m0919

φ - сдвиг фаз между вынуждающей силой и вынужденными колебаниями системы. Величины A и φ - находятся после подстановки частного интеграла A cos (ωt - φ) в урав-

нение (2.12)

В уравнения (1.8) первое слагаемое представляет собой собственные начальные колебания, определяемые только начальными условиями, второе – сопровождающие собственные колебания, определяемые вынуждающей силой, а третье – вынужденные колебания системы. Собственные колебания диссипативной системы быстро затухают, поэтому с течением времени в системе остаются только вынужденные колебания, описываемые выражением (2.14)

Резонанс в диссипативной системе наблюдается при частоте ðåç 02 2 h 0 , кото-

рое определяется отыскиванием экстремума амплитуды A в зависимости от частоты ω. Величина амплитуды резонансных колебаний

Между частотами собственных колебаний консервативной системы ω0, диссипативной системы ω1 и резонансной ωp существует следующая зависимость: ωp < ω1 < ω0. Однако при слабом демпфировании (диссипации), т.е. при h ≈ 0, различие в частотах незначительно и ωp ≈

ω1 ≈ ω0.[10, 17-20]

В то время как при импульсном представлении внешней нагрузки, учитывая различие в математической форме представления нагрузки в уравнении (2.11), приращение перемещения

системы в любой момент времени t → τ (Рис. 2.4, a-b) будет определяться выражением:

d x e h t P d sin 1 t .1

При этом предполагается, что внешняя сила (импульс) P является функцией фиктивного времени τ. Поскольку такой же эффект вызывается каждым приращением импульса P(τ) d(τ) на интервале от 0 до t то в результате непрерывного действия возмущающей силы P(τ) получим следующее выражение для полного приращения:

Выражение (2.17) или интеграл Дюамеля представляет собой полное перемещение системы при действии возмущающей силы P(τ) на интервале времени от 0 до t. При этом оно включает как установившиеся, так и не установившиеся формы колебания системы, что особенно удобно при исследовании поведения системы при возмущениях произвольного вида. Если функцию P(τ) не представляется возможным выразить аналитически, интеграл (2.17) всегда можно вычислить приближено с помощью соответствующего метода графического или численного интегрирова-

ния. [10, 17-24]

Следует обратить внимание на то, что интеграл Дюамеля отображает суммарное движение системы, возможное только в соответствие с принципом суперпозиции и получаемое как наложение движений, возникших при воздействии каждого последовательного импульса, на коле-

221

бания, первоначально существовавшие в системе. Что, естественно, подразумевает упругую работу динамической системы, а значит, интеграл Дюамеля справедлив лишь для линейных систем. При необходимости учета нелинейных особенностей (характера) работы системы, следует использовать численный метод шагового интегрирования, который, как это уже отмечалось ранее, хотя и более громоздок, но и более универсален. В результате представление непрерывной действующей силы суммой бесконечного числа последовательных импульсов движение системы опишется в виде интеграла свертки:

Из уравнения (2.18) следует, что в рассматриваемом случае колебания являются суммарными, т.е. состоящими из колебаний, существующих в системе до момента t= τ, и колебаний, возникающих в результате импульсного воздействия. Выражение можно использовать для нахождения закона движения колебательной системы с диссипацией под действием внешней силы произвольного вида. [10, 17-24]

В общем случае при произвольной форме функции P(τ), как видно из уравнений (2.18), интегралы не могут быть выражены в виде элементарных функций. В случае нестационарности процесса, связанной с частотой вынуждающего воздействия, решение уравнений движения колебательной системы в замкнутой форме можно получить только при ω(t) = ω т.е. когда частота не является функцией, зависящей от времени. В случае любой другой зависимости ω(t) решение указанных уравнений можно получить только приближенными, численными методами.

При нестационарности процесса, связанной с амплитудой вынуждающего воздействия, интегралы удается определить только в случае простейших зависимостей, например типа степенной или экспоненциальной функции. В случае произвольной зависимости амплитуды от времени P(τ ) решение уравнений движения колебательных систем получают приближенными с помощью численных методов. [10, 17-24]

При определении максимальной реакции строительных конструкций при импульсивных нагрузках затухание сказывается значительно меньше, чем при периодических и гармонических нагрузках. Максимальные реакции при импульсивном нагружении достигается за очень короткий промежуток времени, прежде чем силы затухания смогут погасить значительную долю энергии, передаваемой сооружению.

Таким образом, внутренне трение от однократного импульса в системе с одной степенью свободы незначительно снижает максимальную величину перемещений и внутренних усилий. Действительно, если продолжительность что τ не превышает периода свободных колебаний системы T1, то максимум перемещения будет в пределах этого периода и влияние затухания будет незначительным ввиду малости интервала времени. Если же τ >> T1 то и в этом случае влияние затухания на максимум перемещений будет незначительным, так как при внезапно приложенной нагрузке максимум перемещений будет в первом полупериоде колебаний, а при нагрузке, плавно возрастающей от нуля, перемещение будет мало отличаться от статического приложения нагрузки (Рис. 2.4, е). Поэтому незначительным влиянием внутреннего трения на максимум перемещений обычно пренебрегают. При желании приближенно учесть это влияние следует величину перемещения системы умножить на коэффициент e-γπ/4 (где γ - коэффициент неупругого сопротивления системы). Во всех других случаях, т.е. при многократном или периодическом импульсном воздействии и для многомассовых диссипативных динамических систем, влиянием трения уже пренебрегать нельзя – оно обязательно должно вводиться в дифференциальные уравнения, описывающие колебания системы. [10, 17-24]

Задачу формализации диссипативных сил также облегчает и то обстоятельство, что в области малых скоростей силы сопротивления можно считать линейно зависящими от скорости движения системы.

Другая возможность значительного упрощения физико-математического описания всего исследования открывается за счет использования замены различных видов демпфирования их эквивалентным, вязким демпфированием, что в результате и открывает возможность исследования динамической системы посредством линейных дифференциальных уравнений.

222

Дело в том, что, с точки зрения физико-математического представления, среди всех упомянутых причин рассеивания энергии случай, в котором демпфирующая сила пропорциональна скорости (так называемое вязкое демпфирование), является простейшим. Использование же простейшего случая или эквивалентного трения в качестве мерила других, более сложных диссипативных систем, как раз и обеспечивает нам простоту формализации (исследования) более сложных диссипативных систем. При этом эквивалентное демпфирование определяют из условия энергетического равновесия с таким расчетом, чтобы за один цикл эквивалентного демпфирования рассеивалось бы столько же энергии, сколько и при действии реальных сил сопротивления. [10, 17-24]

В качестве уравнение движения одномассовой системы с нелинейным трением b x t и

линейной силой упругости cx при силовом гармоническом воздействии P(t) рассмотрим все то же дифференциальное уравнение (2.11). Однако при этом, используя метод энергетического баланса, заменим нелинейную силу трения ее эквивалентной аналогией, т.е. линейной силой, рассеивающей ту же энергию за период T установившегося движения. Аналитически это условие записывается в форме

где bэкв = hэкв m - эквивалентный коэффициент сопротивления системы, а hэкв по аналогии с (2.11) - эквивалентный коэффициент демпфирования или затухания системы.

Если учесть, что установившиеся колебания, в частности при гармоническом F(t) = P0 sin ωt воздействии описываются формулой:

где А- амплитуда колебаний;

Определив, таким образом, коэффициент эквивалентного, вязкого трения и подставив его в общее решение уравнения (2.13), получим выражение для определения амплитуды нелинейных

b x b x x n 1, получаем следующий коэффициент эквивалентного вязкого трения:

Поскольку пределы интегрирования охватывают лишь половину периода колебаний, то в

В частных случаях, когда n = 0 - кулоново трение; n = 1 -линейно-вязкое трение и

n = 2 - турбулентное трение, величина коэффициентов эквивалентного, вязкого трения в зависимости от значения n, имеет соответственно следующий вид:

Из уравнения (2.24) следует, что коэффициент bэкв для кулонового трения обратно пропорционален, а для турбулентного прямопропорционален амплитуде и частоте (A и ω) колебаний; в то время как для линейно-вязкого трения он не зависит от указанных величин. При этом амплитудно-частотные характеристики для отмечаемых видов трения приобретают вид:

Как следует из первого соотношения уравнения (2.25), т.е. при кулоновом трении явление резонанса при ω ≈ ω0 приводит к неограниченному росту амплитуды колебаний и разрушению динамической системы. При этом должно выполняться условие P0 4 / bcos .

При линейно-вязком трении, в соответствие с уравнением (1.8), величина резонансных колебаний наблюдается при частоте ðåç 02 2 h 0 , в то время как турбулентному трению -

резонансная кривая, определяемая соотношением P0 .

Итак, как следует из представленного выше материала, пока наше рассмотрение ограничивалось исключительно одномассовыми динамическими системами. Понятно, что, в отличие от работы одномассовой системы, работа многомассовой системы, в силу ее большей динамической подвижности, иной пространственной конфигурации и взаимосвязи элементов динамической системы, иного характера распределения массы и жесткости элементов системы, будет существенно отличается. Вот и рассмотрим эти особенности на примере многомассовой консоли, заделанной в основание (рис. 2.4, c), лежащей в основе действующего и предыдущих СНиП по сейсмостойкому строительству, полагая, что на ее уровнях k = 1, 2…, n расположены сосредоточенные массы m1, m2 ,…, mn. В матричной символике, при прямой форме решения, получим

где M -диагональная матрица жесткости; K - симметричная матрица жесткости;

C - матрица коэффициентов сопротивления (симметричная диссипативная матрица);

X, X, X соответственно матрицы-столбцы ускорений, скоростей и перемещений на

уровнях масс номер 1, 2…, n;

P(t) - матрица-столбец вынуждающих сил;

224

На уровне каждой из масс по направлению их движения вводятся фиктивные опоры, из которых поочередно каждая смещается на единицу. При этом во всех фиктивных опорах новой системы возникают реакции, равные величинам kki которые получили название коэффициентов жесткости.

Отметим, что в силу ортогональности в уравнениях (2.26) реакции в фиктивных связях k11, k12,… knn, входящих в матрицу K, и диссипативных сил c11, c12,… cnn, удовлетворяют условию

kij = kji; cij = cji.

Внешне, как видно из уравнения (2.26), по форме записи дифференциальное уравнение многомассовой системы похоже на уравнение одномассовой системы. Однако это уже матричное уравнение, которое подчиняется специфическим действиям матричной алгебры, т.е. своим специфическим законам.

Рассмотрим вариант формализации консольной, многомассовой динамической системы, предложенной В.С. Поляковым.

Как известно, в общем случае матрица коэффициентов сопротивления C нелинейна. В то время как разложение колебаний по их собственным формам возможно только при некоторых условиях. Которым должна удовлетворять матрица C. Одним из таких условий является предположение, что элементы матрицы Cki представляющие диссипативную силу на уровне k при единичной скорости j, если скорости движения остальных масс нулевые. Кроме этого, действует еще предположение, что матрица C - диагональная, а ее элементы соответствуют равенству коэффициентов демпфирования для всех форм собственных колебаний

Следует особо выделить, что, вообще-то, принятое условие не имеет экспериментального обоснования. К сожалению, опытных данных по определению характеристик диссипации при разных формах собственных колебаний очень мало, имеющиеся же результаты опытов относятся к простейшим системам и подчас противоречивы. Вследствие чего, в практических расчетах и анализах получил распространение такой искусственный прием, при котором разложение колебаний механических систем по их собственным формам осуществляется без учета диссипации,

а функция затухания e i t вводится в итоговые формулы (Рис.2.4, d ) типа

n

xk t xk i Ai sin it i . i 1

При этом вместо принятого для всех форм значения h принимается различное значение hi= = (δi ωi)/2π). Тогда

225

где ω1, A0i и φ определяются из начальных условий.

Приравняв детерминант (2.369) равным нулю и раскрыв его, получим вековое уравнение. Осуществив необходимые преобразования, получим для i-ой формы колебания уравнения, с помощью которых определим спектр ω1, ω2,…, ωn и матрицу отношений перемещений Xi, состоящую из элементов ρki. После этого, учтя начальные условия, перемещения на уровне k может быть найдено по формуле

i 1

Вразвитие отмечаемого подхода. А.И. Цейтлиным [28, 29] была разработана модель ча-

стотно-независимого упругого сопротивления, позволяющая исследовать колебания многомассовых систем, строго учтя различную степень демпфирования при различных формах собственных колебаний. Согласно этой модели уравнение свободных колебаний при использовании метода перемещений записывается в виде

тельной системы в одном направлении. При рассмотрении колебаний одновременно по нескольким направлениям принципиальные положения выводов не меняются. И, в данном случае, использование принципа независимости действия сил, метода шагового интегрирования и принципа эквивалентной формализации позволяет обеспечить нужный нам, положительный результат.

К сожалению, наряду с простотой динамической, многомассовой консольной модели, имеется и ряд существенных недостатков. Здесь следует особо выделить тот факт, что во времена выдвижения данной модели в качестве основной расчетной модели у «инженера» не было современных вычислительных средств. Поэтому доминирующим фактором выступала простота расчета и модели. Изменение научно-технических возможностей сообщества привело к изменению потребностей и, как следствие, к повышению требований к качеству расчетной модели. Какие же основные моменты отмечаемой модели нас не устраивают:

Прежде всего, модель недостаточно учитывает пространственную взаимосвязь и взаимодействие строительных элементов между собой. Пока данное взаимодействие учитывается только опосредовано, через суммарную жесткость этажа (яруса) консоли. Из-за чего, например, невозможно учесть влияние депланации коробки на общую несущую способность динамической системы. Затем, при определении вертикальной подвижности системы, из-за использования аппроксимирующих функций и из-за вертикального, осевого расположения масс, многомассовая модель фактически вырождается в одномассовую и т.д. А все вместе подводит к необходимости использования более совершенных, пространственных, строительных моделей на базе МКЭ (метода конечных элементов).

Кроме этого, жесткое защемление консоли не соответствует реальной работе строительного объекта при сильных землетрясениях, как известно, сейсмическое, силовое воздействие приходит к строительному объекту через грунт. Однако реально и грунт, и узловые соединения строительных элементов обладают определенной подвижностью. Особенно, в силу конструктивных особенностей, существенную подвижность имеют системы и элементы активной сейсмозащиты. Для определения роли диссипации при сейсмических подвижках строительного объекта и его частей нужны специальные исследования на кинематических, диссипативных моделях.

И, наконец, в качестве еще одного существенного момента выступает то обстоятельство. Что, в отличие, от простых представлений (исследований) одномассовых и двухмассмовых динамических систем, матричная формализация ведет к интегрированному или обобщенному результату. При этом, из-за общего не видно частного и, наоборот, из-за частного теряется общее. В результате чего, чтобы определить вклад в поведение системы ее конкретного элемента и его влияние на другие элементы динамической системы, приходится осуществлять целый ряд трудоемких, сопоставительных расчетов при интересующих нас изменениях нагрузки или физических параметрах. Однако если учесть имеющееся архитектурно-конструктивное многообразие строительных объектов, то осуществить сопоставительный анализ конкретных строительных объектов между собой в условиях сильных землетрясений, при недостатке нужной информации задача довольно сложная. Практический выход только один – сначала нужно упростить задачу и выявить, интересующие нас параметры и закономерности на какой-либо простой и наглядной модели, а затем уже перенести полученные результаты на динамическую многомассовую систему.

Из простых динамических моделей, наиболее близко отражающей реальные свойства поведения системы является двух массовая система. Как известно, сейсмозащита состоит из двух частей: активной сейсмозащиты, обладающей массой m1, жесткостью k1 и трением c1 и непосредственно самого сейсмозащищаемого объекта, который, в свою очередь, обладает массой m2, жесткостью k2и трением (Рис. 2.4, b). Одновременно с этим, активная сейсмозащита еще и воспринимает силовое динамическое воздействие, в частности, на нее действует гармоническая возмущающая сила P(t) = P0 cos ωt.

Составим уравнения движения системы:

228