1134

Очевидно, эта задача является обобщением только что решенной задачи, и для нее получаем точно такой же ответ:

Рис. 1.23

Поле в области пересечения шаров оказалось также од­ нородным и не зависящим от размеров шаров. Это вывод справедлив, в частности, и тогда, когда один шар находится целиком внутри другого (другими словами, когда в шаре имеется сферическая полость).

1.2.8. Атом Томсона. В модели атома Томсона предпо­ лагалось, что положительный заряд е распределен внутри

шара радиусом R - 10“8 см. Как должна зависеть от радиуса плотность положительного заряда, чтобы электрон (точечная частица с зарядом - е ), помещенный внутри шара, совершал гармонические колебания? Найти частоту этих колебаний. Считать, что заряды механически друг на друга не действу­ ют. Магнитным полем движущегося заряда пренебречь.

Для того чтобы электрон мог совершать гармонические колебания, необходимо наличие силы, возвращающей его в положение равновесия. Кроме того, эта сила должна быть пропорциональной отклонению от положения равновесия. Эти условия будут выполнены, если поле внутри шара име­ ет вид

где а - некоторый коэффициент пропорциональности. Для определения же плотности распределения заряда внутри ша­ ра в зависимости от расстояния г , обеспечивающей требуе­ мое распределение напряженности электрического поля, нам придется обратиться к теореме Гаусса в дифференциальной форме:

где p(r) - объемная плотность зарядам

Распишем более подробно уравнение (2):

ЭЕ ЭЕ ЭЕ, р

(3)

дх ду dz е0

Это уравнение и позволит нам по заданной явной зави­ симости E{x,y,z) найти распределение плотности заряда

шара. Единственная неприятность состоит в том, что выра­ жение для дивергенции записано в декартовой системе. А нам задано поле Е в сферической системе координат. По­ этому попытаемся переписать уравнение (3). С учетом сфери­

ческой симметрии значение Е(г) можно представить в виде

Ё = Е (г )-,

Найдем вначале производную ЭЕ,

Эх

тдх^ дг уИ г )т дх-

Производную ^ можно найти, дифференцируя равен-

ох

дг х

ство гг = х2 + у2 +z2 Откуда получаем — = —. В итоге про-

дх г

изводная

Таким образом, вид функции распределения плотности заряда шара при сферически симметричном поле будет задан уравнением

p(r)=^f[r!£(r)]

Подставляя сюда выражение (1), находим р(г) = 3ае0.

Осталось только найти значение а . Так как поле на по­ верхности шара при сферически симметричном распре­ делении совпадает с полем точечного заряда е на расстоя­ нии R , то

е

E(R) =aR =

4ite0R2

Откуда находим а = --------- и для плотности заряда 4яе0/с

шара получаем

т.е. шар должен быть однородно заряженным (об этом мы

ному дифференциальному уравнению для гармонических ко­ лебаний:

Теперь нетрудно найти и частоту колебаний:

Это значение по порядку величины совпадает с частотой излучения атома водорода.

1.2.9.Заряженная сфера с однородным полем внутри.

Скакой поверхностной плотностью а(0) следует распреде­

лить заряд по поверхности сферы радиусом R , чтобы поле внутри ее было однородным и равным Е0? Как будет выгля­

деть при этом поле вне сферы?

Сматематической точки зрения данная задача сводится

крешению дифференциального уравнения

Однако на этом пути появляются значительные техниче­ ские трудности. Связано это с тем, что в уравнение (1) входит объемная плотность заряда, которая во всех точках должна иметь конечное значение. А так как по условию задачи сфера заряжена по поверхности, то р обращается в бесконечность на поверхности сферы. Правда, с использованием так назы­ ваемых обобщенных функций дифференциальную форму теоремы Гаусса можно распространить и на этот случай. По­ этому попытаемся найти физический подход к решению дан­ ной задачи.

Вспомним решение задачи 1.2.7. Там было показано, что однородное электрическое поле можно получить в области пересечения однородно заряженных шаров с объемной плот­ ностью заряда +р и - р . Причем это поле не зависит от раз­ меров шаров. Поэтому рассмотрим два шара с одинаковыми радиусами, имеющие равномерно распределенные по объему заряды с плотностями р и - р . Пусть центры этих шаров не­ значительно смещены относительно друг друга на расстоя­ ние 6/. В нашей исходной задаче заряд отличается от нуля только в приповерхностном слое. Но при малых 5/ такое распределение объемного заряда приводит к представлению о поверхностной плотности.

Толщина заряженного слоя в точ­ ках, определяемых углом 0 (рис. 1.24), равна 6/cos6. Значит, на единицу пло­ щади в данном месте приходится заряд о = рб/cos0 = о0 cos0, где сг0 = рб/. Ве­ личина <т0 имеет конечное значение, так как значение р очень велико. С уче­ том решения задачи 1.2.7 имеем

Другими словами, однородное электрическое поле вели­ чиной Е0 внутри сферы можно получить, если зарядить сфе­

ру по поверхности с плотностью заряда а = о0 cos 6, где

Сфера с подобным распределением заряда эквивалентна некоторому диполю с дипольным моментом р . Найдем его.

Для этого разобьем сферу на тонкие кольцевые слои радиусом /?sin0 и шириной dl = Rd6 (рис. 1.25). Заряд такого слоя dq =a-2nRsmQ-RdQ =

=а02nR2cos 0sin 0й?0 . Центр «тяже­

сти» этого заряда находится на расстоянии RcosQ от центра сфе­

=G04nR3cos20sin0</0. Интегрируя это выражение по 0 от нуля до л /2 , получаем

или с учетом соотношения (2)

p =4ns0R3E0.

Таким образом, мы показали, что для создания внутри сферы однородного электрического поля напряженностью Е0 необходимо зарядить ее по поверхности, плотность заря­ да которой изменяется по закону о = Зе0£0 cos0, а вне сферы электрическое поле является полем точечного диполя с ди­ польным моментом р = 471e0R3E0.

13. Потенциал. Проводники в электрическом поле

Электрическое поле может быть охарактеризовано

не только вектором напряженности Е . Существует и другой адекватный способ описания поля с помощью скалярной ве­ личины ф, называемой потенциалом. Данная величина опре­

деляется как некоторая функция координат ф(г), убыль ко­

торой

2 ___

ф, - ф2 = |М

1

Из данного определения следует, что значение потен­ циала определяется с точностью до произвольной аддитив­ ной постоянной. Значение этой постоянной не играет ника­ кой роли, так как силовое действие электрического поля оп­ ределяется напряженностью электрического поля, которая связана с потенциалом соотношением

Ё = -|цас1ф = -У ф .

Потенциал поля точечного заряда q на расстоянии г

от него

1 Я

Ф = 4тш0 г'

Для произвольной системы точечных зарядов

4яе0 • г{

Если же заряды, образующие систему, распределены не­ прерывно в пространстве с объемной плотностью р , то1

1fpdV

Ф= - ---- Г — ’ 4теп г

Очень часто приходится иметь дело с задачами, в кото­ рых распределение заряда неизвестно (не задано), но заданы потенциалы проводников, их форма и взаимное расположе­ ние. Тогда распределение потенциала ср(г) в пространстве между проводниками подчиняется дифференциальному уравнению Пуассона

е0

где V2 = V • V = Д - оператор Лапласа (лапласиан). В декар-

нению Пуассона необходимо добавить еще так называемые граничные условия, задающие значения потенциалов на по­ верхности самих проводников.

Такая задача имеет единственное решение (теорема единственности). С физической точки зрения этот вывод до­ вольно очевиден: если решение будет не единственным, то в каждой точке значение Е будет неоднозначным - а это аб­ сурд. Согласно теореме единственности заряд на поверхно­ сти проводника в статическом случае распределяется также единственным образом, так как между зарядами проводника и полем вблизи его поверхности есть однозначная связь (а =е0£п).

Использование теоремы единственности весьма облег­ чает решение ряда задач электростатики. Каким бы способом (пусть даже путем догадки) мы ни нашли решение, удовле­ творяющее уравнению Пуассона и граничным условиям, можно утверждать, что оно (решение) является правильным и единственным.

При наличии определенной симметрии формы провод­ ников для расчета полей применяют так называемый метод