612
.pdf
на ось y. Так как ay = 0, получим 0 = N – mgcos , откуда N = mgcos .Следовательно,Fтр =fmgcos ;крометого,Fx = 16sin4t. Уравнение примет вид:
m dvx mg(sin f cos ) 16sin(4t). dt
Разделив обе части на m и проведя вычисления, получим
dvx 3,2 2sin(4t). dt
Умножая обе части уравнения на dt и интегрируя, найдем
vx 3,2t 1 cos(4t) C2. 2
Будем отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = 0 v = vв = = 15,2 м/с. Подставив значения в уравнение, получим
C2 = v2 + 0,5cos0 = 15,2 + 0,5 = 15,7.
Таким образом:
vx dx 3,2t 0,5cos(4t) 15,7. dt
Умножая обе части на dt и интегрируя второй раз, получим x = 1,3 t2 – 0,13sin(4t) + 15,7 + С3.
Так как приt=0 x=0, тоС3=0,иокончательноискомыйзакон движения груза будет
x = 1,6t2 + 15,7t – 0,13sin(4t),
где x — в метрах, t — в секундах.
Задача 6. Теорема об изменении кинетической энергии
Постановка задачи. Механическая система состоит из грузов и валов, массы и размеры которых приведены в табл. 7. Для ступенчатого блока приведен радиус инерции , не ступенчатые блоки считать сплошными однородными. Коэффициент трения грузовоплоскостьf=0,1.Теласистемысоединены другсдругом невесомыми нитями, параллельными соответствующим плоскостям(рис.12).ОпределитьскоростьтелаАвтотмоментвремени, когдаегоперемещение станет равным0,2 м. Вначальный момент система находилась в покое.
21
1) |
|
2) |
|
0,2mA |
mD |
|
0,2mA mD |
|
|
|
|
3) |
|
4) |
|
|
0,2mA mD |
|
0,2mA mD |
|
0,1mA mС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
6) |
|
0,2mA 2mE mD |
|
|
|
|
|
|
|
7) |
|
8) |
|
|
|
|
0,2mA mD |
|
|
|
|
9) |
|
10) |
|
0б2mA 2mE |
mD |
0,2mA |
mD |
|
|
||
Рис. 12
22
|
|
|
|
|
|
Таблица 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
mA, кг |
mB, кг |
mC, кг |
RD, RB, м |
rD, rB, м |
D, B, м |
|
условия |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
0 |
8 |
2 |
3 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
|
1 |
10 |
3 |
3 |
0,2 |
0,1 |
0,15 |
|
2 |
12 |
3 |
2 |
0,4 |
0,1 |
0,25 |
|
3 |
12 |
4 |
1 |
0,4 |
0,15 |
0,3 |
|
4 |
8 |
3 |
2 |
0,5 |
0,2 |
0,35 |
|
5 |
9 |
2 |
4 |
0,5 |
0,25 |
0,4 |
|
6 |
7 |
1 |
3 |
0,4 |
0,1 |
0,25 |
|
7 |
4 |
4 |
1 |
0,4 |
0,15 |
0,3 |
|
8 |
5 |
2 |
2 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
|
9 |
14 |
3 |
1 |
0,3 |
0,2 |
0,25 |
Пример решения задачи. Механическая система, изображенная на рис. 13, приводится в движение грузом 1. Определить его скорость после того, как он переместится на 0,2 м.
2 |
Дано: m1 = 8 кг; m2 = 2 кг; m3 = 3 кг; R2 = 0,3 м; r2 = 0,1 м; |
|
= 0,2 м. |
N2 |
|
|
Vv22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
|
|
|
V1 |
|
N3 |
vV2 |
|
Fтр |
N1 |
|
2 |
|
|
|
|
Vv3 |
|
|
v1V1 |
|
|
|
|
P1 60 |
|
3 |
Fтр |
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
30 P3 |
|
|
|
Рис. 13
Решение. Для определения скорости воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:
T T0 Ake Aki.
Определяем Т0 и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т0 = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:
Т = Т1 + Т2 + Т3.
Учитывая, что тело 1 движется поступательно, тело 2 — вращательно, а тело 3 плоскопараллельно, получим:
23
T |
m1v12 |
; |
T |
I2 22 |
; |
T |
m3v33 |
|
Ic3 32 |
. |
1 |
2 |
|
2 |
2 |
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую величину v1:
|
|
|
|
|
|
v1 |
; |
|
v R v |
R2 |
; |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
r |
|
2 |
2 2 |
1 |
r |
|
|
|||
|
|
|
v2 |
2 |
|
R2 |
|
|
|
|
2 |
|
R2 |
|
|||
|
|
|
|
v |
|
; |
v R v |
. |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2R |
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
|
1 |
2R r |
3 |
3 3 |
|
1 2r |
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
При записи выражений учитывалось, что мгновенный центр скоростей тела 3 в точке К. Моменты инерции, входящие в выражения, имеют значения:
|
|
|
|
|
|
|
|
m R2 |
|
|
|
|
||
I m 2 |
; |
|
I |
|
|
3 3 |
. |
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
c |
|
2 |
|
|
|
|
||
Окончательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
v1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
R2 |
|
|
T T3 T3 T3 |
|
16 |
|
|
8m1 8m2 r2 |
|
3m3 |
r2 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
Теперь найдем сумму работ всех сил:
A(P1) = P1S1sin60°; A(Fmp1) = –fN1S1 = –fP1S1cos60°;
A(P3) P3S3 sin 30 R2 P3S1 sin30 . 2r2
Сумма работ внутренних сил Aki |
0, поэтому приходим к |
||||||||||||
равенству: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
v1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
R2 |
|
|
||||
16 |
8m1 |
8m2 |
r2 |
3m3 r2 |
|
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|||
S1 P1(sin60 f cos60 ) P3 |
|
sin30 . |
|||||||||||
2r2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из последнего равенства, подставиввнего числовые значения заданных величин, найдем искомую скорость первого тела.
v1 = 1,10 м/с.
24
Приложение A
Сталь горячекатаная. Швеллеры. Сортамент (ГОСТ 8240–89). Швеллеры с параллельными гранями полок
h — высота;
b — ширина полки; s — толщина стенки; t — толщина полки;
R — радиус внутреннего закругления; r — радиус закругления полки;
J — момент инерции;
W — момент сопротивления; i — радиус инерции;
Sх — статический момент полусечения;
z0 — расстояние от оси у — у до наружной грани стенки
25
26
Приложение Б
Сталь горячекатаная. Балки двутавровые. Сортамент (ГОСТ 8239–89)
h — высота балки; b — ширина полки; s — толщина стенки;
t — средняя толщина полки;
R — радиус внутреннего закругления;
r — радиус закругления полки; J — момент инерции;
W — момент сопротивления; i — радиус инерции;
Sx — статический момент полусечения
Оглавление |
|
Введение ....................................................................................................... |
3 |
Задача 1. Равновесие плоской системы сил ....................................................... |
3 |
Задача 2. Определение реакций опор и усилий в стержнях плоской фермы ........ |
6 |
Задача 3. Плоский поперечный изгиб ............................................................. |
10 |
Задача 4. Составление уравнений движения точки и определение ее скорости и |
|
ускорения ............................................................................................... |
13 |
Задача 5. Динамика точки ............................................................................. |
17 |
Задача 6. Теорема об изменении кинетической энергии .................................... |
21 |
Приложение A. Сталь горячекатаная. Швеллеры. Сортамент (ГОСТ 8240–89). |
|
Швеллеры с параллельными гранями полок ............................................... |
25 |
Приложение Б. Сталь горячекатаная. Балки двутавровые. |
|
Сортамент (ГОСТ 8239–89) ..................................................................... |
26 |
Учебное издание
Зиновьев Владимир Борисович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Редактор И.В. Васильева
Компьютерная верстка Ю.В. Борцова
|
Изд. лиц. ЛР № 021277 от 06.04.98. |
|
|
|
Подписано в печать 18.05.10. |
|
|
1,75 печ. л. |
1,0 уч.-изд. л. |
Тираж 150 экз. |
Заказ № 2201 |
Издательство Сибирского государственного университета путей сообщения 630049, Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191
Тел./факс: (383) 328-03-81. Е-mail: press@stu.ru