1134
.pdfПрименим теперь теорему Гаусса для вектора D, рас сматривая в качестве замкнутой поверхности сферу S радиу сом г с центром в точке О :
D,Qxr2+ D2Q2r2 = q . |
(2) |
Здесь Q,r2 - часть площади сферы, находящейся в первом
диэлектрике; Q2r2 - во втором; q - заряд внутренней об кладки конденсатора. Из (1) и (2) находим
D - _____ 5 |
+ Q2£2) |
£> = _____ ^ 2 _____ _ |
Г2 |
Г2(^ 1®1 "*■ ^ 2^2 ) |
|
Соответственно |
напряженность электрического поля |
|
между обкладками |
|
|
£ = Dj |
_ ^ 2 ________ Я_______ |
|
е,е0 |
^2®о r |
(^i®^'^2^2) |
Это сразу позволяет найти напряжение между обклад ками U :
U= jE(r)dr = |
---------2------— f-i----- |
L |
я, |
(£2(8) + £22Е2 V^I |
^ 2 |
Тогда емкость сферического конденсатора
с = 7 7 = ( Q ie i + ^ 2 ) е 0 |
■ |
KJ |
1^2 Л[ |
При £, = £2 = Е это выражение, очевидно, переходит в выражение для емкости сферического конденсатора, запол ненного однородным диэлектриком с проницаемостью е .
1.5.5. Соединение конденсаторов. В каждое ребро про волочного каркаса, имеющего форму куба, включен конден сатор емкости С (рис. 1.53). Найти, емкость системы между точками 1 и 8, расположенными на главной диагонали куба.
Эта задача, как и две следую щие, является хорошей иллюстра цией использования следствий сим метрии. Конечно, у нас есть общий способ расчета емкости любого соединения конденсаторов (см. теорию в начале данного подраз дела), так что эта задача не пред ставляет принципиальных труд ностей. В то же время есть осно
вания полагать, что наличие симметрии позволит значи тельно упростить расчет. Что имеется в виду? Давайте повернем нашу пространственную систему вокруг главной диагонали 1-8 на 120°. Так как все конденсаторы одинаковы, то, естественно, мы не обнаружим никаких изменений. Это означает, что и распределение потенциалов в новом по ложении останется прежним, т.е. потенциалы точек 2, 3 и 4 одинаковы (если бы они были разными, то мы увидели бы другую схему). Если мы соединим эти точки проводником, то это не приведет ни к какому перераспределению потен циалов. Физически точки 2, 3 и 4 представляют собой одну точку, и тогда конденсаторы, включенные в отрезки 1—2, 1-3 и 1-4, оказываются соединенными параллельно. То же самое касается и точек 5, 6 и 7. Более того, и оставшиеся шесть конденсаторов оказываются также соединенными па раллельно. В итоге мы приходим к схеме, отображенной на рис. 1.54. Ее емкость, как нетрудно подсчитать, составляет
C , g = 6 C / 5 .
Рис. 1.54
Попробуйте самостоятельно найти емкость между точ ками 1-2 и 1-7.
Указание. Перерисовать схему аналогично рис. 1.54 и учесть, что точки, обладающие одинаковым потенциалом, можно не только соединять, но и разъединять.
(Ответ: С12=12С/7, С17 =4С/3 )
Найдем теперь емкость бесконечной цепочки конденса торов, представленной на рис. 1.55. Это соединение, обла дающее суммарной емкостью Сг , принципиально отличается от только что рассмотренного тем, что число элементов в нем бесконечно. И если бы мы хотели воспользоваться стандарт ным способом, то нам пришлось бы составить бесконечную
С |
С |
С |
С |
,С. |
. с т |
СТ |
Т |
Т_ |
Л , |
|
Рис. 1.55 |
|
Рис. 1.56 |
|
систему уравнений. Конечно, если постараться, то можно по искать и ее решение, но есть и более простой путь. Симмет рия данного соединения проявляется в том, что оно образо вано повторением одного и того же элемента (рис. 1.56). Как
сэтим воспользоваться? Если мы удалим этот элемент с левого края исходной сис темы и затем подвинем всю оставшуюся часть схемы на прежнее место, то никакой разницы мы не заметим, соответственно
Рис. 1.57 не изменится и суммарная емкость Съ. Но мы то знаем, что из этой схемы был уда лен фрагмент, состоящий из двух конденсаторов. Это означа
ет, что вся бесконечная цепочка емкости Cz эквивалентна соединению удаленного фрагмента и элемента с емкостью Съ (рис. 1.57). Емкость данного соединения можно найти из соотношения
1 |
= 1 |
1 |
Cj |
С |
С + Cj |
которое сводится к квадратному уравнению относительно Cz : CI2+ CCI - C 2 =0
Его решение
Обратимся теперь к схеме, представленной на рис. 1.58, и найдем ее емкость между точками А и В . Эта схема также содержит бесконечное число одинаковых элементов. Однако воспользоваться тем, что мы проделали в предыдущем при-
|
мере нельзя, так как удаление повторяю |
|
|
щегося элемента изменяет исходное со |
|
|
единение. Поэтому воспользуемся |
не |
|
только принципом симметрии, но и прин |
|
|
ципом суперпозиции. |
А |
|
Подключим мысленно к точкам |
|
Рис. 1.58 |
и В источник тока (на рисунке он не ото |
|
бражен, волнистыми линиями отображе |
||
ны только подводящие провода) и рассмотрим, каким обра зом система приходит в установившееся состояние. Подво димые к точке А от источника тока заряды «оседают» на всех близлежащих обкладках четырех конденсаторов. Поя вившееся электрическое поле внутри этих конденсаторов «вытягивает» индуцированные заряды на противоположных обкладках, что приводит к движению заряда и в проводни ках, не соприкасающихся непосредственно с источником то ка. Таким образом, возникает движение зарядов во всех про водниках рассматриваемой схемы. Увеличивающийся заряд на обкладках конденсаторов препятствует его дальнейшему росту и тем самым снижает скорость его накопления, т.е. картина накопления заряда на всех конденсаторах плавно из меняется со временем. Однако в силу симметрии системы относительно точки А пространственное распределение на правления движения зарядов сохраняется неизменным.
Пусть за время dt к точке А по подводящим проводам поступил заряд dq . Из равноправия направлений его движе
ния четвертая его часть поступит к конденсатору между точ ками А и В . Точно такой же заряд пойдет и в направлении точки В , т.е. от точки А к точке В «напрямую» пройдет за ряд dq!А . Но к точке В движется также заряд и от всех дру
гих элементов схемы. И этот заряд, прошедший по любому из четырех входящих в точку В проводников, в силу сим метрии системы уже относительно точки В , будет равен dq!4 (по отводящему проводу должен уйти заряд dq).
В итоге полный заряд, который «пройдет» через конденсатор между точками Л и В, будет равен dq!2 (это половина от
всего поступившего в схему заряда). Оставшаяся половина «пройдет» через все остальные конденсаторы бесконечной сетки. Отсюда следует, что емкость всей схемы кроме кон денсатора между точками А и В равна его емкости. Таким образом, вся бесконечная цепочка относительно точек А
и В эквивалентна параллельному соединению двух одинако вых конденсаторов емкости С Значит емкость между точ ками А и В равна 2С .
1.5.6.Перетекание заряда. Какие заряды протекут по
сле замыкания ключа К в схеме (рис. 1.59) через сечения 1 и 2 в направлениях, указанных стрелками?
Состояния этой системы до и после замыкания ключа разные. Понятно, что система может перейти из одного состояния в другое разными путями в зави симости от условий перехода. В данном случае условием, опре деляющим однозначность пере хода, является закон сохранения
заряда. Так как изменение заряда может происходить только на конденсаторах, то естественно нам необходимо найти их начальные и конечные заряды, а затем выяснить, какими путями произошли эти изменения. До замыкания ключа конденсаторы С, и С2 были соединены последовательно, значит, их начальные заряды qi и q2 были одинаковы:
Я\~Яг~ Cj+с2
После замыкания ключа значения зарядов q[ и q\ мож но найти из уравнений
iL + I l
С, с2
Эти уравнения являются следствием теоремы о циркуляции напряженности электрического поля (см. теорию в начале данного подраздела). Из них находим
Ч\ = 0, q2 = g c 2.
Изменить заряд конденсатора С, можно только по пу
ти 2. Значит, заряд Aq2, прошедший через сечение 2, будет
равен изменению заряда первого конденсатора:
С, +С2
С другой стороны, сумма зарядов, прошедших через се чения 1 и 2, должна быть равна изменению заряда второго конденсатора:
A<7I + Aq2 = q2 - q 2 .
Откуда находим
A^i = <?2 - q2 ~ Af/2 = & С 2 .
1.6. Энергия электрического поля
Энергетический подход к задачам взаимодействия заря дов является весьма плодотворным, и его практическая зна чимость обусловлена рядом причин. Во-первых, мы имеем возможность воспользоваться законом сохранения энергии, одним из наиболее общих законов природы. Во-вторых, энер гетический метод определения сил позволяет учитывать все силовые взаимодействия (электрические и механические), не вдаваясь в конкретный механизм их возникновения.
Потенциальная энергия W точечного заряда q во
внешнем электрическом поле рассчитывается как
W =q(f>,
где ф - потенциал поля в месте нахождения заряда^ Из
этой формулы следует, что работа кулоновских сил А при перемещении заряда q из точки поля 1 в точку 2
Д = < 7 ( ф , - ф 2 ) .
Для системы точечных зарядов энергия взаимодействия W имеет вид
|
W =±Z,q, Ф,, |
(1) |
где |
- i -й заряд системы; <р( - потенциал, |
создаваемый |
в месте нахождения i -го заряда всеми остальными зарядами системы. Если же заряды распределены непрерывно с объем ной плотностью р , то выражение (1) переходит в выражение
W=-|jp<prfV |
(2) |
где ф - потенциал, создаваемый всеми зарядами |
системы |
в объеме dV Аналогичные выражения существуют для по верхностного (с плотностью а ) и линейного (с плотно стью А.) распределений зарядов.
Несмотря на внешнюю похожесть, выражения (1) и (2) отличаются по содержанию. Расчет энергии по формуле (1) дает только энергию взаимодействия зарядов, формула же (2) дает полную энергию взаимодействия, включая и собствен ные энергии тел через заряды и потенциалы. Более плодо творной идеей является представление о том, энергия лока лизована в самом электрическом поле. Для изотропного ди электрика энергия поля определяется выражением
W = f ^ - d V = \ ^ d V
J 2 1 2
Здесь w = EEQE2 12 = ED12 - объемная плотность энергии электрического поля; Е - напряженность; D - индукция.
По отношению к выражению (1) следует сделать важ ное примечание, которое довольно часто упускается из виду. Его можно применять только для потенциального поля (элек трическое поле не в любой ситуации является потенциаль
ным). Если этого не учитывать, то можно прийти к неверно му результату. Поясним это на следующем примере. Точеч ный заряд <7 находится на расстоянии I от проводящей плоскости. Какую минимальную скорость необходимо сооб щить заряду, чтобы он удалился в бесконечность?
Попробуем вначале использовать закон сохранения энергии. Ранее нами было показано, что все индуцированные заряды плоскости эквивалентны заряду-изображению (-<7),
находящемуся симметрично проводящей плоскости на рас стоянии / от нее. Таким образом, мы приходим к системе двух точечных зарядов, находящихся изначально на расстоя нии 21 друг от друга. Их энергия взаимодействия равна
-q 2/(4яе0 -21). При удалении заряда q в бесконечность
энергия взаимодействия обращается в нуль. Тогда закон со хранения энергии будет иметь вид
mv2— - — = 0
8те0 |
|
Откуда находим минимальную скорость заряда: |
|
Яг |
(3) |
V = |
|
4 п £ 0т1 |
|
Попробуем теперь применить к данной задаче теорему об изменении кинетической энергии (работа всех сил равна изменению кинетической энергии). Работа кулоновской силы взаимодействия зарядов q и -q
А = lF(x)dx =- j |
rdx = — Я~ |
|
|
4яе0(2х)" |
1б71Е0/ |
(выражение для силы было получено с помощью метода изо бражений). Приравнивая эту работу изменению кинетиче
ской энергии, равному -т у2/2 , получаем другое выражение для скорости, отличающееся от (3) в -Jl раз:
V=\ P8№0ml~ 7 |
(4) |
Правильным ответом является |
выражение (4). Дело |
в том, что в системе отсчета, связанной с проводящей плос костью, электрическое поле индуцированных зарядов не по тенциально. Перемещение заряда q приводит к изменению
распределения индуцированных зарядов на плоскости, и их поле оказывается зависящим от времени. В этом случае нель зя использовать ни понятие потенциала, ни понятие потенци альной энергии взаимодействия. То, что мы имеем дело с не совсем обычной ситуацией, можно увидеть из следующих соображений. В формуле W = <у<р под ф мы понимаем по тенциал точки поля, созданного не зарядом q , и значение потенциала никак не связано с этим зарядом (если убрать за ряд q , то потенциал все равно останется!). В нашем же при мере заряд q находится в электрическом поле, созданном фактически им самим, и если убрать заряд, то исчезнет и поле.
1.6.1. Преобразование линии в треугольник. Три оди наковых заряженных шарика - каждый зарядом q и мас
сой т - связаны двумя нерастяжимыми нитями, каждая дли ной I . Все три шарика неподвижны и расположены вдоль прямой на гладкой горизонтальной поверхности. Какую ми нимальную скорость v необходимо сообщить центральному шарику перпендикулярно нитям, чтобы при дальнейшем движении шарики смогли образовать равносторонний тре угольник? Радиус шариков мал по сравнению с длиной нити.
Требование минимальности начальной скорости шарика v означает, что после образования равностороннего тре