минимальными затратами. Пусть minQ = Ckp, тогда Х ^ = min(ob bp). Если при этом закрывается строка it, то в столбце р ищем клетку с минимальными затратами и определяем значе ние соответствующей переменной согласно (5.13). При закрытии столбцар действуем аналогично в строке к. В общем случае клетка, лежащая в за крытом столбце и/или закрытой строке, является закрытой, иначе —от
крытой. На каждом шаге движение идет либо по столбцу, либо по стро ке, и при этом отыскивается среди открытых клетка с минимальным зна чением Су.
Пример 5.2. Построим начальный план по правилу минимального элемента для задачи из примера 5.1. Результат представлен в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Поставщик |
|
|
Потребитель |
|
Запасы |
|
|
в , |
в 2 |
В3 |
в 4 |
груза |
|
|
|
|||||
А, |
|
б |
7 |
3 |
|
5 |
|
5 |
-> |
60 -> |
35 4- |
100 |
|
|
|
6 |
||||
а 2 |
|
1 |
2 |
5 |
|
|
75 |
75 |
t |
|
|
150 |
|
|
|
|
|
|||
Аз |
|
3 |
10 |
20 |
|
1 |
|
|
|
|
50 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Потребность |
|
75 |
80 |
60 |
85 |
300 |
в грузе |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
При таком начальном плане L = 665, что меньше, чем в примере 1. Однако нельзя утверждать, что для любых данных этот способ дает луч ший план. Точнее говорить, что правило минимального элемента эффек тивнее в среднем (на множестве задач). В то же время алгоритм реализа ции этого правила сложнее, чем правила северо-западного угла.
Применяется также вариант, в котором на каждом шаге ищется клетка с минимальными затратами среди всех открытых клеток. Такой способ еще сложнее, но в среднем дает планы, более близкие к оптимальным.
5.2.2. Переход от одного плана перевозок к другому
Как и в симплекс-методе, новый план можно получить из исходного заменой одной базисной переменной. Клетки с базисными переменными будем называть базисными или занятыми, остальные - небазисными или свободными. Для перехода к новому плану используется замкнутая цепь, которая строится в матрице перевозок по следующим правилам.
Построение начинается со свободной клетки, которую соединяют с базисной в строке (столбце). Эту базисную клетку соединяют с другой базисной в столбце (строке). Далее, чередуя движение по строкам и столб цам, продолжают соединение занятых клеток так, чтобы вернуться в на чальную. При этом не требуется, чтобы цепь включала все базисные клетки. Угловые клетки цепи назовем вершинами цепи. Тогда правило построения замкнутой цепи можно сформулировать проще: начальная вершина долж на быть в свободной клетке, остальные - в занятых.
Такая цепь называется циклом пересчета. Он является геометриче ским гфедставлением разложения небазисного вектора условий при пере менной в свободной клетке по векторам текущего базиса. Если базисная клетка не попала в цикл пересчета, то соответствующий базисный вектор
имеет в этом разложении нулевой коэффициент. Так как любой небазис ный вектор выражается через базис единственным образом, то для любой небазисной (свободной) клетки можно построить один и только один цикл пересчета. Примеры конфигурации циклов показаны на рис. 5.3, где круж ком выделена начальная (небазисная) клетка цикла. Нумеровать вершины
4 |
О |
1 |
|
||
3 |
L |
2 |
Рис. 5.3
можно в любом направлении. И начинать можно с любой вершины. На ри сунке нумерация начата с клетки, смежной с начальной. В этом случае на чальная клетка всегда будет четной.
Теперь становится очевидным, что в каждой строке и в каждом столб це, по которым проходит цикл пересчета, будет две и только две вершины: одна четная и одна нечетная. Если бы оказалось вершин больше двух, то из базисных клеток образовался бы цикл, что невозможно. В этом легко убе диться на примере: допустим, в правом цикле на рис. 5.3 отрезки 1-8 и 5-4 лежат в одной строке, тогда вершины 1; 4; 3 и 2 образуют цикл.
В результате цикл пересчета, построенный в допустимой матрице пе ревозок, обладает замечательным свойством: если перемещать по нему не которое количество груза 0 >0, прибавляя его к Ху в четных вершинах и вычитая из Ху в нечетных, то условия задачи (5.3) и (5.4) не нарушатся. Чтобы новое решение было допустимым, то есть выполнялось и условие неотрицательности переменных, необходимо ограничить значение 0:
0 < 0о= min Ху, ijе нечет. |
(5.14) |
Здесь “нечет” - множество индексов переменных в нечетных вершинах цикла.
Для получения базисного решения (нового опорного плана) достаточ но взять 0 = 0О.При этом переменная свободной клетки, на которой стро ился цикл, становится базисной со значением 0о, а переменная, достав ляющая минимум в (5.14), обнуляется и переходит в небазисную.
Таким образом, переход от одного плана к другому в методе потенциа лов заключается в построении цикла пересчета, определении 0о с последую щим прибавлением к значениям переменных в четных вершинах и вычитани ем в нечетных. Очевидно, что это значительно проще, чем в аналогичной процедуре симплекс-метода.
5.2.3. Признак оптимальности
При перемещении 0 по циклу пересчета значения переменных Ху в чет ных вершинах увеличиваются на 0, а следовательно, и затраты на перевозку увеличиваются на 0Q. Одновременно уменьшаются на 0 переменные в не четных вершинах, и на 0 Q - соответствующие им затраты. Отсюда следует, что значение критерия в новом (£+1)-м решении можно определить по кри терию в исходном решении и изменениям в клетках цикла:
Li+'=L* + |
I е,- |
I с, 0 |
|||
\уечет |
|
//енеяет |
J |
||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
Lk+l =Lk - в А у , |
|
(5.15) |
|||
где |
|
|
|
|
|
Д.= Х С. - |
Е |
|
С«- |
<5-,6> |
|
(/енеяет |
уечет |
|
|
||
В этих формулах, как и в симплекс-методе, Ау - |
относительная оценка пе |
ременной Ху, на которой построен цикл. Для базисных переменных оценка всегда равна нулю. Согласно (5.15) Ау показывает, как изменится критерий (в какую сторону и насколько) при перемещении по циклу единицы груза
(0 =1).
Если Ау >0, то введение Ху в число базисных приведет к уменьшению суммарных затрат, если же Д,у<0, то критерий возрастет, что противоречит цели. Следовательно, решение нельзя улучшить, когда среди оценок нет
положительных, и поэтому признак оптимальности имеет вид |
|
VA,y< 0. |
(5.17) |
Если этот признак не выполняется, то новое решение целесообразно строить на основе клетки с максимальной оценкой (аналогично выбору в симплекс-методе при минимизации).
Вычисление оценок по формуле (5.16) требует построения цикла пе ресчета для каждой свободной клетки. Такой способ неэффективен для задач реальной размерности. Покажем, что возможен другой путь, ис ключающий построение циклов.
Поставим в соответствие каждому пункту отправления сбалансиро ванной задачи некоторую величину С/„ / = 1,2,..., т, а каждому пункту на значения величину Vp j = 1,2,..., п так, чтобы для базисных клеток выпол нялись равенства
Vj-Ui-Cy, i j e баз. |
(5.18) |
Система (5.18) содержит т + л-1 уравнений с т + п неизвестными. Присвоив одной из неизвестных некоторое произвольное значение, напри
мер нуль, легко найти значения остальных. В таких случаях говорят о по лучении решения системы с точностью до постоянной величины. Дальше мы увидим, что произвольный выбор неизвестной и ее значения не влияют на конечный результат.
Зная U, и Vj, можно вычислить относительную оценку для любого цикла в текущем плане перевозок. Покажем это на произвольно взятом цикле (рис. 5.4, где в скобках указаны индексы клеток - переменных, в ко торых расположены вершины цикла). Вычислим относительную оценку свободной клетки I 'Q/ о (небазисной переменной Ху„) по формуле (5.16):
Л/О/О = Cgjji — С ,1 /1 + С/1/2 — Cfij2+ |
C QJO — CjOjQ |
|
6 ( / Q/ O) |
Q- |
Ш ) |
|
зm |
20Vi) |
5OV'o) |
4 0 V2) |
|
Рис. 5.4
Заменив в этом выражении затраты в базисных клетках согласно (5.18), получим
Дю/о =Vj\ -UiQ-Vj\ + Uа+ Vj2 -Un-Vfl+Ua+VjQ-Un-C/q/o -Vfi-Ugj-Cafi-
Выполненные сокращения не зависят от конфигурации цикла, так как все индексы, кроме начальных, входят в выражение два раза. Поэтому в итоге остаются только Vjo, Цо и Сщо. Таким образом, для любой свобод ной клетки ij относительная оценка может быть вычислена без построения цикла пересчета по формуле
Ь„=Уг и,-С„. |
(5.19) |
Из сравнения (5.18) и (5.19) видно, что для базисных клеток Д,у= 0. Новые переменные U, и V) называются потенциалами пунктов отправ
ления и назначения соответственно, отсюда происходит название метода. Из формулы (5.19) следует, что значение постоянной величины при нахо ждении потенциалов из системы (5.18) не влияет на оценки.
Потенциалы можно интерпретировать как локальные цены. Если цена в пункте отправления / равна U, и груз из него доставляется в пункт назна чения у по коммуникации ij, то локальная цена в ПН возрастет по отноше нию к ПО на величину транспортных затрат:
V j-V + C y. |
(5.20) |
Из этого соотношения также следует, что в оптимальном решении не мо жет иметь место неравенство
Vj > u,+ Су,
так как оно означает, что локальная цена в пункте j выше, чем в случае прямой доставки из /' вj.
Приведенный способ определения оценок через потенциалы пригоден для любого опорного плана перевозок. Однако, учитывая структуру мат рицы оценок (нули в базисных клетках), можно оценки нового плана полу чить, минуя вычисления потенциалов простым преобразованием матрицы
оценок предшествующего плана. |
|
Рассмотрим конкретно преобразование матрицы |
в матрицу A(i+1) |
на основе нового решения Х(Ж). Как отмечалось выше, новое решение по лучено вводом небазисной переменной с максимальной оценкой в Д(А). Пусть шах Д/,= Afe- В матрице A(i) отмечаем элементы, соответствующие базисным в новом решении Х(Ь_1) (на рис. 5.5 помечены символом *), мак симальную оценку отмечаем особо. Далее строим цепочку выделения. Она строится с особо отмеченного элемента, который соединяют с отмечен ными в этой строке. Затем от отмеченных элементов, попавших в цепочку, идем по столбцам к отмеченным в них оценкам. Далее снова проводим со единение по строкам, и так до тех пор, пока не оборвутся все ветви.
+ Д*г+Д*г +Д *г
Рис. 5.5
Элементы, попавшие в такую цепочку, выделяют строку и столбец за исключением особо отмеченного элемента, который выделяет только строку. К выделенным столбцам прибавляем, а из выделенной строки вы читаем А&. Нетрудно увидеть, что при этом переменной Хь будет соот ветствовать нулевая оценка, как и тем переменным из решения Xw, кото рые сохранили статус базисных. Таким образом, преобразованная матрица соответствует новому опорному плану.
Провести выделение можно и иначе: сначала вычеркивать строку с максимальным элементом, затем столбцы, где есть элементы, отмечен ные * в этой строке, и т.д. Вычеркнутые строки и столбцы являются вы деленными.
5.2.4. Ачгоритм метода потенциалов
Алгоритм включает в себя предварительный и основной этапы. Предварительный этап:
1. В матрице перевозок построить начальный план Х®\
2.Решением системы (5.18) определить потенциалы всех пунктов
вначальном плане.
3.Вычислить оценки небазисных переменных (свободных клеток) по формуле (5.19) и записать матрицу Д(0).
Основной этап (получены Х(к) и Л®):
1.Проверить оценки в А(к\ Если нет положительных, то перейти к п. 9.
2.Определить максимальную оценку Аь- = max Ау.
3.В матрице Х(4) построить цикл пересчета на клетке кг.
4. |
В построенном цикле вычислить 0оmin Ху, ije нечет. |
5. |
Прибавить 0о в четных вершинах цикла и вычесть в нечетных, ре |
зультат - матрица перевозок Х( .
6.В матрице Д(А) выделить строки и столбцы по решению X(t+1).
7.К выделенным столбцам прибавить, а из выделенных строк вычесть
Ah-, результат - матрица Д(**Ч
8.Перейти к п.1 основного этапа.
9.Конец.
Примечание. Если имелись запрещенные перевозки (некоторые Су = М), то соответствующие переменные в последнем решении должны равняться нулю. В противном случае задача неразрешима.
Пример 5.3. Решить методом потенциалов транспортную задачу, представленную в табл. 5.3.
|
|
|
|
|
Таблица 5.3 |
|
Поставщик |
в, |
Потребитель (ПН) |
|
Количество |
||
(ПО) |
Вг |
Вз |
в 4 |
груза |
||
А, |
3 |
8 |
2 |
1 |
10 |
|
а 2 |
1 |
4 |
3 |
5 |
30 |
|
Аз |
7 |
2 |
1 |
б |
40 |
|
Потребность |
20 |
5 |
30 |
25 |
1=80 |
|
в грузе |
||||||
|
|
|
|
|
Решение. Задача сбалансированная. Начальный опорный план перевозок строим по правилу северо-западного угла. Полученный план невырожден ный (табл. 5.4). Число базисных переменных (занятых клеток) r = m + n - 1 = = 3 + 4 - 1 = 6, они выделены серым цветом.
Значение критерия в начальном плане
1(0) =10-3 + 10-1 + 5-4 +15-3 +15-1+ 25-6 = 270.
Вводим потенциалы и, для ПО и v, для ПН так, чтобы для базисных клеток выполнялись равенства:
V, - M, = 3; |
v, - м2 = 1; |
V2 - K2 = 4; |
v3 ~ и 2 =3; |
v3 —и3 =1; |
v4 - w 3 = 6 . |
Полагая и, =0, последовательно находим остальные потенциалы*
^1 ~3> ^2 ~ |
V2 = |
Vj = 5; ы3 = 4 V4 =5 ]0 |
Поставщик
(ПО)
А,
а 2
Аз
Потребность в грузе
|
|
|
|
|
Таблица 5.4 |
|
в, |
Потребитель (ПН) |
в4 |
Количество |
|
|
в2 |
Вз |
груза |
||
10 |
3 |
8 |
|
2 |
1 |
|
|
|
■ |
10 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
10 |
1 |
4 |
|
3 |
5 |
* |
14 |
|
|
30 |
|
|
+ |
2 |
|
1 |
|
|
7 |
|
б |
||
|
|
15 |
т |
25 |
40 |
|
20 |
5 |
30 |
25 |
1=80 |
Вычисляем A tj для свободных клеток:
Д,2 = у2 - м, - с1г = 6 - 0 - 8 = - 2 ;
Д13 = v3 - - с,3 = 5 - 0 —2 = 3; А,4 = v4 - W,- с 14 = 1 0 —1 = 9;
Д34 = У* —н2—^24 = 1 0 - 2 - 5 = 3; A3 i= vi - « 4 ~ c3i =3 —4 —7 = —8; Д32 =v2 - w 3 - с 32 = 6 - 4 - 2 = 0 .
Записываем матрицу оценок для начального плана перевозок:
0 |
-2 |
3 СЖ1-9 |
|
Д<°> = о* |
0* |
О* |
3 |
- 8 |
0 |
о * |
о * |
В начальном плане строим цикл на клетке с максимальной оценкой. Это клетка (1,4). Находим значение вводимой переменной:
0О= min(10,15,25)= 10. Переместив 0о по циклу, получаем новый план перевозок
0 |
о |
0 10 |
Х(1) = 20 |
5 |
5|—т0 , |
0 |
0 |
2S-45 |
для которого Lm = L<0) - 0О• Д14 = 270 -10 • 9 = 180 => первая итерация улучшила критерий на 90 единиц.
Для выяснения статуса нового решения находим матрицу оценок. С этой целью в Д(0) отмечаем элементы, соответствующие базисным в Х(1), и строим цепочку выделения. Так как в строке с максимальной оценкой других отмеченных элементов нет, выделенной оказывается только первая строка. Вычитая из нее Дь, получаем матрицу
-9 |
-11 |
-6 |
0 |
|
«4 |
|
0 1 |
* |
-3. |
д(1) = 0 |
0 |
3 |
||
|
|
• |
* |
|
-8 |
0 |
0 |
0 |
|
+3 |
+3 |
|
|
|
Как следует из анализа матрицы Д(1), решение Х(,) не является опти
мальным. Следующее решение получаем |
с помощью построенного в Х(,) |
||
цикла, перемещая по нему 0О= min(5,15) = 5: |
|
||
'0 |
0 |
0 |
10" |
X(U) = 20 |
^ |
0 |
.S |
|
30 |
|
Мы получили новый план перевозок с критерием Z,(II) = 180 - 5 • 3 = 165. Матрицу оценок этого плана находим преобразованием матрицы Д(1) анало гично описанному выше. В результате имеем
-6 |
- 8 - 6 J 0 |
-3 |
|
|
|
|
|
Д(П>= 0 |
0 - 3 |
0 |
-3 |
-5 |
151 6 |
6 |
-3 |
+3 |
+3 |
+3 |
|
В матрице есть положительный элемент, поэтому на клетке (3,2) строим цикл пересчета. Определяем 0О= min(5,10) = 5 и, перемещая 5 по
циклу, находим очередной план перевозок |
|
||
0 |
0 |
0 |
10 |
Х(Ш) = 20 |
0 |
0 |
10 |
0 |
5 |
30 |
5 |
которому соответствует значение критерия |
Lm = 165 —5*3 = 150. Преоб- |
||
разуя матрицу Д(П) получаем |
|
|
|
-6 -11 -6 |
о |
||
Д<га>= 0 |
- 3 - 3 |
0 |
|
-5 |
0 |
0 |
0 |
Эта матрица не содержит положительных оценок, следовательно, план Х( 1) является оптимальным. Согласно этому плану от 1-го поставщика на до поставить 10 ед. продукции 4-му потребителю, от 2-го поставщика -
141
ОЯ0
20 ед. 1-му и 10 ед. 4-му потребителям, от 3-го поставщика - 5, 30 и 5 ед. соответственно 2, 3 и 4-му потребителям. Такая схема перевозок обеспечи вает минимум суммарных затрат, которые равны 150. А
Примечания:
1.Метод потенциалов применим и для решения трипланарных задач. Отличие лишь в том, что циклы пересчета и цепочки выделения строятся не на плоскости, а в трехмерном пространстве.
2.Если на каждой итерации оценки вычислять непосредственно по построенным циклам (на каждой свободной клетке), то получим распреде лительный метод. Поэтому метод потенциалов называют также модифи цированным распределительным методом. Однако метод потенциалов зна чительно эффективнее распределительного при решении задач средней
ибольшой размерности.
5.2.5. Двойственная пара транспортных задач
Построим двойственную задачу простейшей транспортной задачи (Т-задачи). Предварительно изменим знаки в выражении критерия и в ус ловиях по пунктам назначения. Тогда модель прямой задачи примет вид:
L\ = - Z Z C!/*;y max;
'У
п_____
U,: Y . x ij= a i,i = \,m\
У=1
п____
v>- -Z *,y = - * w =1>";
7=1
V*(y - 0.
Здесь слева от равенств записаны соответствующие им двойственные пе ременные. Модель двойственной задачи запишем по правилам, приведен ным в подразд. 4.11.3:
A = Z aA ~ Z 6/ y ^ min;
'i
U' -VjZ-Cy =>Vj -U'<Cip i =
Если Cv перенести в левую часть, то согласно (5.19) условия двойст венной задачи приобретут смысл признака оптимальности УД,у<0. Итак, если выполняются условия прямой и двойственной задач, решение опти мально. Теперь понятно, что потенциалы представляют собой переменные двойственной задачи.
Из теорем двойственности известно, что в оптимальном решении кри терии прямой и двойственной задач равны. Для рассматриваемой двойст венной пары это означает, что