2921

Задание 2. Определение усилий в стержнях фермы

Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных шарнирами. Определение усилий в стержнях фермы при заданной схеме нагружения производится в следующей последовательности:

1.Мысленно освобождаемся от связей фермы и заменяем их действие реакциями, направление которых выбираем произвольно. Если значение какой-либо реакции получилось отрицательным, то это означает, что ее истинное направление противоположно выбранному.

2.Используя три уравнения равновесия для плоской системы сил, определяем реакции (дополнительное уравнение используем для проверки).

3.Выбираем узел, в котором сходятся два стержня, мысленно разрезаем их и показываем внутренние силы. Так как стержни соединены шарнирно и внешние силы приложены в узловых точках, в сечениях стержней возникают только нормальные силы. Внутренние силы направляем вдоль каждого из разрезанных стержней от сечения, считая все стержни растянутыми. Если в результате расчета величина усилия в стержне получится отрицательной, значит, данный стержень сжат.

4.Используя два уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил, определяем усилия в стержнях.

5.При последующем вырезании узлов учитываем полученные ранее значения внутренних сил и таким образом определяем нормальные силы в остальных стержнях.

Условные изображения опор (а – заделки; б – шарнирно-не- подвижной опоры; в – шарнирно-подвижной) показаны на рис. 1.

Рис. 1

Исходные данные приведены в табл. 1.

12

Таблица 1

Исходные данные для задания 2

Пример выполнения задания

Дано: схема фермы представлена на рис. 2, размер AD = 4 м, в ее узловых точках В, С приложены силы Р1 = 10 кН и Р2 = 20 кН.

Определить опорные реакции и усилия в стержнях фермы.

Рис. 2

Решение

1.Отбрасываем две связи в точке A, где шарнирно-непо- движная опора ограничивает две степени свободы, и заменяем эти связи составляющими реакции XA, YA. В точке D, где шарнир- но-подвижная опора ограничивает одну степень свободы (перемещение по оси Y), заменяем действие опоры реакцией RD.

2.Для плоской системы сил составим три уравнения равновесия: равенство нулю суммы моментов всех сил относительно какой-либо точки, например точки А, и равенство нулю суммы проекций всех сил на оси координат:

∑MA (Fk ) = 0, P2 BE −P1 AE + RD AD = 0;

13

Здесь BE = 2 м, AE = 3,46 м, AD = 4 м. Тогда RD = −1,34 кН,

XA = −10 кН, YA = 21,34 кН.

Равенство нулю суммы моментов всех сил относительно другой точки, например точки D, используем для проверки.

Проверка. Сумма моментов всех сил относительно точки D составит:

∑ MD (Fk)= 0, P2(BE + AD) − P1 AE − YA AD = 0.

По результатам проверки ошибок определения реакций не обнаружено.

3. Выбираем узел В, в котором сходятся стержни 1 и 2, разрезаем их и заменяем действие отброшенной части фермы осевыми силами N1, N2 (рис. 3, а). В качестве первого узла можно было выбрать узел D.

4. Используя два уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил, определим N1, N2:

∑Fkx = 0, N2 + N1 cos 60° = 0; ∑Fky = 0, −P2 − N1 sin 60° = 0.

Получим N1 = –23,09 кН; N2 = 11,55 кН.

5. Следующим вырежем узел С (см. рис. 3, б), в котором сходятся стержни 2, 3 и 5. Неизвестными из трех осевых усилий N2′, N3, N5 являются N3 и N5 (сила N2′ равна по модулю N2, которая была определена при рассмотрении узла В). Уравнения равновесия имеют вид:

∑F kx = 0, −N2′ + P1 + N3 cos 60° − N5 cos 60° = 0; ∑F ky = 0, −N3 sin 60° − N5 sin 60° = 0.

6. Вырезаем узел А (рис. 4, а). Для этого узла ранее были определены N1′ и N5′.

Из уравнения равновесия

∑F kx = 0, XA − N1′ cos 60° + N5′ cos 60° + N4 = 0

определим N4.

14

Второе уравнение равновесия для узла А (см. рис. 4, а)

∑F ky = 0, YA + (N1′+ N5′ ) sin 60° = 0

и условия равновесия узла D (см. рис. 4, б):

∑F kx = 0, −N3′ cos 60° − N4′ = 0; ∑F ky = 0, RD + N3′ sin 60° = 0,

используем для проверки.

Все результаты расчета, кН, приведены в расположенной ниже таблице.

15