1465

зволяют получить значительно более высокую точность при малых шагах интегрирования, чем метод Верле и родственные ему методы. Однако для достаточно больших шагов интегрирования, которые часто применяются в методе частиц, метод Верле может оказаться точнее, чем метод Нордзика порядка 3, 4 и 5.

При расчете методом частиц большая часть компьютерного времени уходит на вычисление сил взаимодействия между частицами. Для ускорения расчета потенциал взаимодействия обычно обрезается на некотором заданном расстоянии acut. Тогда, если расстояние между частицами превосходит acut, то взаимодействием между ними можно пренебречь. Но при большом количестве частиц даже вычисление расстояния между ними потребует слишком большого времени, так как число необходимых операций пропорционально квадрату числа частиц. Поэтому для расчетов пространство разбивается на кубические ячейки с ребром acut. Для частиц, находящихся в некоторой ячейке, рассматривается взаимодействие только с частицами из пограничных с ней ячеек. Таким образом, удается добиться того, что число операций оказывается пропорциональным числу частиц. Данный метод допускает эффективное распараллеливание при использовании многопроцессорных вычислительных систем. Вся область пространства разделяется между процессорами – на каждом шаге интегрирования отдельный процессор проводит вычисление внутри отведенной ему области с захватом граничных ячеек из соседних областей, а затем происходит обмен информацией о частицах, находящихся в пограничных ячейках.

Периодические граничные условия. Часто в расчетах движения и взаимодействия части в областях, далеких от внешних границ тела, применяют периодические граничные условия. Наложение таких условий эквивалентно копированию области моделирования вдоль всех координатных осей. Для стыковки краев при параллельном переносе области ее форма должна быть достаточно простой для заполнения без зазоров всего пространства. Обычно форму области берут в виде прямоугольного параллелепипеда, но могут быть и исключения, например правильные шестиугольники для двумерных областей. Если частица в результате своего движения покидает область моделирования через некоторую ее грань, то она приходит в область сквозь противоположную грань с той же скоростью. При расчете взаимодействия учитываются образы всех частиц из области моделирования (для ускорения вычислений обычно учитываются только ближайшие образы).

111

Рассмотрим одномерный случай применения периодических граничных условий, когда областью моделирования является отрезок прямой, на котором расположены взаимодействующие атомы. Периодические условия приводят к тому, что эта область периодически транслируется вдоль прямой, то есть являет собой ячейку периодичности материала (например, рис. 2.5). Исследуем некоторые важные особенности использования периодических граничных условий.

а

б

Рис. 2.5. Наложение периодических граничных условий:

а – увеличенная ячейка периодичности; б – ячейка и две ее копии

Поскольку ячейка периодичности окружена бесконечным числом своих образов, при каждом парном взаимодействии двух выбранных на ячейке атомов учитываются силы от бесконечного числа образов этих атомов, периодически расположенных на оси. Тогда потенциал взаимодействия определяется как

i=−∞

где L – полуширина ячейки периодичности.

Исследуем эту сумму для потенциала Леннард-Джонса (в качестве упражнения предлагается построить графики зависимости потенциала от межатомного расстояния для случаев, когда периодические граничные условия не накладываются, учитывается по одному образу области с каждой стороны, по два образа, по три и так далее). Воспользуемся рядом

112

В бесконечной сумме (2.22) для потенциала Леннард-Джонса появляются слагаемые вида

которые могут быть получены с помощью записанного ряда. Действительно, взяв производную от (2.24) по r, получим

Последовательно вычисляя производные от (2.25), можно получить в левой части и шестую, и двенадцатую степени выражения r + 2i L , стоя-

щего в знаменателе дроби. Получаемые выражения не слишком сложны, но и не так удобны в использовании, как хотелось бы. Учитывая, что любой потенциал лишь приближенно описывает характер взаимодействия атомов, введем аналог потенциала Леннард-Джонса – периодический потенциал «6–12»:

Преимуществом такого потенциала является уменьшение числа проверок, необходимых при задании периодических граничных условий. Например, проверка близости частицы к краю области, когда необходимо пересчитывать расстояния до ближайших частиц, выбирать, какие частицы окажутся ближайшими – частицы из ячейки периодичности или из ее образов. Этот потенциал позволяет работать с малым числом атомов на ячейке периодичности, так как уже учитывает бесконечное количество образов всех частиц.

Задания:

1)Построить график зависимости значений периодического потенциала от расстояния между атомами и сравнить с графиком для потенциала Леннард-Джонса при учете нескольких образов области моделирования.

2)Провести расчет динамического поведения нескольких частиц на ячейке периодичности с потенциалом (2.26), исследовать изменение кинетической и потенциальной энергий.

113

Вопросы для самопроверки

1.Какие типы связей могут образовываться в кристаллических телах?

2.Гибридизации какого типа подвержены атомы углерода в структурах графена и графита?

3.Что качественно описывают потенциалы взаимодействия атомов?

4.Получить линеаризацию потенциалов Леннард-Джонса, Ми и Морзе для вычисления упругих модулей методом Коши при условии малых смещений.

5.Как выглядит ячейка периодичности при моделировании поведения кристаллов с простой кубической решеткой при задании периодических граничных условий?

6.Какой смысл имеет периодический потенциал взаимодействия атомов?

2.2. МЕТОД АТОМАРНОЙ СТАТИКИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ МАТЕРИАЛОВ С РАЗЛИЧНОЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКОЙ

Вэтом разделе предложен подход к идентификации параметров потенциала межатомного взаимодействия для металлических монокристаллов с ГЦК-структурой. Возможности подхода продемонстрированы на примере потенциала Леннард-Джонса. С помощью этого подхода исследованы упругие свойства ГЦК-монокристаллов произвольного металлического материала. Для определения упругих модулей материала исследуется равновесное состояние кристаллического образца.

Впредлагаемой методике используется статический подход, при этом мы уходим от вопроса об устойчивости решетки или способа задания типа связи, поскольку для любого вида связи при определении величины и направления силы взаимодействия атомов может использоваться потенциал одного и того же типа (с разными значениями параметров для различных материалов). Качественно картина всегда одинакова – при сближении атомы отталкиваются, а при удалении притягиваются, вне зависимости от вида связи. В методике принимается, что вид атомной связи уже учтен и соответствующая ему структура кристалла известна, а по ней определяются ее упругие свойства.

Для анализа упругого отклика монокристаллическое бездефектное тело в форме куба (рис. 2.6, а) подвергается различным видам деформации, например простого сдвига (рис. 2.6, б). На его гранях в деформированной конфигурации в предположении наличия только центрального ха-

114

рактера межатомного взаимодействия определяются силы, действующие на атомы из выбранных внешних граней со стороны всех остальных атомов тела. Полученные силы делятся на площади деформированных граней и по ним находятся компоненты тензора напряжений Коши без априорного предположения о его симметрии. Затем полученные выражения для компонент тензора напряжений раскладываются в степенные ряды по параметру, характеризующему степень деформации, например величине сдвига γ . Не зависящие от величины деформации коэффициенты при первых степенях получаемых рядов являются искомыми упругими постоянными монокристалла.

Если исследуемый материал является линейно-упругим по Коши с несимметричным тензором напряжений, удовлетворяющим обобщен-

ной конфигурации, то полученные коэффициенты при первых степенях параметров деформации – компонент тензора дисторсии uT , – будут компонентами тензора линейно-упругих свойств С. Если материал является (нелинейно) упругим по Грину, то из разложения упругого потенциала в степенной ряд по дисторсии получается упругий закон также

ввиде ряда, первый член которого совпадает с правой частью записанного несимметричного обобщенного закона Гука.

Вработах [6–7] отмечается необходимость проверки условия положительной определенности тензора линейно-упругих свойств материала, компоненты которого вычисляются с помощью дискретного подхода,

вчастности, упоминается, что для потенциала Леннард-Джонса это условие не выполняется. Поэтому уделим отдельное внимание проверке положительной определенности тензора С.

Материал с кубической решеткой имеет три взаимно ортогональные оси симметрии четвертого порядка [12], совпадающие с кристаллографическими осями (рис. 2.6, а). С учетом всех симметрийных и анизотропных свойств тензор линейно-упругих свойств C имеет четыре независимые компоненты, в качестве которых выбираются компоненты с наименьшими значениями индексов в указанных кристаллографических осях: C1111 , C1122 ,

C1212 , C1221 . Остальные компоненты либо равны нулю, либо выражаются

через них: C1133 = C3311 = C2233 = C3322 = C2211 = C1122 , C1313 = C2121 = C2323 =

= C3131 = C3232 = C1212 , C1331 = C3113 = C2332 = C3223 = C2112 = C1221 , C2222 =C3333 =C1111.

Ограничения на значения упругих модулей, следующие из условия положи-

115

тельной определенности тензора линейно-упругих свойств C (e : C : e > 0 ,

каждая пара индексов {i, j}, {k,l} пробегает значения из набора пар вида

{{1,1},{1, 2},{1,3},{2,1},{2, 2},{2,3},{3,1},{3, 2},{3,3}} , выводятся следующие ограничения на компоненты:

C1111 > 0 , −12C1111 < C1122 < C1111 , C1212 > 0 , −C1212 ≤C1221 ≤C1212 . (2.28)

Четвертое (двойное) неравенство (*) является нестрогим, хотя и обеспечивает строгую положительную определенность тензора C. Это связано с тем, что последние два слагаемых в неравенстве (2.28) в случае равенств модулей вида C1221 после приведения подобных дают

строго положительную при ненулевых компонентах несимметричного тензора e сумму полных квадратов сумм или разностей:

e122 + e221 + e132 + e312 + e223 + e322 ± 2(e12e21 + e13e31 + e23e32 ) = = (e12 ± e21 )2 + (e13 ± e31 )2 + (e23 ± e32 )2.

«Несимметричный» обобщенный закон Гука в компонентах принимает вид

116

вале значений, обусловленном неравенством (2.28). С использованием условий (2.28), получается ожидаемый результат в виде ограничений на значения коэффициента Пуассона:

Простой сдвиг монокристалла. Пусть n – единичная нормаль к плоскости сдвига, m – единичный вектор, задающий направление сдвига. Закон движения в лагранжевой форме имеет вид: r = R + γ (n R )m , где R – ра-

диус-вектор центров атомов в отсчетной конфигурации, а r – радиус-вектор атомов в текущей конфигурации. Тогда деформационный градиент

F = ( r )T , описывающий сдвиг на величину γ , имеет вид F = E + γ mn . Рассмотрим верхнюю и правую боковую грани. Площадь верхней грани при описанном сдвиге не меняется и равна N2a2 , так как на каждый атом на грани приходится ее часть площадью a2 , где a – параметр решетки, N – ко-

площадь грани после деформирования [9]. Для правой боковой грани получим площадь после сдвига, равную N 2a2 1 + γ 2 .

Выражение для суммарной силы, действующей на любую из граней, для произвольной силы f ( r )r / r взаимодействия пары атомов, соеди-

ненных вектором r, могут быть найдены аналитически с помощью любого пакета символьных вычислений, например пакета Wolfram Research «Mathematica». Для произвольных значений межатомного расстояния a может оказаться, что в состоянии до приложения сдвига суммарные силы на гранях исходного куба отличны от ноля, то есть в качестве начальной конфигурации берется не естественное состояние (ненапряженное и недеформированное), а некоторое равноосно деформированное состояние. Для получения естественного состояния необходимо решать задачу о выборе

117

естественного периода решетки. Эта проблема учитывается далее при нахождении упругих модулей.

риваемого простого сдвига, получим нормаль в текущей конфигурации:

ние, записанное для правой боковой, верхней и передней граней, в рассматриваемом случае позволяет найти все 9 компонент тензора напряжений Коши:

где индекс “R” (Right) относится к правой боковой грани, индекс “Up” (Upper) к верхней, индекс “Fr” (Front) к передней грани. В частности, полученные выражения дают возможность сравнивать недиагональные компоненты тензора напряжений σ 12 (γ ) и σ 21 (γ ) . Для определения упругих модулей

функции σ 12 (γ ) и σ 21 (γ ) раскладываются в степенные ряды в окрестности ноля ( γ = 0 ), коэффициенты при первых степенях в которых будем назы-

Значения компонент тензора напряжений Коши в начальной конфигурации σ 12 (0) и σ 21 (0) не оказывают влияния на значения исследуемых модулей.

Для линейно-упругого материала найденные таким образом касательные

тельные модули.

118

Оказалось, что коэффициенты при первых степенях γ при разложении компонент σ 12 (γ ) и σ 21 (γ ) совпадают. Коэффициенты при четных степенях

на 15–18 порядков меньше коэффициентов при первых степенях, и ими можно пренебречь. Коэффициенты при третьих, пятых и более высоких нечетных степенях γ для разложений в ряды Тейлора σ 12 (γ ) и σ 21 (γ ) оказались различными. Но при малых значениях сдвига (до величины γ = 0,1)

120