М Е Х А Н И К А К О М П О З И Т Н Ы Х М А Т Е Р И А Л О В , 1982, № 5, с. 8 4 4 — 8 4 9

У Д К 6 2 4 .0 7 4 .0 0 1 :6 7 8 .0 6 7

В. Ф. Власов, А. А. Юркевич

РАЗРЕШИМОСТЬ И ОЦЕНКА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГРИГОЛЮКА—ЧУЛКОВА

Исследованию разрешимости задач нелинейной теории пластин, описываемых системой уравнений Фёппля—Кармана, посвящены ра­

боты [1—6].

При анализе разрешимости операторных уравнений вариационными методами важной является задача построения функционала, крити­ ческие точки которого служат корнями исследуемого уравнения. Из­ вестны способы построения таких функционалов в случае, когда опе­ ратор уравнения является потенциальным [7]. В теории упругости один из возможных способов построения дает принцип возможных перемещений. В этом случае построенный функционал принято считать функционалом обобщенной энергии. После того как требуемый функ­ ционал построен, вопросы существования, единственности, устойчиво­ сти, а также неединственности решений сводятся к изучению структур­ ных свойств функционала. При этом, как правило, основными являются свойства слабой непрерывности или полунепрерывное™, свойство роста на бесконечности, выпуклость или строгая выпуклость функционалов.

Вариационные методы применялись в анализе краевых задач нелинейной теории

пластин и оболочек, описываемых уравнениями Кармана [3 ], при исследовании вопро­

сов сущ ествования решений в нелинейной теории пологих оболочек [8] и в теории

риационных задачах линейной теории упругости. Процесс Ритца минимизации таких

единственности и возможности бифуркации решений краевой задачи о квазистатическом равновесии тел в нелинейной вязкоупругости. В [16] обсуждаю тся достаточные условия устойчивости функционала Адамара, применяемые для оценки критических значений нагрузки, действующей на упругое тело.1

1. Система уравнений, описывающая напряженно-деформированное состояние оболочки, была получена в [17]. Если считать неизвестными функции W\F и х, через которые могут быть выражены все величины,

характеризующие напряженно-деформированное состояние, то система уравнений имеет следующий вид:

£ 2V % + £ 3V“X+ [k, F] —L(w, F) + (w,u - k u)Tl + (w t22- k 22)T2+

Ей Е2, Ез, Е\, v, k\\, k.22, ki2 — упругогеометрические постоянные. Вие-

Пусть последовательность wm слабо сходится в Н, т. е. (wm,h)H->~ -*-{w,h)H, и функции Fm и %т определены через wm соотношениями (1.7) и (1.8). Интегрируя по частям, с учетом граничных условий по­ лучим

Слабо сходящаяся последовательность ограничена, поэтому ||шт ||н ^ с . Кроме того, в силу компактности вложения Н в W4<') имеем ||дото— —о>11 w4(I)-»-0. Используя неравенство Гельдера для трех членов, полу­

чим

| (Fm, h)H- (F, h)H| ^ 2 Я г 1[11^112+2(||йУ||н+1к7п11н)] X

( 1. 14)

Отсюда следует, что последовательность Fm слабо сходится в Н. Пусть

Окончательно, из (1.14), (1.15), используя достаточные условия слабой полунепрерывности снизу [7], получаем утверждение леммы 1.

Прежде чем исследовать вопрос о существовании слабого минимума

у £,(1-\1)< ф , V2F>= y ( l - v ) <p,2[k, w]-L(w, w ) y - ~ E l( l - v ) 2X

X <V2p, ф> = у (1 -v ) <2[k, p] - 2 L(w, p), w) - ~ £, (1 - v ) 2<^, ф>=

= — (J41^,11+ ^2^,22+ 25ЦУ(12, Ш>—{T\k\\ + T2k22~\~2Ski2, W) — — X

XE i (1 — v)2<\|), ф> = — J {Tlwti2 + T2Wt22 + 2S w tiWt2}dG — (T\kn + T2k22-Jr

С учетом (1.16) функционал будет иметь вид

f(w) = l . E l\\F\\n2+ \ E 2\\whF+ -1- £ 3llxll2+ - ^ № < V 3x, V3x) —

- — £ ,( l - v ) 2<il),i|)>.

Лемма 2. Функционал f в пространстве Н имеет слабый минимум. Рассмотрим шар радиуса R в пространстве Н. В работе [3] пока­

зано, что при Ть T2i S из Z2 для достаточно больших R

Отсюда, используя неравенство Гельдера, теоремы вложения, свойства скалярного произведения в L2, а также предполагая q^.L2, ij)eL2,

получим

f(w) ^ y R 2— \\Tikn + T2k22-\-2Ski2\\Llia •||ш||х,4 —||7||I,2- ЦшЦ^—-^-(1 —v)2X

Теорема 1. Если а) область G — звездна; б) тангенциальные на­

/2(Ш) = 1 Д^|Е||Я2+ 1 £ 2||ш||н2+ i . £ 3||x||„2+ i . £ 3£ 1<V3X) V3X> -

тать /(до)>0, если до=#=0, что с механической точки зрения будет озна­ чать, что оболочка в основном испытывает сжимающие напряжения.

доказать аналогично [3], что задача (2.6) а) имеет счетное множество

С Л

1.Морозов И. Ф. К нелинейной теории тонких пластин. — Докл. АН СССР,

1957, т. 114, N2 5, с. 968—971.

2.Дубинский Ю. А. О разрешимости системы уравнений сильного изгиба пласти­

нок. — Докл. АН СССР, 1967, т. 175, № 5, с. 1026—1029.

3. Ворович И. И. Некоторые оценки числа решений для уравнений Кармана в связи с проблемой устойчивости пластин и оболочек. — В кн.: Проблемы гидроди­ намики и механики сплошной среды. М., 1969, с. 111 —118.

4.Климов В. С. О числе решений краевых задач нелинейной теории оболочек. — Докл. АН СССР, 1979, т. 247, № 1, с. 57—60.

5.Морозов Н. Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л., 1978.

182с.

6.Мазья В. Г., Пламеневский Б. А., Морозов Н. Ф. О напряженно-деформиро­

ванном состоянии в окрестности вершпньг трещины при нелинейном изгибе пластины. — Докл. АН СССР, 1978, т. 243, № 4, с. 889—892.

7.Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М, 1956. 344 с.

8.Ворович И. И., Лебедев Л. П. О существовании решений в нелинейной тео­

рии пологих оболочек. — Прикл. математика и механика, 1972, т. 36, вып. 4,

с.691—704.

9.Ворович И. И., Лебедев Л. П., Шлафман Ш. М. О некоторых прямых мето­ дах и существовании решения в нелинейной теории испологнх оболочек. — Прикл. математика и механика, 1974, т. 38, вып. 2, с. 339—348.

10. Портнов В. Р. Теоремы существования в теории деформации гибких тел. — В кн.: Дифференциальные уравнения с частыми производными: Тр. семинара С. Л. Со­ болева. Ии-т математики СО АН СССР, 1979, № 2, с. 92—123 (Новосибирск).

11. Портнов В. Р. О существовании минимума функционалов, заданных на век­ торных пространствах с полунормой. Приложения к нелинейной теории упруго­ сти. — В кн.: Сов.-Чехословац. совет, но применению методов теории функций и функц. анализа к задачам мат. физики. Алма-Ата, 1976. Тр. совещ. Новосибирск, 1979, с. 123— 152.

12. Терещенко В. Я. О выпуклых функционалах в вариационных задачах теории

17.Григолюк Э. И., Чулков Л. П. Устойчивость п колебания трехслойных оболо­ чек. М., 1973. 170 с.

18.Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математи­ ческой физике. Л., 1950. 255 с.

19.Иосида К. Функциональный анализ. М., 1967. 624 с.

20.Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в тео­

рии нелинейных уравнений. М., 1972. 415 с.