9.8.Многомерные задачи динамического программирования

Не повторяя известные рассуждения, опирающиеся на принцип оптималь­ ности ДП, приведем в окончательном виде рекуррентное соотношение для рассматриваемой задачи:

f k(a,b)= extr [Zk (хк) + /*_,(а-ц>к(хк) , Ь - \ у к(хк))]. (9.51)

ф*(**)£«

Чi k ( x k ) < b

Проанализируем полученные выражения (9.45) и (9.51). При их выво­ де не возникло принципиальных затруднений. Хотя число распределяемых ресурсов разное, в обеих задачах функции последовательности зависят от двух параметров состояния. Нетрудно понять теперь, что размерность вектора состояния связана с числом ограничений, включающих в себя пе­ ременные всех шагов. Трудоемкость решения сравниваемых уравнений разная, так как различно число переменных, по которым ищется экстре­ мум. При нелинейных функциях ф* и у* может усложниться перебор до­ пустимых хкв (9.51). Однако эти различия не столь существенны, большее значение имеет одинаковая размерность вектора состояния.

Покажем на задаче 1, к чему приводит увеличение числа параметров состояния. Уравнение (9.45) решается для всех возможных состояний, чис­ ло которых зависит от шага дискретности и числа параметров состояния. Пусть тх иту - число возможных значений ресурсов X и Y соответственно, тогда число возможных состояний будет равно трпу. Для каждого из них в результирующей таблице решения уравнения (9.45) на к-м шаге должны быть представлены V, U, х к,* ук иfk(V,U). Для вещественного числа требу­ ется хотя бы 6 байт памяти, поэтому одна строка результирующей таблицы будет занимать не менее 30 байт. При тх = ту = 100 число возможных со­ стояний, а значит и число строк, составит 104. Следовательно, для запоми­ нания одной таблицы потребуется около 300 кбайт. Для эффективного рас­ чета нужно иметь в оперативной памяти две таблицы - к-ю и {к- 1)-ю. Вы­ нос этих таблиц во внешнюю память сделает метод ДП практически мало­ пригодным, так как затраты времени на решение задачи многократно уве­ личатся. Теперь нетрудно оценить, насколько будут возрастать требования к памяти с увеличением числа параметров состояния до 3; 4 и более.

Таким образом, при решении многомерных задач сталкиваемся с про­ блемой реализации вычислений по рекуррентным соотношениям. Сама идея метода ДП настолько привлекательна, что, обнаружив труднопреодо­ лимое препятствие применению метода в виде отмеченной проблемы, Веллман назвал ее “проклятием размерности".

Естественно, появилась необходимость найти пути решения возник­ шей проблемы. К предложенным средствам можно отнести использование множителей Лагранжа, аппроксимацию в области стратегий, принципиаль­ но иной способ решения рекуррентного уравнения, применение идей по­

следовательного анализа вариантов и др. Однако ни одно из них не являет­ ся универсальным, а в ряде случаев не работают все. Ниже рассматривает­ ся один из способов преодоления проблемы размерности, нашедший прак­ тическое применение.

9.9. Снижение размерности с помощью множителей Лагранжа

Покажем на примере задачи 1, каким образом введение множителей Лагранжа позволяет заменить исходную задачу рядом задач с меньшей размерностью вектора состояния.

В задаче 1 состояние описывалось двумя параметрами, что обуслов­ лено наличием двух ограничений. Для уменьшения размерности на 1 дос­ таточно из модели (9.40)-(9.43) убрать одно из ограничений, что можно сделать, если удаляемое ограничение включить в критерий задачи с неоп­ ределенным множителем Лагранжа X. Тогда модель измененной задачи

Как будет доказано ниже, задача (9.52М9.54) при определенных усло­ виях эквивалентна исходной задаче (9.40)-(9.43). Так как ограничения (9.53), (9.54) не связывают между собой переменные yj, то есть они стали независимыми, то справедлива следующая цепочка равенств:

Функции hj{Xj) имеют смысл, если максимум в (9.55) достигается при ко­ нечных значениях у,-, что будет всегда, если

У)

Это условие ограничивает применение данного способа, но в рассматри­ ваемой задаче оно, очевидно, выполняется, так как при неограниченном возрастании ресурса у, рост прибыли будет замедляться.

Как видно из (9.55), вычисление функции А/л;) при фиксированном значении X, сводится к нахождению максимума функции одной перемен­ ной для всех возможных значений xj, что не вызывает особых затруднений (для дифференцируемых Rjixj^yj) максимум можно найти аналитически). При известных /г/хД; = 1Д задача (9.52Н9.54) сводится к следующей:

Получили уже знакомую нам задачу распределения одного ресурса. Для решения ее методом ДП введем последовательность функций

/*(У) = т а х £ / 1у(х Д

с V =X, которая дает значения х*. По последним из функций Л/(х7) опреде­

ляют значения д . Теперь следует вспомнить об условии (9.42), которое не

Нетрудно увидеть, что оптимальное решение измененной задачи зави­ сит от принятого значения множителя X. Поэтому при невыполнении ус­ ловия (9.42) нужно изменить значение X и повторить весь расчет, начиная с вычисления функций hficj). В данной задаче при изменении X можно воспользоваться очевидным свойством: с увеличением X будет монотонно

убывать Ху^-, и наоборот. В более сложных ситуациях можно воспользо­

ваться одним из методов одномерного поиска нелинейного программиро­ вания. Таким образом, равенство (9.42) может быть выполнено с любой за­ данной точностью.

чины, умноженной на X, из левой и правой частей выражения (9.61) не ме­ няет знак неравенства:

Но здесь и слева, и справа имеем выражение критерия измененной зада­ чи, по которому оптимальным является решение х*, у*. Таким образом,

неравенство (9.62), вытекающее из допущения существования разных решений, противоречит исходной посылке и потому такое допущение не­ верно, что доказывает совпадение решений исходной и измененной (эк­ вивалентной) задач.

Для задачи 2 применение метода множителей Лагранжа реализуется проще. Модель измененной задачи можно записать по аналогии с выше­ приведенным случаем:

Как видно, здесь нет дополнительных функций А, и вычисления можно проводить сразу по рекуррентной формуле (9.63), задавшись предвари­ тельно значением X. После нахождения решения проверяется условие

(9.48) - SVy(Xy) <В, и если оно не выполняется, то необходимо изменить

значение X и повторить расчет. Таким способом достигается эквивалент­ ность исходной и измененной задач и, следовательно, оптимальное реше­ ние исходной задачи с помощью последовательности функций, зависящих только от одного параметра состояния.

В общем случае, когда вектор состояния исходной задачи имеет раз­ мерность т, можно использовать q множителей Лагранжа (q < т), что по­ зволит снизить размерность вектора состояния измененной задачи до m-q. При этом выполнение исключенных из условий исходной задачи q ограничений может быть обеспечено управлением таким же числом мно­ жителей Лагранжа. Однако увеличение размерности вектора состояния и соответственно числа множителей Лагранжа ведет к более быстрому росту трудоемкости решения измененной задачи. Поэтому проблема “про­

клятия размерности” остается, ограничивая применение метода ДП зада­ чами с небольшим числом параметров состояния.

Несмотря на указанный недостаток, метод динамического программи­ рования находит широкое применение для решения многих задач исследо­ вания операций, в том числе задач распределения, замены, кратчайшего пути, упорядочения и др.

9.10. Задания для самостоятельной работы

Работа заключается в решении одной оптимизационной задачи мето­ дом динамического программирования. Варианты задач и соответствую­ щие исходные данные приводятся ниже. Задачи отличаются содержанием, но все они отвечают условиям применимости ДП.

Целесообразно придерживаться следующего порядка решения задачи:

1.Составить модель задачи.

2.Представить задачу как многошаговую: выделить и пронумеровать шаги, нумерацию сохранить до конца решения.

3.Определить параметры состояния.

4.Составить уравнение состояния.

5. Ввести последовательность функций, четко определив их смысл

иматематическое представление.

6.Записать первую функцию последовательности и вывести рекур­ рентное соотношение с указанием переменных и области их изменения, по которым определяется экстремум в соотношении.

7.Провести условную оптимизацию. При решении функциональных уравнений там, где возможно, найти оптимум в общем виде (классическим методом). Существенное значение имеет обоснованный выбор диапазона значений параметров состояния и шага дискретизации.

8.Используя результаты условной оптимизации, провести безуслов­ ную оптимизацию для всех заданных значений исходного состояния.

9.Записать оптимальное решение и все соответствующие ему показа­ тели, сделать выводы по результатам решения.

10.Осмыслить возможности метода при изменении исходных данных

задачи.

В некоторых вариантах задач используется процедура снижения раз­ мерности. Для них перечисленные действия недостаточны, так как может быть необходим еще один этап оптимизации, а условная и безусловная оп­ тимизации могут повторяться несколько раз. Однако в целом схема реше-. ния аналогична.

В большинстве вариантов задано не одно значение параметра, а диа­ пазон, например 50-60. Это означает, что нужно найти решения для значе­ ний этого параметра от 50 до 60.