m0919

Цель стать как раз и состоит в том, чтобы обратить внимание коллег-смежников на наличие отмечаемой проблемы, на ее актуальность, социальную важность и необходимость быстрого решения.

А каковы же интересующие нас конкретные параметры силового сейсмического воздействия на строительные объекты в процессе сильных землетрясений?

Если исходить из имеющейся информации по сильным землетрясениям, например из исследования Д. Хадсона, основанного на анализе более 1000 записей, полученных за 40 лет в США, с магнитудами изменяются от 4.7 до 7.1 и эпицентральными расстояниями от 5 до 150 км, то окажется, что значения пиковых ускорений лежат в диапазоне 100-1200 см/с2 значения скоростей колебаний и смещений находятся в диапазоне соответственно 5-11 см/с и 1-16 см. Продолжительность ускорений на записи, в котором сосредоточено 90% сейсмической энергии, находится в пределах 10-25 с. [5, 9, 10]

Несомненно, большие ускорения на поверхности грунта установленные в последнее время при сильных землетрясениях достаточно надежными инструментальными записями, и поэтому их трудно оспаривать. Принимая же это как факт, приходиться искать объяснение фактору относительно малой повреждаемости сооружений, рассчитанных в соответствии с нормами на ускорение, значительно меньших реальных. Для объяснения такого положения привлекаются различные факторы, не учитываемые в расчетах, особенности сейсмических воздействий и несущей способности конструкций, к числу которых относят: импульсный, волновой характер воздействий, пространственные условия работы конструкций и нелинейный характер их работы за счет возможности развития пластических деформаций и местных повреждений в конструкциях и т.д. Казалось бы, все это можно рассматривать как значительный резерв запаса прочности и надежности зданий при землетрясении.

Однако если учесть, в силу ряда объективных причин, мы имеем дело с искусственно заниженным частотным диапазоном; что все рассматриваемые параметры смещений, скоростей и ускорений относятся к средней эпицентральной зоне землетрясений (от 10 до 80 км от очага) и не включают в себя зон очагов и разломов; и, наконец, преувеличенный оптимизм специалистов, заложенный в строительные нормы и правила многих стран по поводу высокой эффективности и надежности мероприятий по сейсмозащите зданий и сооружений, то не о каких запасах прочности конструкций не может быть и речи. А если все же определенные запасы прочности и будут обнаружены, то при существующем уровне знаний, их лучше пока все же использовать как дополнительный резерв. [6]

Тут, наверное, некоторые моменты все же следует пояснить. Дело в том, что, несмотря на объективное наличие сильных землетрясений с магнитудой М 8 и более баллов и все усилия, предпринимаемые специалистами в разных частях света, никому еще пока не удалось получить хорошую запись сейсмического толчка в данных зонах. Сильное сейсмическое воздействие есть, а работать приходиться лишь с косвенными данными. В частности, исследование Джонсона и Киссенпфеннига на примере Лиссабонского землетрясения 1755 года, говорит о том, характерными чертами землетрясений большой магнитуды являются: низкая частота и большая продолжительность воздействия, что может явиться причиной разрушений землетрясениями высотных зданий. К подобному выводу приходит и Х. Умемура и др. [11, 12]

Затем, учитывая имеющее место архитектурно-конструктивное многообразие и разнообразие зданий и сооружений, наверное, разумно, наряду с сейсмическими особенностями воздействия, учесть и конструктивные особенности самого строительного объекта. Здесь, если обратиться к работе Суджимо Я и Сато Я, которая проводилась на основе анализа 34 зданий с этажностью от двух до девяти этажей, то выясниться, что наряду с преобладающими частотами основного тона колебаний каждого здания, находящихся в диапазоне 1.4-6 Гц, имеют место и более высокие частоты собственных колебаний зданий, находящиеся в диапазоне 6.6-11.4 Гц. При этом ускорения в верхних этажах зданий в 1.2 –4.1 раз превышали ускорения в нижних этажах. [13]

Следует особо подчеркнуть, что отмечаемые параметры сейсмического воздействия относятся к строительным объектам с обычными мерами сейсмического усиления, для строи-

201

тельных объектов с активной сейсмозащитой, в силу их конструктивных особенностей, эти параметры могут быть как выше, так и ниже.

Таким образом, для успешного обеспечения надежной и эффективной сейсмозащиты зданий и сооружений нужны технические решения обеспечивающие возможность смещения стыковых соединений инженерных сетей и коммуникаций на 10 см по вертикали и в плоскости по окружности диаметром в 50 60 см при ускорении в 1200 см/сек2. Конструк-

тивно обеспечить данные условия не просто, но хотелось бы надеяться, что возможно.

202

2.6. ОБОСНОВАНИЕ СООТВЕТСТВИЯ ХАРАКТЕРА ПРИНЯТОЙ ИДЕАЛИЗАЦИИ В РАСЧЕТНО-ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УРОВНЮ ЗАДАЧИ ПО ОБЕСПЕЧЕНИЮ ЭФФЕК-

ТИВНОЙ И НАДЕЖНОЙ СЕЙСМОЗАЩИТЫ СТРОИТЕЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ.

Так как под физической моделью какого-либо процесса или явления понимают полное, на уровне современных знаний, описание этого процесса или явления в физически содержательных терминах, то, естественно, описание физической модели должно опираться на экспериментальные данные, наблюдения, гипотезы мало изученных или совсем не изученных связей между отдельными параметрами исследуемых систем и внутренними процессами, протекающими в них. Причем, все известные математические зависимости между параметрами процессов должны формулироваться без всяких упрощений. [1-5]

Однако неполнота и неопределенность исходной информации, как о динамической системе, так и о силовых возмущениях, действующих на нее, приводят к тому, что четко описать физическую динамическую модель, как правило, не удается даже в самых простых случаях. В тех же случаях, когда это все же удается осуществить, модель оказывается настолько сложной, что почти не поддается анализу. Поэтому, исходя из потребностей производства, для исследования каких-либо процессов поведения реальных динамических систем, приходится вводить ряд упрощений в математических зависимостях, гипотез, подтвержденных в определенных границах экспериментами, отбрасывая связи между отдельными параметрами системы, которые на основании опыта и научной интуиции исследователя могут несущественно сказаться на процессах поведения системы в определенных пределах. Введение перечисленных упрощений означает приход к новой модели, которая называется расчетной. [1-12]

Понятно, что во многом от искусства выбора вида принятой идеализации или используемой аппроксимации (приближения) для представления реальных нелинейных зависимостей, самих зависимостей, от пути метода идеализации зависеть насколько сложным путем будет найдено решение той или иной задачи? Будет ли это решение содержать ответ на все поставленные нами вопросы о свойствах исследуемой реальной системы? Не приведет ли нас анализ неудачно идеализированной системы к нетривиальным выводам о свойствах реальной системы, и, наконец, в каких пределах полученное решение будет правильно описывать действительные процессы?

И так, расчетная модель также описывает процесс в физически содержательных терминах, но от физической модели она является упрощенной и, вследствие этого, в ней не учитываются параметры и факторы, которые в заданных условиях и границах заметно не влияют на ход исследуемого процесса. При этом степень упрощения физической модели одновременно зависит от характера решаемой задачи и от уровня знаний физических процессов, протекающих в исследуемой динамической системе (строительном объекте) [2-3]. Вследствие чего, для получения практически приемлемой расчетной модели мы обязаны выполнить ряд определенных ограничений:

Прежде всего, мы обязаны подобрать интересующие нас идеализации и аппроксимации с таким расчетом, чтобы они обеспечивали бы близкое отражение истинной работы как самого строительного объекта при сильных землетрясениях, так и его основных элементов и узлов. Жизненно важно и необходимо, чтобы вводимые аппроксимации обеспечивали бы высокую эффективность работы и большую надежность системы в интересующих нас условиях. [2-5].

Наряду с этим, большое значение приобретает принцип простоты (минимальной сложности) аппроксимирующей модели работы строительного объекта: с одной стороны модель должна достаточно полно и правильно отражать работу реального объекта, с другой стороны – она должна быть достаточно простой, чтобы созданный на ее основе метод расчета не был чрезмерно громоздким. Другими словами необходимо, чтобы этот метод при переводе его на машинный язык допускал эффективное использование ЭВМ (компьютера). Таким образом, интересующая нас формализация требует такого упрощения реальной ситуации, которая дает возможность использования формальных методов современной математики и средств вычислительной техники. [2-12]

При этом следует быть очень осторожными с упрощениями и отбросом различных, на первый взгляд, несущественных факторов типа малых параметров, чтобы при использовании

203

аппроксимирования в практических приложения (задачах) случайно не отбросить и не исключить из рассмотрения каких-либо важных и существенных особенностей поведения системы. Так как не исключена возможность того, что, в конечном итоге, это не скажется негативно на устойчивости или на качественном характере исследуемого процесса. Что, в свою очередь, приводит к необходимости обязательного определения границ применимости и допустимости ошибок, т.е. определения точности решения. И, как следствие, предполагает доказательство соответствия характера идеализации, задействованной в расчетно-динамической модели, уровню задачи. [2-8]

К сожалению, в инженерной практике качественно осуществить оценку ошибок для сложных динамических систем редко удается. Не все гипотезы и упрощения поддаются экспериментальной проверке на натурных объектах, не говоря уже об экспериментах на модельных образцах. С другой стороны, без количественной оценки водимых упрощений и рабочих гипотез нельзя судить о достоверности результатов исследований или практических расчетов и границ их применимости. А это подводит нас к необходимости определиться с тем, что же мы хотим получить, и какими при этом реальными возможностями и средствами мы для этого располагаем.

[1-3, 10-12]

Также очевидно, что аппроксимирующая модель и разработанный на ее основе метод расчета должен обеспечивать выбор таких соотношений между параметрами строительного объекта, варьируя которые можно было бы получить соответствующий ряд оптимальных сооружений (например, в отношении общего веса, стоимости и т.д.) при учете всего множества внешних воздействий и условий работы, в которых строительные объекты могут находиться. В общем случае, характерной чертой расчетной модели является введение некоторых функционалов от изучаемого процесса, экстремальные значения которых служат показателями оптимальности или эффективности процесса. [2-5, 10-12]

Однако принцип оптимальности, являющийся весьма важным для нас фактором, требует длительных и весьма трудоемких исследований, которые обеспечивали бы его практическую реализацию. В этой области после деятельности остается открытым для углубленных исследований. [2-3]

Заметим, что принцип оптимальности включает в себя также требование комплексного подхода к решению проблемы и обеспечения специализированных условий работы для наиболее ответственных элементов, узлов и конструкций исследуемого строительного объекта.

Чтобы обеспечить выше отмечаемые условия, определимся с интересующими нас идеализациями и аппроксимациями, используемыми в расчетно-динамических моделях и представляющими для нас практический интерес:

Во многих случаях сложная динамическая система, к которой может быть отнесен строительный объект, допускает расчленение ее на ряд простых динамических подсистем (элементов), которые, стыкуясь в определенной последовательности, образуют исходную систему. Как показывает практический опыт, экспериментальные исследования простых подсистем выполняются значительно проще и стоят намного дешевле, чем те же испытания всей системы. К тому же количество и ценность информации при экспериментальных исследованиях подсистемы будут, как правило, больше, чем при испытаниях всей динамической системы. Объясняется данное обстоятельство тем, что во втором случае на «выходе» регистрируются интегральные параметры процесса поведения (движения) всей системы, характеризующие только данную, конкретную систему. К сожалению, при необходимости внесения каких-либо изменений в общую, динамическую систему, для оценки вводимого изменения, приходится использовать целый ряд сопоставительных расчетов или привлекать сопоставительную серию дорогостоящих испытаний. В то время как, при изучении отдельных, простых подсистем или групп (если изучены связи между подсистемами) можно вначале конструировать различные, сложные динамические системы, а затем, исследовать их аналитически или числено на ЭВМ. [2-3, 9-12]

С другой стороны в работе [8] справедливо подчеркивается, что при разработке методов расчета строительных объектов (сооружений) на действие статических и различных динамических нагрузок, строительный объект следует рассматривать как единую пространственную систему с учетом работы всех конструктивных элементов, так как иначе из рассмотрения выпадает

204

целый ряд существенных для исследования моментов. А значит, невозможно осуществить в полном объеме динамический анализ и определить роль взаимовлияния частей и элементов строительной системы друг на друга и на систему в целом, что ведет к искажению понимания истинной работы исследуемой системы. Дело в том, что строительные объекты при сильных сейсмических воздействиях ведут себя как физические, геометрические и кинематические нелинейные системы. При этом физическая нелинейность связана с пластическими деформациями, хрупким разрушением и т.д., геометрическая нелинейность – с большими перемещениями частей системы, кинематическая нелинейность – с многокомпонентностью сейсмического движения основания и его вращения в результате волнового воздействия с учетом кариолисова ускорения и конечного вращения тел, формирующих модель. Каждый вид нелинейности необходимо оценить самостоятельно и в совокупности действующих факторов. Что без пространственного исследования системы осуществить просто невозможно. Иначе оказывается невозможным проведение в полном объеме динамического анализа и оказывается невозможным определение роли взаимовлияния частей и элементов строительной системы друг на друга и на систему в целом, что ведет к искажению понимания истинной работы исследуемой системы. [2-6, 10-12]

Таким образом, развитие расчетных моделей сооружений, уточнение отдельных параметров, переход к пространственным системам (учитывающим неравномерный характер распределение масс и связей в пространстве, пространственный характер сейсмического воздействия), учет развития хрупких и пластических деформаций и повреждений, а также взаимодействия сооружения с основанием, приближает нас к раскрытию истинной картины поведения объекта при интенсивных динамических нагрузках. [2-3, 6-7, 10-12]

Базой для перехода к пространственным расчетно-динамическим моделям строительных объектов служит стремительное развитие вычислительной техники, а так же развитие методов строительной механики, в частности метода анализа дискретных динамических систем, метода конечных элементов (МКЭ) и т.д., приспособленных для широкого использования современных ЭВМ. [2-8]

Отметим, что моделирование сооружений упрощенными континуальными моделями (составной стержень, пластинка) получило свое распространение до появления ЭВМ (компьютеров) и на раннем этапе их развития, так как для таких расчетных моделей легко удавалось получить аналитические решения и, следовательно, какую-то ориентировочную оценку напряжен- но-деформированного состояния объекта. [9-13]

Однако, к сожалению, использование в расчетах при проектировании строительных объектов упрощенных расчетно-динамической моделей не позволяет вскрыть всех скрытых резервов исследуемого объекта и правильно ими распорядиться и не раскрывает истинной картины его поведения. Достоверность результатов (выхода), полученных расчетом, зависит как от качества расчетно-динамической модели объекта, так и от качества моделей динамического воздействия (входа), в особенности от таких воздействий как сейсмические. Как известно, сейсмические нагрузки представляют собой случайное поле возмущений и их моделирование и четкое математическое описание, из-за недостаточности и неполноты необходимой для этого информации, на практике встречает большие затруднения. Таким образом, совершенствование расчетных динамических методов расчета строительных объектов должно сопровождаться одновременным улучшением как самих расчетно-динамических моделей, так и улучшением моделей расчета силового поля. [2-7]

Как правило, расчет строительных объектов на любые динамические нагрузки начинается с формирования расчетно-динамической модели, которая отражает определенные свойства реального объекта. Одновременно с расчетной динамической моделью строится и физическая модель, которая при этом присутствует незримо, в сознании исследователя, когда он из огромного множества присущих реальному сооружению черт, отбирает главные, формирует гипотезы, вносит упрощения. [2-5]

Затем расчету сооружения на динамические нагрузки всегда предшествует его расчет на статические нагрузки, без которого невозможно определить динамические параметры строительного объекта: собственные частоты и формы колебаний. Поэтому статическая модель строительного объекта обязательно должна быть согласована с его расчетно-динамической мо-

205

делью, так как согласование этих моделей между собой обеспечивает корректность, точность и достоверность результатов, получаемых расчетом. [2-3, 9-12]

Следует напомнить, что в строительной практике все нагрузки подразделяются на статические и динамические нагрузки. При этом под статическими нагрузками понимаются нагрузки постоянные во времени или изменяющиеся так медленно, что строительный объект остается практически неподвижным. В то время как под динамическими нагрузками рассматриваются нагрузки, изменяющиеся во времени настолько быстро, что в результате их действия конструкции приходят в движение (совершают колебания), и ее элементы приобретают значительные ускорения, которые должны быть учтены в расчете. Но так как силы инерции зависят от перемещения конструкций, которые, в сою очередь, определяются значениями инерционных нагрузок, то расчет динамической системы существенно усложняется. Этот замкнутый цикл причины и следствия может быть непосредственно решен только рассмотрением задачи в форме дифференциальных уравнений. Более того, поскольку масса строительных конструкций непрерывно распределена по ее длине, для нахождения сил инерции должны определяться значения перемещений и ускорений для каждой точки оси конструкций. В связи с тем, что координаты и время должны рассматриваться как независимые переменные, задача должна формулироваться в виде дифференциальных уравнений с частными производными. Как следствие, в отличие от статической задачи, динамическая задача не имеет единственного решения, что требует от исследователя выбора последовательности решений, соответствующих всем моментам времени, которые представляют интерес при определении реакции сооружения. [2-3, 12-13]

Силы инерции, которые оказывают сопротивление ускорениям системы очень важная отличительная характеристика задач динамики сооружений. Как правило, если инерционные нагрузки, составляющие существенную часть общих нагрузок, которые уравновешиваются внутренними силами упругости строительного объекта, то динамический характер задачи должен обязательно учитываться при ее решении. Если же движения системы настолько медленные, что силы инерции пренебрежительно малы, то можно применить метод статического расчета для любого момента времени, даже если нагрузка и реакции строительного объекта изменяются во времени. [2-3, 10-13]

При исследовании работы строительной системы в упругой стадии, используя принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции), удобно отдельно рассматривать статические и динамические компоненты приложения нагрузки для раздельного определения реакции от каждого вида нагрузки, а затем объединить обе компоненты реакции для оценки общей реакции системы. Таким образом, следуя отмечаемому подходу, статические и динамические методы расчета можно рассматривать как принципиально различные по своей природе. В рамках такого подхода понятие динамическая нагрузка можно определить как нагрузка, изменяющаяся во времени. Тогда динамическая нагрузка представляет собой любую нагрузку, величина которой, направление и место приложения меняются во времени. Аналогично реакция системы при динамической нагрузке (результирующие прогибы и напряжения) также изменяется во времени

иявляется динамической. В то время как усилия и перемещения от силы тяжести не зависят от времени и соответствуют исходному состоянию равновесия системы. Определение этих усилий

иперемещений не представляет труда, поэтому, чаще всего, их считают известными и рассматривают только вторую, основную часть задачи - действие всех сил, за исключением силы тяжести. Правда, применение принципа суперпозиции предполагает, что как раздельное, так и суммарное силовое воздействие не вызывает в системе нелинейных деформаций. Хотя реально, в частности из-за нелинейности работы строительных элементов в условиях сильных динамических воздействий, это не соответствует действительности. Просто это одно из допущений, позволяющее получать практически приемлемое решение. [2, 12-13]

Для решения задач динамики используют два основных метода – метод, основанный на составлении уравнений движения, и энергетический метод:

Уравнения движения получаются обычно с помощью принципа Даламбера, общих теорем динамики или на основе уравнений Лагранжа второго рода.

Согласно принципу Даламбера, действующие на систему активные силы и реакции связей вместе с силами инерции образуют уравновешенную систему сил, т.е. удовлетворяют уравне-

206

ниям статики. Так как принцип Даламбера формально сводит задачу динамики к задаче статики, то способ, основанный на этом принципе, получил наименование кинетостатического или просто статического. [2, 12-13]

Энергетический метод решения задач динамики основан на использовании энергетических принципов – закона сохранения механической энергии, принципа стационарности потенциальной энергии (в случае сведения задачи динамики к задаче статики с помощью принципа Даламбера) и некоторых других.

Таким образом, динамические нагрузки прикладываются к механическим системам, уже подвергнутым воздействию тех или иных статических нагрузок (прежде всего собственного веса этих систем). А колебания конструктивных элементов строительных системы, происходят около положения равновесия системы, установившегося под действием статических сил. [2, 10-13]

Особо отметим, что динамические расчеты сооружений на промышленные нагрузки, которые являются длительными, проводятся для упругой стадии его работы. При этом учет образования трещин, повреждений, пластических шарниров и других нелинейных повреждений расчетом не предусматривается. В то время как сведения сейсмометрической службы, а также данные обследования сооружений, перенесших сейсмические, ветровые и волновые нагрузки, показывают, что физическая нелинейность проявляется всегда. Даже при сейсмических воздействиях меньше расчетных значений в зданиях и сооружениях, как правило, появляются трещины, а иногда и локальные разрушения. [2-3, 10-13]

В отличие от всех других воздействий на сооружение сейсмические силы, в обычном смысле этого слова, не являются внешними силами, такими, например, как нагрузки от собственного веса на перекрытия и т.д. В действительности сейсмические силы при заданном законе движения основания генерируются самим сооружением в зависимости от распределения его масс, жесткостей, наличия пластических элементов и т.д., т.е. от особенностей конструктивного решения. С одной стороны это, в определенной мере, позволяет конструктору регулировать сейсмические воздействия, действующие на строительный объект. С другой стороны, к сожалению, для силовых возмущений природного характера составить расчетно-динамическую модель не только сложно, но и принципиально трудно. Отличительная особенность этих воздействий состоит в том, что ими нельзя управлять как по интенсивности, так и по направлению, поэтому сооружения при этих воздействиях всегда работают как пространственная система. К пространственному характеру приводит обычно имеющее место не совпадения центра масс с центром жесткостей строительный объект. К тому же при больших значениях этих возмущений сооружение всегда работает в неупругой стадии с образованием трещин и разрушением отдельных элементов, так как чаще всего в конструкциях сооружений применяются хрупкие материалы. А выбор самой модели сейсмического воздействия осуществляется в условиях существенной неполноты сейсмологической информации и связан с общей задачей оптимального решения в сложных ситуациях. [2, 10-13]

Таким образом, только пространственная, трехмерная расчетно-динамическая модель способна наиболее полно учесть все особенности реального строительного объекта при многокомпонентном сейсмическом воздействии, и, следовательно, на сегодняшний день может считаться наиболее совершенной.

При исследовании работы строительной системы в упругой стадии, используя принцип независимости действия сил, удобно рассматривать отдельно действие силы тяжести mg и всех остальных нагрузок (включая силу инерции). Положение механической системы можно задать с помощью определенного числа параметров. Так положение материальной точки на плоскости задается двумя коэффициентами (x, y), а в пространстве – тремя (x, y, z). В то время как положение плоской недеформированной фигуры на плоскости уже определяется тремя величинами - двумя координатами (x, y, ), какой-либо точки фигуры и углом поворота ( ). Положение абсолютно жесткого тела в пространстве задается шестью величинами – тремя координатами (x, y, z) одной из его точек и тремя углами поворота ( , , ) относительно координатных осей. [2, 12-13]

Число независимых параметров, определяющих положение механической системы, называется числом степеней свободы, а сами параметры называются обобщенными координатами. В результате абсолютно жесткое тело в пространстве характеризуется шестью степенями свободы.

207

Отсюда система, состоящая из абсолютно жестких тел, может иметь любое, но всегда конечное число степеней свободы. В противоположность этому деформированные механические системы, к которым относятся балки, рамы, пластины, оболочки и вообще все реальные конструкции, имеют бесконечное число степеней свободы. Действительно, например, чтобы задать положение конкретной, изогнутой балки необходимо задать положение каждой точки ее оси, а число этих точек бесконечно (иными словами, в отмечаемом случае необходимо задать прогиб балки как функцию координаты). [2, 12-13]

Наличие у строительных элементов бесконечного числа степеней свободы связано со способностью строительной системы деформироваться. Однако в тех случаях, когда жесткости одних элементов конструкции намного больше жесткости других, деформируемостью более жестких элементов обычно пренебрегают, считая их абсолютно жесткими. Так приходят к понятиям материальной точки (сосредоточенной массы) и абсолютно жесткого тела, имеющих конечное число степеней свободы. Если при этом еще удается определить силы взаимодействия

идеформируемыми частями конструкции (точнее, выразить силы через перемещения абсолютно жестких элементов), то вместо исходной системы удобнее рассматривать лишь систему абсолютно жестких элементов, имеющих конечное число степеней свободы, под действием заданных сил и сил взаимодействия. А значит, в задачах динамики системы, у которых масса упругих элементов мала по сравнению с массой абсолютно жестких тел, можно рассматривать как системы с конечным числом степеней свободы. [2, 10-12]

Следует отметить, что в системе, состоящей из абсолютно жестких тел и невесомых упругих элементов, обобщенные координаты определяют лишь положение абсолютно жестких тел, а деформация упругих элементов зависит не только от положения абсолютно жестких тел, но

иот приложенных к упругим элементам нагрузок. Лишь только в том случае, когда нагрузки приложены только к абсолютно жестким телам, деформация упругих элементов полностью определяется значениями обобщенных координат. [2, 12-13]

Приведенная модель с сосредоточенными массами представляет собой наиболее простой метод ограничения степеней свободы и наиболее целесообразна при анализе систем, у которых значительная часть полной массы действительно сосредоточена в нескольких дискретных точках. Тогда можно предположить, что масса сооружения тоже включена в эти дискретные массы, а само сооружение рассматривается «невесомым». В результате чего, задача расчета существенно упрощается, так как в этом случае мы можем силы инерции определять только для точек сосредоточения масс, а значит, перемещения и ускорения системы также можно рассматривать лишь только для этих дискретных точек. [2, 10-12]

Если строительный объект удается смоделировать дискретной моделью, то статические задачи приводятся к алгебраическим уравнениям, а динамические к линейным (или не линейным) обыкновенным дифференциальным уравнениям. Для континуальных же систем и те, и другие задачи описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений по сравнению с уравнениями в частных производных имеют некоторые преимущества. Первые допускают сравнительно простые исследования, в частности во временной области, что особенно привлекательно для решения нелинейных задач, а вторые, как правило, решаются в частной области, что ограничивается рамками линейных задач.

Однако, в тех случаях, когда масса системы равномерно распределена, более предпочтителен альтернативный подход к ограничению степеней свободы. Этот метод основан на допущении, что форма изгиба строительного объекта может быть выражена в виде суммы простых форм перемещений. Тогда эти формы становятся координатами перемещений строительного объекта. В качестве простого примера использования такого подхода может служить представление прогибов строительных элементов (конструкций) посредством тригонометрических функций. При этом прогиб выражается суммой независимых синусоид. А значит, любая форма изгиба, обусловленная заданными граничными условиями, может быть представлена рядом таких синусоид. Амплитуды этих синусоид можно применять в качестве координат системы, и бесконечное число степеней свободы реальной балки представляется бесконечным числом членов ряда. Преимущество этого подхода заключается в том, что можно хорошо аппроксими-

208

ровать форму изгиба реальной балки путем ограничения членов ряда гармоник. Так, система с тремя степенями свободы будет описываться только тремя членами ряда. [2, 10-13]

Данный подход к ограничению степеней свободы может быть обобщен, если принять, что синусоидальные формы перемещения есть результат произвольного выбора для данного при-

мера. В общем случае любые формы ψn x , удовлетворяющие геометрическим граничным

условиям, могут быть приняты, если они обеспечивают совместность перемещений. Тогда общее выражение для перемещений любой исследуемой системы будет представлять собой сумму частных выражений перемещений этой системы. Для любой заданной системы функция пере-

мещений ψn x

торые могут рассматриваться как обобщенные координаты. Тогда число предлагаемых форм характеризует число степеней свободы, учитываемых для данной модели. Как правило, для заданного числа степеней свободы большая степень точности может быть достигнута при динамическом расчете путем использования метода форм деформаций, чем при применении метода сосредоточенных масс. Однако при использовании обобщенных координат, с введением каждой дополнительной степени свободы, увеличивается объем вычислений. Поэтому не удивительно, что для реальных строительных объектов, состоящих от нескольких сотен до десятков тысяч различных элементов, отмечаемый подход в большинстве практических случаев конкретного расчета оказывается неприемлем. [2, 12]

Вследствие чего, большее распространение и применение получил метод выражения перемещений любого строительного объекта через конечное число координат перемещений, которые объединяет особенности, как метода сосредоточенных масс, так и метода обобщенных координат. Этот метод разработан на базе метода конечных элементов (МКЭ). [2, 10-13]

МКЭ является эффективным численным методом для решения широкого круга технических задач. По своей сути МКЭ является вариационным. Это означает, что основные разрешающие уравнения могут быть получены непосредственно из вариационного принципа Лагранжа.

[14-18]

Построение функционала полной потенциальной энергии системы – основа для дальнейшего использования всех вариационных методов, в том числе МКЭ. Чтобы построить функционал, нужно знать дифференциальные операторы, связывающие перемещения с напряжениями. Наиболее общее выражение имеют операторы трехмерного напряженного состояния. В других частных случаях (пластины, стержневые системы и др.) часто удается при помощи гипотез (например, гипотезы прямых нормалей для тонких плит, гипотезы плоских сечений для стрежней) упростить задачу. При этом упрощается и выражение для работы внутренних сил. Это происходит либо за счет пренебрежения некоторыми членами (так, для плоского напряженного состояния считается, что σz = 0, поэтому часть членов по сравнению с трехмерным напряжением состоянием выпадает), либо за счет введения вместо напряжений и деформаций их интегральных характеристик (например, момента и кривизны для изгибаемых пластин и стержней). Поэтому в каждом типе задачи выражение для полной потенциальной энергии системы имеет свой вид, который надо четко представить, прежде чем решать задачу МКЭ. [14-18]

Ключевая идея метода при анализе поведения конструкций заключается в следующем: сплошная среда (конструкция или строительный объект в целом) моделируется путем разбиения ее на области (или конечные элементы - КЭ).

Заметим, что количество КЭ и их размеры могут быть произвольными. Однако при расчленении системы на КЭ нужно стараться, чтобы форма КЭ была по возможности простой. Кроме этого, необходимо удовлетворить двум противоречивым требованиям: точности, которая требует большого числа расчетных узлов (большой густоты расчетной сетки), и практического решения задачи, которое накладывает ограничение на количество решаемых канонических уравнений системы, а, следовательно, и на количество расчетных узлов системы. Обычно при дискретизации расчетной схемы для двумерных или трехмерных объектов теории упругости КЭ расчленяют на элементы соответствующей статической природы. В частности, для двумерных областей наиболее часто применяют треугольные или прямоугольные КЭ, а для массивных тел – КЭ в форме тетраэдра или параллелепипеда. Концы элементов, которыми они соединяются

209

между собой, называют узловыми точками, перемещения этих узловых точек принимаются в качестве обобщенных координат. [14-19]

Затем, в соответствии с сопроматом или теорий упругости, используется, имеющая место однозначная, прямая взаимосвязь между напряженным и деформированным состоянием строительной системы [20]. А если известны узловые перемещения системы, то с их помощью несложно получить функции внутренних усилий в элементах строительной системы и наоборот, если известны напряжения в элементах системы, то несложно получить перемещения системы. Подход, при котором, вначале находят усилия, а потом с их помощью определяют перемещения, эквивалентен методу сил в строительной механике. Подход, при котором, вначале получают перемещения, а после этого, с их помощью определяют усилия, эквивалентен методу перемещений. [14-19]

На практике применение метода перемещений оказалось более эффективным, чем метод сил. Не случайно МКЭ вначале был известен как метод жесткостей. Хотя, вообще-то, в инженерной практике используются оба метода. Непосредственное применение того или иного метода зависит от сложности и условий решаемой задачи. При необходимости, в ряде случаев, возможно и одновременное (или смешанное) использование методов, когда часть решения может осуществляться методом перемещений, а часть – методом сил.

Между характерными точками (или узлами) функции перемещений или усилий аппроксимируются полиномами. В результате неизвестные узловые значения перемещений или усилий определяются из системы линейных алгебраических уравнений. Для составления системы уравнений, в соответствии с разбивкой на КЭ, из рассматриваемой среды выделяются элементы с конечными размерами, которые рассматриваются в их действительном и деформированном состоянии и в условиях их реальных взаимосвязей. Записываются уравнения равновесия КЭ, зависимости между их перемещениями и деформациями (взаимные перемещения) и между напряжениями и деформациями (между усилиями и взаимным перемещениями). Соответствующими математическими преобразованиями из уравнений в интегральной форме можно получить дифференциальные уравнения. Уравнения КЭ имеют тот же физический смысл, что и соответствующие уравнения метода дифференциальных элементов, но они записаны непосредственно для элементов с конечными размерами. При использовании соответствующей аппроксимационной системы, описанные уравнения принимают алгебраическую форму. Решение полученной системы алгебраических уравнений и будет решением поставленной нами задачи. Это решение - приближенное. Однако, при достаточной густоте узловых точек (или густоте сеток, при использовании многосеточных методов) и подходящей аппроксимационной системы можно получить результат желаемой точности. [15-19, 21-22]

При этом в каждой области разбиения поведение среды описывается с помощью отдельного набора выбранных функций, представляющих напряжения и перемещения в указанной области. Эти наборы функций часто задаются в такой форме, чтобы удовлетворить условия непрерывности описываемых ими характеристик во всей среде. В других случаях выбранные представления полей не обеспечивают непрерывности и, тем не менее, дают возможность получить удовлетворительное решение. Правда, в этом случае, в отличие от полностью непрерывных моделей, нет полной уверенности в сходимости решения. [14-19]

Если поведение исследуемого объекта описывается единственным дифференциальным уравнением, то получить приближенное решение этого уравнения можно как МКЭ, так и помощью техники разложения в ряды или конечно разностных схем. Если же исследуемый объект неоднороден и состоит из большого количества отдельных конструктивных элементов, поведение каждого из которых описывается своим дифференциальным уравнением, то в этом случае, как правило, можно непосредственно применить только лишь МКЭ.

Следует заметить, что в то время как стержневые системы (рамы, фермы, перекрестные балки) по своей природе являются «дискретными», для остальных видов конструкций (пластин, оболочек и т.д.) это не так. Поэтому для таких систем метод перемещений применяется после предварительного процесса дискретизации. В результате получается новая математическая модель конструкции, которая называется «идеализированной конструкций». При создании этой модели необходимо выяснить, каковы кинематические величины (или обобщенные перемеще-

210