Таким образом, множество W* не пустое и содержит един­ ственную точку w = (2/5, 1/5, 1/5, 1/5). Значит, рассматри­ ваемый позином на R+ достигает наименьшего значения.

Поскольку W* ф 0, позином имеет двойственную функцию, которая в соответствии с (3.48) принимает вид

В точке w значение двойственной функции равно

Поэтому наименьшее значение позинома у(х) не меньше 10. #

Позином (3.42) называют регулярным, если выполнены п

w* 6 W, в которой, согласно теореме 3.20, двойственная функ­ ция d(w) достигает на m-мерном выпуклом многограннике W наибольшего значения еГ, равного d* = ci + ... + с™, удовлетво­ ряют условиям ортогональности (3.47). Действительно,

Теорема 3.21. Регулярный позином у(х) достигает в К” своего наименьшего значения у* = у(х*) = d* = с\ + c<i + ... + Сщ в точке х* = (1, 1, ..., 1) € R ".

◄ Поскольку для регулярного позинома верны неравенства (3.52), достаточно показать, что в точке х* позином прини­ мает значение d* С помощью непосредственных вычислений получаем

Итак, поиск наименьшего значения регулярного позинома не составляет труда: оно достигается в точке х* с единичными координатами. Нерегулярный позином у(х) может не дости­ гать наименьшего значения, но если известно, что наименьшее значение этим позиномом достигается, то значение d* = у(х*) может рассматриваться как оценка сверху для наименьшего значения позинома.

Как отмечено выше, если позином достигает наименьшего значения, то все точки наименьшего значения есть стационар­ ные точки позинома. Поэтому задачу минимизации позинома можно решать, определяя его стационарные точки.

Используя представления (3.42) и (3.43), получаем уравне­ ния для стационарных точек позинома:

Эти уравнения сложные. Установить по ним существование стационарных точек, а тем более найти их не так просто, особенно при большом числе т слагаемых в (3.42) и дробных показателях степеней.

Введем дополнительные переменные

п

Тогда

п

Теперь вычислим значение двойственной функции в точке w*. Поскольку w* = щ/у* = CiPi(x*)/y*, то

Во втором произведении все показатели степени складываются, причем в сумме получаем

Еwt = 1.

Следовательно, это произведение равно у*. Первое произведе­ ние преобразуем, учитывая вид функций Pi(x):

—W* 771 71

где

771

kj = —^ ] CLijW = 0.

г= 1

Значит,

и d(w*) = у*.

Так как с?(ги) ^ у* для любой точки ги € W’*, то у* = d(w*) является наибольшим значением й(гу) на W* ►

Теорема 3.23. Пусть двойственная позиному у(х) функция

При этом любое решение (г*, ..., z*) системы определяет точку х* = (х*, ..., х*), где Zj = lnx!-, j = 1,п, которая является точкой наименьшего значения позинома.

◄ Пусть позином у(х) достигает в R+ наименьшего значе­ ния у* в некоторой точке х* Тогда, согласно теореме 3.22, двойственная функция d(w) достигает на множестве W* наи­ большего значения в точке w* с координатами w* = щ/у*, где щ = Cipi(x*), i = 1, га. Кроме того, d(w*) = у*, и мы можем за­ писать щ —w*d(w*), i = 1, га.

Отметим, что функция d(w) достигает наибольшего зна­ чения в единственной точке. Действительно, множество W* есть пересечение выпуклого многогранника W с линейным мно­ гообразием, заданным системой линейных уравнений (3.47). Значит, W* — выпуклое множество. Как было отмечено выше (см. доказательство теоремы 3.20), функция —Ind(x) являет­ ся строго выпуклой. Поэтому она на W* имеет единственную точку минимума, а функция d(w) — единственную точку мак­ симума.

Для точки х* наименьшего значения позинома выполняют­ ся равенства (3.54), а так как щ = w*d(w*), i = 1, га, то вторая

Inж* = zlj, j = 1, п. Тогда из системы (3.55) находим

Поэтому

У(х *) = ^ 2 сгРг{х*) = d(w*)J2w* =d(w*).

В данном случае W* / 0 и , значит, верны неравенства (3.52),

вкоторых d* = d(w*). Отсюда делаем вывод, что значение у{х*) = d(w*) является наименьшим значением позинома у(х*)

вЩ. ►

Теоремы 3.22 и 3.23 позволяют задачу поиска стационар­ ных точек позинома, т.е. решение системы уравнений 3.54, заменить задачей исследования на условный максимум двой­ ственной функции, ограничения в которой являются линейны­ ми. Такая задача может оказаться более простой, а решив ее, можно найти решение исходной задачи минимизации позинома.

Пример 3.20. Позином

у{х) = ------------) r X \ X 2 + 2 X 2 X Z +AX \XZ, X = (а?1, Х 2 , Х з ) € М+,

Х\Х2Хз

рассмотренный в примере 3.19, не является регулярным, так как для этого позинома не выполнено ни одно из условий (3.47):

- 4 + 1 + 4 = 1^ 0 , - 4 + 1 + 2 = - 1 ^ 0 , —4 + 2 + 4 = 2 ^ 0.

Однако для него множество W* не пусто (см. пример 3.19), и поэтому в R+ он достигает наименьшего значения. В качестве оценки сверху наименьшего значения этого позинома можно взять значение у(1,1,1) = 11, которое, отметим, является наи­ меньшим значением любого регулярного позинома с теми же