- •Введение
- •Дифференцирование векторных величин
- •1. Кинематика поступательного
- •1.1. Система отсчета. Путь. Вектор перемещения
- •1.2. Скорость. Ускорение при криволинейном движении
- •1.3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения
- •1.4. Движение точки по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение
- •2. Динамика поступательного движения
- •2.1. Законы Ньютона
- •2.2. Силы в механике
- •2.2.1. Сила тяжести
- •2.2.2. Упругие силы
- •2.2.3. Сила трения
- •2.3. Внешние и внутренние силы. Закон сохранения импульса
- •3. Работа и энергия
- •3.1. Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл
- •3.2. Кинетическая энергия механической системы и её связь с работой
- •3.3. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей на материальную точку
- •3.4. Потенциальная энергия системы взаимодействия. Связь кинетической энергии системы с работой внутренних и внешних сил
- •3.5. Закон сохранения механической энергии. Закон сохранения и превращения энергии как проявление неуничтожимости материи и ее движения
- •3.6. Удар абсолютно упругих и неупругих тел
- •4. Динамика вращательного движения
- •4.1. Момент силы и момент импульса
- •4.2. Уравнение моментов
- •4.3. Движение центра тяжести твердого тела
- •4.4. Момент инерции тела относительно оси вращения
- •4.5. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Закон сохранения момента импульса
- •4.6. Кинетическая энергия твердого тела. Работа внешних сил при вращении твердого тела
- •4.7. Кинетическая энергия при плоском движении твердого тела
- •5. Элементы специальной теории относительности
- •5.1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
- •5.2. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
- •5.3. Следствия из преобразований Лоренца
- •5.3.1. Одновременность событий в разных системах отсчета
- •5.3.2. Длина тел в разных системах отсчета
- •5.3.3. Длительность событий в разных системах отсчета
- •5.4. Пространственно-временной интервал
- •5.5. Релятивистская кинематика. Релятивистский закон сложения скоростей
- •5.6. Релятивистская динамика
- •6. Механические колебания и волны
- •6.1. Понятия о колебательных процессах. Гармонические колебания. Амплитуда. Частота. Фаза колебаний
- •6.2. Свободные гармонические колебания
- •6.2.1. Математический маятник
- •6.2.2. Пружинный маятник
- •6.2.3. Физический маятник
- •6.2.4. Скорость и ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону
- •6.2.5. Энергия гармонических колебаний
- •6.3. Сложение колебаний
- •6.3.1. Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •6.3.2. Сложение двух гармонических колебаний одного направления, но разного периода
- •6.3.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •6.4. Затухающие колебания
- •6.5. Вынужденные колебания. Резонанс
- •6.6. Волновые процессы
- •6.6.1. Плоская синусоидальная волна. Фазовая скорость. Длина волны. Групповая скорость
- •6.6.2. Скорость распространения волн в упругой среде
- •6.6.3. Поток энергии в волновых процессах
- •6.6.4. Принцип Гюйгенса-Френеля. Интерференция волн
- •6.6.5. Отражение волн. Стоячие волны
- •7. Молекулярно-кинетическая теория
- •7.1. Статистический метод исследования. Термодинамический метод исследования. Термодинамические параметры. Равновесное состояние и процессы их изображения на термодинамических диаграммах
- •7.2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
- •7.3. Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярно-кинетическое толкование абсолютной температуры. Связь основного уравнения мкт с уравнением Менделеева-Клайперона
- •7.4. Средняя скорость молекул. Поток молекул
- •7.5. Распределение молекул по скоростям. Закон Максвелла
- •7.6. Барометрическая формула.
- •7.7. Больцмановское распределение частиц в потенциальном поле. Закон Максвелла-Больцмана
- •7.8. Экспериментальный метод определения числа Авогадро
- •7.9. Эффективный диаметр молекулы. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекулы
- •7.10. Явления переноса в газах
- •7.10.1. Вязкость газов (внутреннее трение)
- •7.10.2. Закон Стокса
- •7.10.3. Теплопроводность газов
- •7.10.4. Диффузия газов
- •8. Термодинамика
- •8.1. Внутренняя энергия системы. Работа. Количество теплоты. Первое начало термодинамики
- •8.2. Степени свободы молекул. Распределение энергии по степеням свободы
- •8.3. Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости газа
- •8.4.1. Изохорный процесс
- •8.4.2. Изотермический процесс
- •8.4.3. Изобарный процесс
- •8.5. Адиабатический процесс
- •8.7. Цикл Карно
- •8.8. Принцип действия тепловой и холодильной машин
- •8.9. Второе начало термодинамики
- •8.10. Приведенное количество тепла. Неравенство Клаузиуса
- •8.12. Статистический смысл второго начала термодинамики. Связь энтропии с термодинамической вероятностью
- •9. Агрегатные состояния и фазовый переход
- •9.1. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса
- •9.2. Экспериментальные изотермы. Критические состояния
- •9.3. Внутренняя энергия реального газа. Эффект
- •Библиографический список
- •Оглавление
1.4. Движение точки по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение
При вращении твердого тела все его точки движутся по окружности, центры которых лежат на единой прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскости, перпендикулярной к этой оси.
Радиус-вектор каждой точки – есть вектор, проведенный из центра окружности в данную точку. Он поворачивается за время t на один и тот же угол .
Векторная величина называется угловой скоростью, где t – время, за которое совершается поворот на угол . Из определения видно, что вращение точки по окружности описывается угловой скоростью .
Вектор направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело в сторону, определяемую правилом правого винта (рис.1.8). Если вращать винт так, чтобы его рукоятка указывала направление вращения твердого тела, то направление движения винта укажет направление векто- |
М2
М1 Рис.1.8
|
ра угловой скорости.
При равномерном вращении угловая скорость , а угол поворота .
Единицей угловой скорости в системе СИ является радиан в секунду .
Угловая скорость - есть величина постоянная, она указывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. В этом случае она называется круговой или циклической частотой.
Равномерное движение можно охарактеризовать также периодом обращения. Периодом называется время, за которое тело делает один оборот, т.е. поворачивается на угол 2. Поскольку за время, равное Т совершается угол поворота 2, то
; .
Число оборотов за единицу времени (частоту) обозначим и выразим период и циклическую частоту через эту величину
; ; .
Угол поворота за время t можно записать через частоту и полное число оборотов N
; .
При неравномерном вращении величина изменяется со временем и за промежуток времени t получает приращение .
Величина, характеризующая изменение вектора угловой скорости со временем, называется угловым ускорением
.
Таким образом, изменение угловой скорости по времени характеризуется угловым ускорением , которое определяется как производная угловой скорости по времени
.
Единица измерения углового ускорения . При неподвижной оси вращения векторы и коллинеарны и направлены вдоль оси вращения. Если угловая скорость увеличивается , то векторы и одинаково направлены, если угловая скорость уменьшается , то векторы и противоположно направлены.
При неравномерном вращении для угла поворота, угловой скорости и ускорения справедливо соотношение
,
где 0 – начальная угловая скорость.
Найдем соотношение между (рис.1.9).
М1 R s
М2
Рис.1.9
|
Пусть за малый промежуток времени t тело повернется на угол . Точка М, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный . Величина - называ-ется линейной скоростью точки. |
Подставляя значение s из предыдущего равенства, получим
,
т.е. линейная скорость точки прямо пропорциональна радиусу и угловой скорости
. (1.6)
Выясним соотношение между и . Нормальное ускорение точек прямо пропорционально квадрату линейной скорости и обратно пропорционально радиусу
. (1.7)
Подставляя в уравнение (1.7) уравнение (1.6), получим следующее выражение для нормального ускорения: .
Модуль тангенциального ускорения равен модулю первой производной от линейной скорости
. (1.8)
Подставляя (1.6) в уравнение (1.8) найдем, что
.
Но так как , то . Для нахождения соотношения между векторами и сделаем чертеж (рис.1.10). Пусть тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью . Выберем точку О на оси и проведем радиус-вектор из этой точки к точке С. Из треугольника ОАС видно, что . Умножим обе части равенства на и получим cледующее выражение: .
Так как - модуль скорости, - модуль векторного произведения , то
.
Откуда следует, что вектор скорости равен векторному произведению вектора угловой скорости на радиус-вектор :
. (1.9)
Формуле (1.9) можно придать иной вид. Для этого представим
z
A
C
O
Рис.1.10
|
радиус-вектор в виде суммы двух составляющих и умножим это равенство векторно на : . Векторы и - колли-неарны, т.е. , поэтому их векторное произведение равно 0. Следовательно, можно записать, что |
. (1.10)
Выведем соотношение для тангенциального и углового ускорения. По определению тангенциальное ускорение есть первая производная от вектора скорости по времени (1.8). Подставляя (1.10) в (1.8), получим
,
т. е. .