- •1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •1.1.1. Понятие функции
- •1.1.2. Способы задания функций
- •1.1.4. Классификация функций
- •2.1. Предел функции
- •2.2. Бесконечно большая и ограниченная функции
- •2.3. Бесконечно малые и их основные свойства
- •Вопросы для самопроверки
- •3.6. Производные элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •Уравнения (3.9) называются параметрическими уравнениями кривой, а t – параметром.
- •Вопросы для самопроверки
- •Замечание 2. Если производная существует не во всех точках внутри [a,b], то утверждение может оказаться неверным, т.е. на отрезке может не оказаться точки в которой производная обращается в нуль. Например:
- •4.2. Теорема Лагранжа
- •Приведем теорему о конечных приращениях.
- •Теорема Лагранжа. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках отрезка, то внутри отрезка [a,b] существует по крайней мере одна точка c, a<c<b, что
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Предельные показатели в микроэкономике
- •6.2. Максимизация прибыли
- •8.4. Интегрирование с помощью замены переменной
- •Рассмотрим функцию двух переменных f (x,у). Пусть она определена и непрерывна в точке М0(х0 ,у0) и некоторой ее окрестности. Перемещению из точки М0(х0 ,у0) в точку М(х ,у)
- •11.12.5. Оптимизация спроса
- •12.1. Основные понятия и определения
- •Теорема. Если в уравнении
- •Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •11.12.5. Оптимизация спроса…………………………174
- •12.1. Основные понятия и определения…………………177
- •12.11.4. Неоклассическая модель роста……………..214
Уравнения (3.9) называются параметрическими уравнениями кривой, а t – параметром.
Предположим, что функция x (t) имеет обратную t Ф(x) , тогда
y Ф(x) |
(3.10) |
является функцией от х. Уравнения (3.9) определяют у как функцию от х, и говорят, что функция задана параметрически. Для того чтобы получить из (3.9) (3.10) надо из (3.9) исключить t.
Например, координаты любой точки окружности выра-
x r cos t |
|
|
зятся через параметр t следующим образом: |
|
. |
y r sin t |
|
|
Это параметрическое уравнение окружности. |
Если ис- |
ключить из этих уравнений параметр t, то получим уравнение окружности, содержащее только х и у. Возведем уравнения в квадрат и сложим: x2 r 2 cos2 t , y 2 r 2 sin 2 t , x2 y 2 r 2 .
Найдем производную от функции y(x) заданной параметрически уравнениями y (t), x (t) , t0 t T .
|
|
Предположим, что эти функции имеют производные и |
|||||||||||
функция x (t) имеет обратную t Ф(x) , тогда |
y Ф(x) |
||||||||||||
и по правилу дифференцирования сложной функции: |
|||||||||||||
y' |
|
' |
Ф'(x) , |
Ф' |
|
|
1 |
. Тогда |
|
||||
x |
x |
|
|
||||||||||
|
t |
|
|
't |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
y' |
|
't |
|
y't |
. |
(3.11) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
't |
|
x't |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры 3.8. Найти производные заданных функций.
x a cos t, 1) y b sin t. .
43
Решение. Функция задана параметрическими уравне-
ниями. Найдем производные |
x't |
|
a sin t |
, |
|||||||||||||||||
y't |
|
b cos t |
|||||||||||||||||||
тогда y' |
|
|
b cos t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
|
x a(t sin t), . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y a(1 cos t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a(1 |
cos t), |
|
|||||||||||
Решение. xt |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
a sin t. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
2sin |
|
cos |
|
|
|
t |
|
|
|||||
y' |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
ctg |
. |
|
||||||||||
x |
|
cos t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 sin |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.9. Неявная функция и ее дифференцирование
Пусть значения двух переменных х и у связаны между собой некоторым уравнением, которое обозначим
F(x, y) = 0. (3.12)
Если функция у = f(x), определенная на некотором интервале (a,b) такова, что уравнение (3.12) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество относительно х, то функция у = f(x) есть неявная функция, определенная уравнением (3.12).
Так, например, уравнение
|
x 2 y 2 |
a 2 |
0 |
(3.13) |
|||
неявно определяет следующие элементарные функции |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
a 2 x 2 , |
y |
|
a 2 x 2 . |
(3.14) |
Действительно, после подстановки в уравнение (3.13) этих значений получаем тождество
44
x2 (a 2 x2 ) a 2 0 .
Выражения (3.14) получились путем решения уравнения (3.13) относительно у. Но не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т.е. можно представить в виде у = f(x), где f(x) есть элементарная функция. Так, например,
функции, заданные уравнениями y 6 y x 2 0, y x sin y 0, не выражаются через элементарные функции,
т.е. эти уравнения нельзя разрешить относительно у.
Пусть функция задана уравнением (3.13). Для того, чтобы найти производную неявной функции, не преобразовывая ее в явную, продифференцируем обе части (3.13 ) по х, считая, что у есть функция от х. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим 2x 2 yy 0 ,откуда y x / y.
|
Пример 3.9. Найти производную функции |
|
|
|
y3 3y 2ax 0. |
|
|
|
Решение. 3y 2 y 3y 2a 0, 3y ( y 2 1) 2a, |
|
|
y |
2a |
|
|
|
. |
|
|
3(1 y 2 ) |
|
||
|
|
3.10. Дифференциал |
|
|
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a,b]. |
|
|
|
Следовательно, существует предел y f (x) lim |
y . |
|
|
|
x 0 |
x |
|
Но тогда по свойству бесконечно малых, функцию |
||
имеющую предел можно представить в виде |
|
||
|
|
y y , |
(3.15) |
|
|
x |
|
где α – бесконечно малая, т.е. 0 при х 0. Умножим
(3.15) на х
45
y y x x . |
(3.16) |
Так как в общем случае y 0 , произведение |
y x есть |
бесконечно малая величина первого порядка относительно x . Произведение x есть бесконечно малая высшего порядка относительно x
lim x lim 0 .x 0 x x 0
Приращение y состоит из двух слагаемых, первое из
которых называется главной частью приращения, линейной относительно x . Произведение y x называется дифферен-
циалом и обозначается dy. |
|
dy= y x . |
(3.17) |
Найдем дифференциал функции y=x. dy y x x , dx x .
Дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением.. Формулу (3.17) можно переписать в виде
dy f (x)dx .
Из этого соотношения следует, что f (x) dydx , то есть
производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.
Из (3.16) следует, что приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую высшего порядка относительно x .
Если f `(x) 0 , x является бесконечно малой высшего порядка относительно dy .
Поэтому можно положить y dy .
f (x x) f (x) f (x) x .
Это приближенное равенство можно использовать в приближенных вычислениях.
46
Пример 3. 10. Найти dy и y функции y=x³.
Решение. y (x x)3 x3 3x2 x 3x(x)2 (x)3 , dy f (x)dx 3x2 x.
Задача нахождения дифференциала равносильна нахождению производной. Следовательно большинство теорем и формул, относящихся к производным, имеют место и для дифференциала.
3.11. Производные различных порядков
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a,b]. Значение производной y также является функцией x.
Дифференцируя эту функцию, мы получим так называе-
мую производную второго порядка. Обозначают y или f (x) . Например, y x4 , y 4x3 , y 12x 2 .
Производная от второй производной называется производной третьего порядка y . Аналогично y IV , yV , yVI .
Производной n-го порядка от функции f(x) называется производная от производной (n-1)-го порядка и обозначается
символом y (n) ; y (n) ( y (n 1) ) - порядок производной указывается скобках.
Примеры 3.11. Найти выражения производных любого порядка n.
1. y ekx , y kekx , y k 2 ekx , ..., y(n) k nekx . 2. y sin x ,
y cos x sin( 2 x) ,
y sin x sin(x 2 2 ) ,
47
y cos x sin(x 3 2 ) ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y(n) sin(x n 2 ) .
3.12. Уравнения касательной и нормали
Рассмотрим кривую, уравнение которой y=f(x). На кривой выберем точку M(x1,y1), и напишем уравнение касательной к данной кривой в точке M.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через данную точку, имеет вид (y-y1)=k(x-x1). Для каса-
тельной k = tg α = f (х1), поэтому уравнение касательной: (y y1)= f ( x1) (x x1).
у |
M(x1,y1) |
у=f(x) |
|
|
0 |
x |
Рис. 16 Нормалью к кривой в данной точке называется прямая,
проходящая через точку, перпендикулярно касательной. Угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом
касательной формулой kn |
1 |
. |
|
||
|
kt |
Следовательно, уравнение нормали к кривой в т. М имеет вид
y y1 |
1 |
(x x1 ) . |
|
|
|||
f (x1 ) |
|||
|
|
||
|
48 |
|