1139

введение И

нение теории вероятностей к обработке больших совокуп­ ностей чисел называется математической статистикой.

Использование методов математической статистики в об­ работке наблюдений оказывается весьма плодотворным. Закономерности отклонений при наблюдениях изучены достаточно хорошо, составлены многочисленные таблицы. Это позволяет значительно сокращать объем наблюдений.

Но случайность остается случайностью, и никакие тео­ рии при наличии непредвиденных и случайных факторов не могут давать точные и однозначные ответы. Основная задача математической статистики при обработке наблю­ дений — оценить риск той или иной ошибки в полученном результате. Принять или не принять этот риск — дело ис­ следователя. В том случае, если этот риск его не устраивает, он должен найти пути его уменьшения: применить более точную методику наблюдений, устранить наиболее заметные помехи и т. д. Хороший эффект дает увеличение числа па­ раллельных наблюдений, так как при этом появляется больше шансов, что в среднем случайные помехи взаимно уничтожатся.

Статистические методы являются могучим оружием в руках умелого исследователя, однако они ни в коем случае не должны становиться самоцелью. В некоторых случаях результат можно оценить и не прибегая к детальному ста­ тистическому анализу. Кроме того, нужно помнить, что математика может дать исчерпывающий ответ только при исчерпывающих данных, ибо всегда, чем меньше исходных данных использует теория, тем грубее получаемый с ее помощью резул'.тат. Теория вероятностей отвлекается от всех физических особенностей изучаемого явления, кроме его случайности. Поэтому применение теории вероятностей к обработке наблюдений приводит нередко к очень грубым оценкам. Это отнюдь нельзя считать недостатком теории — причина здесь либо в недостаточном объеме исследуемых данных, либо в сильной нестабильности опыта. Значит, от результатов статистической обработки нельзя просто отмах­ нуться, если они неприемлемы — нужно обязательно найти пути к их улучшению.

Отметим еще одну особенность статистических методов обработки наблюдений. Применение этих методов почти всегда связано с большим объемом вычислений. В связи

12 ВВЕДЕНИЙ

с этим нужно стараться использовать любую возможность для облегчения счета: применять вычислительную технику (арифмометры, электрические счетные машины и т. п.), использовать правила приближенных вычислений, сокра­ щенные формулы.

Каждому исследователю, применяющему статистические методы обработки наблюдений, нужно помнить следующее:

а) не допускать излишнего количества цифр в промежу­ точных вычислениях;

б) если найденная при вычислениях величина будет срав­ ниваться с табличной, то число цифр в ней не должно пре­

рять либо с помощью специальных приемов, либо проводя вместе с кем-нибудь параллельные вычисления;

д) не применять излишне тонкие методы анализа там, где результат ясен из грубых оценок.

§1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1.Понятие случайного события. Основу изучения раз­ личных процессов, происходящих в природе, составляет выяснение всевозможных причинно-следственных связей между отдельными явлениями путем эксперимента. Осу­ ществив по своему желанию одно или несколько первона­ чальных явлений-причин (в дальнейшем они называются факторами), экспериментатор получает возможность изу­ чать различные появляющиеся при этом явления-следствия.

Иногда (очень редко) в процессе эксперимента удается сделать случайное открытие, т. е. обнаружить явлениеследствие, о котором ранее ничего не было известно. Но, как правило, экспериментатор заранее намечает совокуп­ ность тех явлений-следствий, появления которых он ожи­ дает и изучению которых посвящает свой эксперимент. Например, ожидая появления электрического тока в изу­ чаемой системе, экспериментатор должен предусмотреть наличие приборов, регистрирующих и измеряющих этот ток.

Изучаемые явления-следствия могут интересовать экс­ периментатора с самых различных сторон. Так, если иссле­ дуется вещество, полученное в результате химических реак­ ций, то могут быть отмечены такие его характеристики, как цвет, вкус, вес, объем и многое другое. Однако самое сложное явление всегда можно мысленно разбить на такие мелкие частные явления, относительно которых остается выяснить только одно: произошли они или не произошли. Например, рассмотрев в качестве отдельных явлений все­ возможные цвета спектра, мы в дальнейшем, зная о каждом

цвете, осуществился он или нет, немедленно можем указать совокупный цвет полученного в результате химической реак­ ции вещества. Точно так же, измеряя вес вещества, мы в ка­ честве отдельных частных явлений можем рассматривать все­ возможные априорные значения этого веса.

14 §1- СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Частные явления указанного типа могут иметь различ­ ную природу, но каждое интересует нас только с одной точки зрения: произошло оно или не произошло, осуществилось или не осуществилось. Явления, рассматриваемые только с той точки зрения, осуществились они или не осуществи­ лись, называются событиями. Применительно к событиям ставится следующая основная задача: предсказать, появится ли изучаемое событие при осуществлении некоторого напе­ ред заданного комплекса факторов (явлений-причин).

Чтобы решить эту задачу, нужно, очевидно, знать влия­ ние каждого фактора на интересующее нас событие. Напри­ мер, составляя электрическую цепь из некоторых заданных элементов (сопротивления, приборы, провода и т. п.) и интересуясь, будет ли в этой цепи ток, мы о каждом задан­ ном элементе (факторе) должны знать его отношение к элект­ рическому току (событию) — проводник это или диэлектрик или, возможно, источник тока и т. д.

Событие, которое при заданном комплексе факторов обя­ зательно произойдет, называется достоверным событием. Например, в замкнутой цепи, состоящей из хорошо соеди­ ненных проводников и исправного источника тока, появ­ ление электрического тока есть событие достоверное.

Событие, которое не может осуществиться при заданном комплексе факторов, называется невозможным событием. Так, невозможным событием является электрический ток в разомкнутой цепи (при отсутствии проводимости через воздух).

Суждение о достоверности или невозможности некоторого события является категорическим суждением — именно та­ кие суждения принято считать окончательным результатом исследования. Отсюда возникает интерес к обратной задаче: указать такие комплексы факторов, при которых о заданном событии можно сделать категорические суждения (достоверность, невозможность).

Каждое событие является результатом действия боль­ шого числа факторов. Все их нужно знать для того, чтобы суждение о событии стало категорическим. Если же задан­ ная совокупность факторов по отношению к событию не­ полна, то и категорическое суждение о событии становится невозможным. Получается следующая ситуация: заданные факторы благоприятствуют событию и, значит, оно может

тывать или предсказывать явления. Эта случайность свя­ зана с совершенно объективным фактом сужения комплекса факторов, обеспечивающих (или делающих невозможным) рассматриваемое событие.

Факторы, входящие в заданный комплекс, мы будем на­ зывать неслучайными или основными. Влияние таких фак­ торов на исследуемое событие должно быть строго опре­ деленно и неизменно — лишь тогда их можно включать

взаданный комплекс.

1.2.Вероятность случайного события. Для того чтобы выяснить, произойдет или не произойдет некоторое событие при заданном комплексе основных факторов, нужно прежде

всего осуществить этот комплекс. Каждое такое осуществле­ ние принято называть испытанием. Испытанием является, в частности, любой эксперимент, в результате которого производятся наблюдения. Ожидание автобуса, подбрасыва­ ние монеты в приводившихся примерах — тоже испытания.

Предсказать результат единичного испытания можно лишь для достоверных или невозможных событий. Случай­ ность же события вообще не видна при единичном испыта­ нии: если событие произойдет, оно может показаться нам достоверным, если не произойдет — невозможным. Теория случайных событий может появиться лишь при большом числе испытаний, лишь для массовых событий.

Важным условием при этом является неизменность за­ данного комплекса основных факторов. События, происходя­ щие при одном и том же комплексе основных факторов, называются однородными. Практика показывает, что собы­ тия, сами по себе случайные, в большой массе при наличии однородности начинают подчиняться некоторым неслучай­ ным закономерностям. Эти закономерности получили на­ звание вероятностных, а наука, изучающая вероятностные закономерности, стала называться теорией вероятностей.

Какой же характер имеют эти закономерности? Рассмот­ рим в качестве простейшего примера испытание — подбра­ сывание монеты. Событием пусть будет выпадение герба. Никто не возьмется предсказывать определенно, выпадет иди не выпадет герб при одном подбрасывании. Но если это

Какими же свойствами должна обладать эта внутренняя характеристика события, управляющая вероятностными закономерностями? Желательно, чтобы это было число, оди­ наковое для равновозможных событий и в какой-то мере связанное с частотой. Рассматривать непосредственно ча­ стоту нельзя, так как частота сама есть случайная величина, зависящая от конкретной серии испытаний. Замечено, правда, что при очень большом числе испытаний частота почти перестает изменяться, приближаясь к некоторой ве­ личине, которую и можно принять за искомую характери­ стику. В таблице 1.1 приведены для примера результаты, полученные некоторыми экспериментаторами при бросании монеты. Как видно из таблицы, частота здесь приближается к числу 7 2.

Т а б л и ц а 1.1

Числовая характеристика случайного события, обла­ дающая тем свойством, что для любой достаточно большой серии испытаний частота события лишь незначительно отли­ чается от этой характеристики, называется вероятностью события.

Приведенное здесь определение вероятности называется статистическим. Оно позволяет вычислять вероятности таких событий, о структуре которых ничего неизвестно и ча­ стоту которых нельзя предсказать заранее. Например, только статистические данные за многие годы позволили найти вероятности рождения мальчиков и девочек. Оказа­ лось, что эти вероятности отличны от 1/2\ вероятность рожде­ ния мальчиков равна примерно 0,52.

Статистическсе определение вероятности не является достаточно строгим с точки зрения математики; из него даже не видно, всякое ли случайное событие имеет вероятность. В силу этого по статистическому определению трудно изу­

одновременно гербом и цифрой — значит, выпадение цифры

ивыпадение герба — это несовместные события. Рассмотрим пример с бросанием игрального кубика.

Выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа являются несовместными событиями. Если же рассмотреть такие события, как выпадение четного числа очков и выпа­ дение числа очков, кратного трем, то они не являются несов­ местными. Действительно, при выпадении цифры 6 оба эти события осуществляются одновременно.

Выше мы определили понятие равновозможных событий. Предположим теперь, что все принципиально допустимые результаты испытания можно представить в виде совокуп­ ности равновозможных и попарно несовместных случайных событий (равновозможность событий оценивается обычно из каких-либо соображений симметрии). Каждое такое собы­ тие Ех, Е2,... назовем исходом испытания. Если, например, проводится испытание — бросание монеты, то исходами этого испытания можно считать выпадение герба и выпаде­ ние цифры. При бросании кубика исходом считают выпаде­ ние каждой из шести граней. Отметим, однако, что в послед­ нем примере можно брать и другие исходы — например, выпадения четного и нечетного числа очков (два исхода). Таким образом, разбиение всех результатов испытания на исходы можно проводить не единственным способом, лишь бы сохранялась равновозможность исходов.

ятность выпадения каждой грани игрального кубика рав-

Исходы испытания являются, вообще говоря, простей­ шими случайными событиями. Можно рассматривать более сложные события, объединяющие несколько исходов. Обыч­ но говорят, что такому случайному событию одни исходы благоприятствуют, другие нет. Например, при бросании игрального кубика мы можем интересоваться таким случай­ ным событием, как выпадение числа очков больше трех.