1465

торые требуется получить; определяется объект имитации; устанавливаются границы и ограничения моделирования; выбираются показатели для сравнения эффективности вариантов системы.

2.Концептуальная модель системы: на основе содержательного описания определяется общий замысел модели, выдвигаются основные гипотезы, фиксируются сделанные допущения. Концептуальная модель сложной системы представляет собой упрощенное алгоритмическое отображение реальной системы. Согласно [1] сложная система расчленяется на конечное число частей (декомпозиция системы), сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие. Полученные части при необходимости вновь расчленяются до тех пор, пока не получатся элементы, удобные для математического или алгоритмического описания. В результате этого сложная система представляется в виде многоуровневой «конструкции» взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы (подмодели) различных уровней. При этом стремятся к тому, чтобы получаемые подмодели отвечали реально существующим фрагментам системы. В состав концептуальной модели входят: уточненное описание объекта моделирования, свободное от всего того, что не представляет интереса для имитации поведения системы; список параметров и переменных моделирования; критерии эффективности функционирования вариантов системы; список используемых методов обработки результатов имитации и перечисление способов представления результатов моделирования.

3.Формальное описание объекта моделирования: построение ис-

следователем формального представления алгоритмов поведения компонентов сложной системы и описание взаимодействия компонентов между собой. Для составления формального описания используется один из трех видов формализации: аппроксимация явлений функциональными зависимостями, алгоритмическое описание процессов в системе и смешанное представление. После составления формального описания выполняют проверку правильности функционирования имитатора, используя классические модели, достоверность которых доказана. При этом выясняют следующие вопросы: позволяет ли имитатор решить поставленные задачи моделирования, насколько полна предложенная схема модели и отражает ли она фактическую последовательность развития процессов в реальной системе. На этом же этапе выполняется выбор вычислительных средств, которые обеспечили бы исследователю легкость программирования, минимальные затраты на моделирование, доступность выбранной ЭВМ, быстрое получение результатов.

171

4.Конструирование имитатора: преобразование формального описания в описание имитатора. Здесь же прорабатываются вопросы, связанные с синхронизацией частей компонентов модели друг с другом в модельном времени, организацией сбора статистики, заданием начальных условий моделирования, планированием процесса имитации отдельных вариантов системы, проверкой условий окончания моделирования, обработкой результатов имитации.

5.Программирование и отладка модели: данный этап включает как независимую отладку отдельных компонентов, так и комплексную отладку программы для всей модели. Данный этап предполагает разработку технической документации на программную реализацию модели.

6.Испытание и исследование модели: проверка правильности ал-

горитма моделирования исследуемого объекта в ходе имитации его поведения; определение степени адекватности модели и объекта исследования. Под адекватностью программной реализации имитатора понимают степень совпадения с заданной точностью векторов характеристик поведения объекта и модели. При отсутствии адекватности проводят калибровку модели, то есть уточняют алгоритмы как отдельных компонентов, так и алгоритмы взаимодействия компонентов друг с другом. Данная операция может включать и уточнение формального описания компонен-

тов. Исследование свойств имитатора предполагает оценку точности

иустойчивости результатов имитации явлений, а также определение чувствительности значений критериев качества к изменению параметров модели. Под точностью имитации явления понимают оценку влияния стохастических элементов на функционирование модели сложной системы.

Устойчивость результатов моделирования характеризуется сходимо-

стью контролируемых параметров к определенным величинам (повторяемость результатов) при малом изменении параметров имитатора, варьировании его начального состояния. Стационарность режима моделирования характеризует некоторое установившееся равновесие процессов в модели системы, когда дальнейшее увеличение времени моделирования не приводит к получению новой информации. Чувствительность модели определяется величиной приращения значений выбранного критерия качества, вычисляемого по статистикам моделирования, при последовательном изменении параметров моделирования на всем диапазоне их изменения. Следует отметить, что без оценки точности, устойчивости

ичувствительности имитатора нельзя рассчитывать на доверие к нему как со стороны разработчика, так и со стороны заказчика.

172

7.Эксплуатация имитатора начинается с составления плана экспериментов, позволяющего исследователю получить максимум информации при минимальных затратах на проведение вычислений и обработку результатов. При этом необходимо выполнить обязательное статистическое обоснование плана экспериментов. Планирование эксперимента представляет собой процедуру выбора минимального числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с заданной точностью. После составления плана экспериментов приступают к их реализации. Итогом работы являются результаты экспериментов на модели.

8.Анализ результатов моделирования: всесторонний анализ полу-

ченных результатов с целью получения рекомендаций по проектированию системы или ее модификации. На результаты анализа и их интерпретацию существенное влияние может оказывать способ представления данных на ЭВМ. Так, использование средств компьютерной графики

имультипликации могут оказать существенную помощь на данном этапе. Успех или неудача проведения имитационных экспериментов с моде-

лями сложных систем существенным образом зависят от инструментальных средств, используемых для моделирования, то есть от набора аппарат- но-программных средств, предоставляемых пользователю-разработчику или пользователю-исследователю имитатора. В настоящее время существует большое количество специальных языков создания имитаторов на ЭВМ, которые называют языками моделирования. Перед разработчиком возникает проблема выбора языка, наиболее эффективного для целей моделирования конкретной системы. Языки моделирования заслуживают пристального внимания [8], так как, во-первых, число существующих языков и систем моделирования превышает несколько сотен и необходимо научиться ориентироваться в них. Во-вторых, почти каждый новый язык моделирования является не только средством, облегчающим доведение концептуальной модели до готовой машинной моделирующей программы, но и представляет собой новый способ «видения мира», то есть построения моделей реальных систем. К наиболее известным языкам моделирования систем с дискретными событиями относят SIMULA, SIMSCRIPT, GPSS, SOL, CSL. Достаточно полный обзор разработанных к середине 90-х годов языков моделирования, их классификация, обсуждение достоинств и недостатков, сравнение между собой представлены в [8].

Отметим еще раз достоинства и недостатки имитационного подхода. При достаточно глубоком знании поведения реальной системы и пра-

173

вильном представлении в имитаторе феноменологической информации имитаторы характеризуются, вообще говоря, большей близостью к реальной системе, чем аналитические и численные модели. В значительной степени такая близость обусловлена блочным принципом построения имитатора, который позволяет выполнять верификацию каждого блока до его включения в общую модель, а также благодаря тому, что имитатор может включать зависимости более сложного характера, которые трудно (а иногда невозможно) учесть с помощью математических соотношений. В то же время создать хороший имитатор поведения сложной системы, как правило, сложнее, дольше и дороже, чем аналитическую модель. Это связано с обязательным присутствием в цикле создания имитатора этапа программирования, стоимость, сложность и длительность которого может быть весьма значительной. Кроме того, необходимость использования ЭВМ соответствующего класса в значительной степени осложняет использование модели. И, наконец, срок жизни имитатора, как правило, ограничен сроком использования ЭВМ, для которых была разработана его программная реализация. Учитывая, что время разработки достаточно сложного имитатора составляет несколько лет, а период существенного обновления вычислительной техники сократился до 10 лет, можно говорить о серьезном недостатке моделей, основанных на имитационном подходе. Быстрое развитие средств вычислительной техники, совершенствование языков и технологий разработки имитаторов позволяет надеяться, что отмеченные недостатки будут со временем устраняться.

3.2. МЕТОД КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Одним из простых, но эффективных с вычислительной точки зрения имитационных подходов к моделированию физических процессов является подход клеточных автоматов.

Автоматом называют устройство (или совокупность устройств), которое без непосредственного участия человека выполняет процессы приема, преобразования и передачи энергии, материалов или информации в соответствии с заложенной в него программой. В данном случае нас интересуют автоматы (рис. 3.1), выполняющие дискретное преобразование информации, для которых заданы множества А входных сигналов, Q внутренних состояний и V выходных сигналов, а также две функции: функция переходов δ и функция выходов λ . Функция переходов определяет, в какое состояние q’ (из множества возможных состояний Q) перей-

174

дет автомат, если он находится в состоянии q и на вход поступил сигнал a → δ (q,a) = q’, а функция выходов показывает, какой при этом образуется выходной сигнал v (из множества выходных сигналов V): λ (q,a) = v. Множество сигналов и состояний дискретны, и, кроме того, дискретно множество моментов, в которые поступают входные сигналы, выдаются выходные сигналы и меняются состояния. В этом случае число возможных значений аргументов функций переходов и выходов также конечно, и эти функции можно задавать таблично. Такие автоматы называ-

ются конечными автоматами.

Рис. 3.1. Схема автомата

Клеточные автоматы (КА) являются частным случаем [9] конечных автоматов, используемых для моделирования динамического поведения однородных сред. При этом пространство и время считаются дискретными, а физические величины в каждой точке моделируемой среды могут принимать конечное множество дискретных значений. Для КА существует достаточно развитая теория. В ее основу легли работы Дж. фон Неймана, который в 1948 году ввел в науку само понятие «клеточный автомат» при разработке первой компьютерной модели биологического самовоспроизводства. Клеточный автомат можно представить как регулярную решетку «клеток», каждая из которых может находиться в конечном числе возможных состояний, например 0 или 1. Состояние системы полностью определяется значениями переменных в каждой клетке. Особенностями классических клеточных автоматов являются:

–состояние каждой ячейки обновляется в результате выполнения последовательности дискретных постоянных шагов во времени (или

тактов);

–переменные в каждой ячейке изменяются одновременно («синхронно»), исходя из значений переменных на предыдущем шаге;

–правило определения нового состояния ячейки зависит только от значений переменных в ячейках из локальной окрестности.

Широко распространены [9] автоматы для моделирования динамического поведения двумерных сред. Каждой частице такой среды, занимающей некоторое пространство, ставится в соответствие элементарный автомат, имеющий форму квадрата (треугольника или шестиугольника)

175

и именуемый клеткой. Совокупность клеток образует клеточное пространство, в котором функционирует КА. Как отмечалось выше, отдельная клетка имеет конечный набор состояний Q, а выходные сигналы клеток есть номера их состояний. Функция переходов δ определяется текущим состоянием q клетки, а также состоянием ее окружения. В зависимости от свойств моделируемого объекта выбирают различные типы окрестностей (рис. 3.2). В простейших случаях в качестве окрестности принимают четыре или восемь ближайших клеток. Однако возможны ситуации, когда состояние клетки зависит от состояния более удаленных клеток. Чтобы исключить особый вид окрестности для клеток, лежащих в крайних рядах, область замыкают, то есть для клеток крайнего левого столбца соседями слева считают клетки крайнего правого столбца, и наоборот. Аналогичное замыкание выполняют для клеток верхнего и нижнего ряда области. В результате можно считать, что рассматриваемая совокупность клеток лежит на поверхности тора. Подобный прием в практике моделирования на-

зывается заданием граничных условий циклического типа или периодических граничных условий.

Рис. 3.2. Типы плоских решеток и окрестности

176

Для моделирования различных физических процессов формулируются так или иначе обоснованные правила обновления состояний клеток. Для приведенных на рис. 3.2 типов окрестностей новое состояние центральной клетки определяется по совокупности состояний клеток соответствующей окрестности. Правила такого типа широко используются при моделировании биологических систем или при описании физических систем с изменяющимся количеством субстанции, как, например, в спиновой модели Изинга. Если же исследователя интересует процесс, идущий при выполнении определенных законов сохранения, например количества частиц при описании диффузии или массы при описании движения жидкости, то необходимо использовать так называемые консервативные правила.

Одним из подходов к построению таких правил является введение правил клеточного автомата при разделении поля автомата на подобласти. При этом:

1.Массив клеток разбит на множество конечных, отдельных одинаковых частей – блоков, образующих более крупную решетку на поле клеточного автомата.

2.Формулируются правила для блока, задающие обновление содержимого всего блока (не отдельной клетки, как в обычном клеточном автомате). Одно и то же правило применяется ко всем блокам. Блоки не перекрываются, и на одном шаге нет обмена информацией между соседними блоками.

3.Разбиение меняют от шага к шагу так, чтобы происходило перекрытие решеток блоков, используемых на соседних шагах (если использовать одно и то же разбиение на каждом шаге, то клеточный автомат разбивается на совокупность независимых подсистем).

Рассмотрим простейшую схему разбиения:

♦массив клеток разбит на блоки размером 2× 2;

♦шаги, в которых блоки соответствуют четной решетке, чередуются с шагами, использующими нечетную решетку, как показано на рис. 3.3. В зависимости от того, какая решетка используется, выделенная клетка, помеченная кругом, будет иметь окрестностью либо четный блок (рис. 3.3, а), либо нечетный блок (рис. 3.3, б).

Такую схему разбиения называют окрестностью Марголуса. Окрестность Марголуса использует только два разбиения (четная

решетка и нечетная решетка). В общем случае различных разбиений, используемых в клеточном автомате на разбиении, должно быть ограниченное число, и они должны циклически повторяться, чтобы обеспечить однородность пространства и времени.

177

Полученный безразмерный комплекс D ≡ t0 D L−2 определяется типом решетки автомата. Параметры t0 и L могут быть связаны с характерным

временем и длиной процесса диффузии. В работе [7] для автомата, реализующего диффузию с помощью правил Марголуса, получены значения безразмерного коэффициента диффузии D для двумерного ( D = 3 / 2 ) и трехмерного ( D = 23 / 18 ) случаев.

Отметим также, что клеточные автоматы могут быть модифицированы учетом дальнего взаимодействия частиц. Для этого перед каждой итерацией производится расчет взаимодействия частиц и принимается решение об их перемещении согласно определенному критерию. Движение способных к этому частиц реализуется с помощью классического клеточного автомата. Примером такого моделирования может служить описание формирования дислокационной микроструктуры (частицы – дислокации различных плоскостей скольжения и знаков) в пластически деформируемом твердом теле [4], в том числе и с учетом диффузии примесных атомов [5].

3.3. ПРИМЕНЕНИЕ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ К ОПИСАНИЮ ФОРМИРОВАНИЯ ДИСЛОКАЦИОННОЙ МИКРОСТРУКТУРЫ В МЕТАЛЛЕ

Далее мы остановимся на моделировании явлений самоорганизации дефектов кристаллического строения, наблюдаемых в пластически деформируемых металлах. Основным механизмом пластического течения металлов при низких гомологических температурах является движение образующихся в них при деформировании в огромном количестве линейных дефектов кристаллического строения – дислокаций. Учет дислокаций в одночастичном приближении в моделях пластичности объяснил многие особенности пластического течения. Эти теории применимы для описания процессов на ранних стадиях пластического течения, когда дислокаций в кристалле не так много, чтобы учитывать их многочастичное взаимодействие. Достаточно тонкие наблюдения фиксируют на последующих стадиях временнý ю нестабильность и пространственную локализацию

179

пластического течения, отражающие возникновение режимов самоорганизации дислокаций, приводящих к структурным переходам. Для описания этих процессов нужны модели, трактующие пластичность и описывающие ряд эффектов пластичности как результат коллективных явлений в ансамблях дислокаций. Одним из путей решения этой задачи является применение имитационного подхода, описывающего на основе техники клеточных автоматов поведение большого количества дискретно распределенных взаимодействующих дислокаций.

Дислокации могут быть краевыми, винтовыми и смешанного типа. Дислокацию характеризуют два вектора: единичный вектор ξ , направленный вдоль линии дислокации (на рис. 3.4, б – перпендикулярно плоскости рисунка) и особый (ненулевой только для линейных дефектов типа дислокаций) вектор – вектор Бюргерса b. Краевые дислокации представляют собой края лишних атомных полуплоскостей и для них ξ b (рис. 3.4, б), для винтовых дислокаций ξ b, а для смешанных взаимная ориентация векторов ξ и b меняется вдоль линии дислокации. В зависимости от того, ниже плоскости залегания расположена лишняя атомная полуплоскость или выше, то есть в зависимости от знака вектора Бюргерса, краевые дислокации условно разделяют на положительные и отрицательные и обозначают символами и T. Линии дислокаций из геометрических соображений не могут обрываться внутри кристалла, а только на поверхности кристалла или на других дислокациях, образуя узлы дислокационной сетки. При низких гомологических температурах основным механизмом движения краевых дислокаций является их скольжение в плоскости залегания (вдоль горизонтали на рис. 3.4). При встрече краевых дислокаций противоположных знаков выстраивается полная атомная плоскость, в этом случае говорят, что дислокации аннигилируют.

Рис. 3.4. Контуры Бюргерса: а – в идеальном кристалле;

б – в кристалле с краевой дислокацией; мера несовпадения – вектор Бюргерса b

180