612

Рис. 6

Первый участок: 0 x 2.

Q = –P – gx = –20 – 20x (прямая);

M = –Px – gx2 = –20x – 20x2 (квадратная парабола).

При х = 0 Q = –20 кН; M = 0;

при x = 2 Q = –60кН; М = –80 кН∙м.

Второй участок: 2 х 10.

ратная парабола).

При х = 2 Q = 88 кН; М = –80 кН∙м; при х = 10 Q = –72 кН,

М = –16 кН∙м. Максимальное значение М будет в сечении, где

Q = 0.

Q = 0 = –20x + 128 = 0,отсюда x = 6,4 м; М = 144 кН.

Третий участок: 0 х 2.

Q = –B = –72 КН, const (не зависит от х);

М = Вх = 12х (прямая).

При х = 0 М = 0; при х = 2 М = 144 кН∙м.

Изусловияпрочностиопределимнеобходимыймомент сопротивления сечения:

12

Из таблицы сортамента выбираем подходящий двутавр № 36,

имеющий А = 61,9 см2; Ix = 13380 см4; Wx = 743 см3; Sx = 423 см3; S = 7,5 мм.

Найдем фактическое наибольшее напряжение в крайних волокнах:

< R.

Сделаем проверку по касательным напряжениям:

Задача 4. Составление уравнений движения точки и определение ее скорости и ускорения

Постановка задачи. Для плоского механизма (рис. 7) в заданный момент времени определить скорость и ускорение выбранной точки. Сделать проверку.

Пример решения задачи. Схема механизма и неподвижная система координат заданы на рис. 8. Радиус неподвижного колеса R = 100 см; радиус подвижного колеса r = 20 см; закон

13

Рис. 7

14

изменения угла поворота подвижного колеса = (t) = t. Подвижное колесо катится без проскальзывания, и длины дуг OPи MPравны.Требуетсясоставить уравнениядвиженияточки M, найти траекторию, скорость, ускорение точки и радиус кривизны для положения ее в заданный момент времени t =

= t1 = 1/3 с.

Рис. 8. Исходная схема механизма — а и векторная диаграмма — б

Дано: R = 100 см; r = 20 см; = t; t1 = 1/3 с.

Определить: x = x(t); y = y(t); F(x, y); v; a; .

Решение. Строим векторную диаграмму. Проводим радиусвектор r из начала координат к рассматриваемой точке. Строим векторный многоугольник, замыкающийся на искомый радиусвектор так, чтобы сумма векторов с известными направлениями и модулями давала радиус-вектор:

r rOO1 rO1C rCM.

Проекции векторного равенства на координатные оси дают выражения для координат рассматриваемой точки:

x(R r)sin r sin( );

yR (R r)cos r cos( ).

Величина угла определяется из условия равенства длин дуг

OP и MP:

15

Или, с подстановкой заданных числовых значений:

x120sin(0,2 t) 20sin(1,2 t);

y100 120 cos(0,2 t) 20cos(1,2 t).

Эти уравнения являются параметрическими уравнениями траектории точки — эпициклоиды.

Проекции скорости точки на оси координат:

vx x 24 cos(0,2 t) 24 cos(1,2 t);

vy y 24 sin(0,2 t) 24 sin(1,2 t).

Проекции ускорения точки на оси координат:

ax x 4,8 2 sin(0,2 t) 28,8 2 sin(1,2 t); ay y 4,8 2 cos(0,2 t) 28,8 2 cos(1,2 t).

Для заданного значениявремениt= t1 получаются следующие значения проекций скорости и ускорений:

vx = 50,4 см/с; vy = 56,0 см/с; ax = 260 см/с2; ay = 41,5 см/с2.

Модули скорости, см/c, и ускорения, см/с2: v vx2 vy2 50,42 562 75,4;

a ax2 ay2 2602 41,52 264.

Касательное ускорение

Нормальное ускорение

an a2 a2 2632 2052 166 см/с2 .

16

Радиус кривизны

v2 75,42 34,3 см. an 166

Для проверки правильности полученного решения просчита-

ем несколько (например, пять) точек траектории в малой окрестности заданного положения точки с некоторым равным шагом и построим локальный участок траектории. По вычисленным значениям проекций скоростей и ускорений построимвекторыскоростииускорения (рис. 9). Построение графически подтверждает правильность вычислений.

Полученныерезультатысводим Рис. 9. Компоненты скорости и

в таблицу.

ускорения точки

Задача 5. Динамика точки

Постановка задачи. Груз D массой т, получив в точке А начальную скорость v0, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости.

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действует постоянная сила Q (ее направление показано на рис. 10) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости v груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения(коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в табл. 6.

Считаягрузматериальнойточкойизная расстояниеAB=lили время t1 движении груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. x = f(t).

17

Пример решения задачи. На вертикальном участке АВ трубы (рис. 11) на груз D массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R; движение от точки А, где v = v0, до точки В длится t1, с. На наклонном участке ВС на груз действует сила трения (коэффициент трения груза о трубу

равен f) и переменная сила F = f(t), заданная в ньютонах. Дано: m = 8 кг; R = v2, где

= 0,2 кг/м; v0 = 0; t1 = 2 с; f = 0,2; Fx = = sin(4t); = 30°. Определить: x = x(t) —

закон движения груза на участке ВС. Решение. Рассмотрим движение грузана

участке AB, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы

Далее, находим Pz = P = mg, Rz = –R = v2; подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учитывая, что vz = v, получим:

19

(n = 20 м/с), где при подсчете принято g 10 м/с2. Тогда, разделяя в уравнении переменные и взяв затем от обеих частей равенства интегралы, получим:

По начальным условиям при t = 0 v = v0 = 0, что дает

1

C1 2n ln1 0.

Введя еще одно обозначение k n 0,5 с–1, получим: m

и n v e2kt. n v

Отсюда находим, что

v n e2kt 1.

e2kt 1

Полагая здесь t = t1 = 2 c и заменяя n и k их значениями, определим скорость груза в точке B:

e2 1

vв 20 e2 1 15,2 м/с.

Рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скоростьvв будетнаэтомучасткеначальнойскоростью.Изображаем груз в произвольный момент времени и действующие на него

силы P mg; N; Fтр и F. Проведем из точки В оси x и y и составим дифференциальное уравнение движения груза впроекции на ось x:

m dvx Px Nx Fтрx Fx; dt

m dvx mgsin Fтр Fx, dt

где Fтр = fN. Для определения N составим уравнение в проекции

20