Конспект_лекций_по_дисциплине

= 7штук. Получаем на выходе вполне конкретное слово, не кучку из букв, которую дальше можно еще как-то по-разному упорядочить, а вполне конкретное слово, например, лягушка или гуляшка.

С точки зрения первого способа выбора, лягушка и гуляшка – суть одно и то же, это одна и та же кучка букв, но с точки зрения второго варианта выбора, лягушка и гуляшка – это разные вещи, это разные слова.

Заметим, что вытащенные буквы (все разные, т.е. не повторяются ( в коробке лежали карточки и вcе с разными буквами).

Формализуем описанное действие.

Упорядоченное k-элементное подмножество множества М из n,

различных элементов называется размещением из n по k (без повторений).

Количество таких размещении обозначается и вычисляется по формуле:

Выборки с повторением

Представьте себе теперь, что у вас в коробке лежит не 33 карточки, на

каждой из которых написана своя отдельная буква русского алфавита, а множество карточек на которых написана буква «а»;бесчисленное множество карточек, на которых написана буква «б» и т.д. Такая волшебная коробка, которая содержит бесчисленное множество карточек.

3. Поэтому возникает третий вариант – Сочетание с повторением.

Вытаскиваем пригоршней (одновременно ) из волшебной коробки

карточки с бесконечым множеством букв каждого вида.

Характерная особенность этого вида комбинаций состоит в том, что выборка проводится из нескольких групп, каждая из которых состоит из одинаковых объектов.

4. Четвертый вариант-Размещение с повторением.

Последовательно, друг за другом извлекаем k букв из волшебной коробки коробки.

Каждое размещение с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из различных элементов, но из k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов, взятых из данных n элементов.

Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями.

Обозначение и формула для вычислений:

Ak = nk

n

5. Четвертый вариант –Перестановки без повторений

Рассмотрим варианты выборки, когда из коробки (совокупости объектов) выбераются все объекты, все карточки,а их 33. Такой способ выборки называется перестановками. В этом сдучае мы задаемся вопросом сколькими спорсабами мы можем составить совокупности из 33 карточек.

Перестановками из n элементов называются комбинации (выборки), состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из n элементов обозначается и вычисляется следующим образом:

перестановок с повторениями, обозначается и вычисляется по формуле

7. Основные правила комбинаторики

Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил - правила суммы и правила произведения.

Правило суммы. Если некоторый объект А можно выбрать n способами, а другой объект B можно выбрать m способами, то выбор "либо A, либо B" можно осуществить n+m способами.

Правило произведения. Если объект A можно выбрать n способами, а после каждого такого выбора другой объект m можно выбрать (независимо от выбора объекта A m способами, то пары объектов и B можно выбрать m*n способами.

Приведем примеры на рассматриваемы определения различных видов выборки.

Пример1.

В группе 15 студентов. Сколькими способами можно избрать: а) студенческий совет в количестве трёх студентов; б) председателя, заместителя и секретаря студенческого совета? Решение.

а) В этом случае студенческий совет из трёх студентов, выбранных из 15 студентов группы, различается лишь составом. Порядок выбранных студентов не имеет значения. Поэтому количество возможных выборов определяется количеством сочетаний из 15 элементов по 3, которое согласно формуле равняется

б) В этом случае студенческий совет из трёх студентов, выбранных из 15 студентов группы, различается не только составом, но и тем, кто будет председателем, заместителем и секретарем. Порядок выбранных студентов имеет значение. Поэтому количество возможных выборов определяется количеством размещений из 15 элементов по 3, т.е. имеет место размещение из15 по 3

Пример 2

Согласно учебному плану студенты на протяжении семестра изучают 10 дисциплин. На каждый день планируются 4 пары по разным дисциплинам.

Сколькими способами можно составить расписание занятий на один

день?

Решение.

Все возможные расписания занятий на один день — это размещения из 10 элементов по 4, поскольку они могут различаться дисциплинами или порядком. Поэтому количество способов составления расписания на один день определяется по формуле так:

Пример 3

Сколько пятизначных чисел можно образовать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, если любая из них в числе встречается лишь один раз?

Решение.

Разные пятизначные числа, образованные с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, можно получить лишь перестановкой этих цифр в числе. Поэтому их количество определяется перестановкой из пяти элементов. Согласно формулы:

Пример 4

Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю – лёгкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?

Решение Рассматривается 7 дней и каждый из дней занят упражнениями

силовыми, атлетическими или отдыхом, т.е. имеются три группы :

С,С,С,С - А,А.. – О. Все элементы должны быть учтены, элементы повторяются, следовательно имеет место перестановки с повторением

Пример 5

В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков?

Решение.

Обратите внимание на типичный критерий сочетаний с повторениями – по условию на выбор предложено не множество объектов как таковое, а различные виды объектов и таких групп 3. Пирожки в каждой группе, разумеется, отличаются. Однако физические характеристики пирожков по смыслу задачи не существенны, и хот-доги / ватрушки / пончики в своих группах считаются одинаковыми.

Что может быть в выборке? Прежде всего, следует отметить, что в выборке обязательно будут одинаковые пирожки (т.к. выбираем 5 штук, а на выбор предложено 3 вида). Варианты тут на любой вкус: 5 хот-догов, 5 ватрушек, 5 пончиков, 3 хот-дога + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 + ватрушки + 2 пончика и т.д.

Как и при «обычных» сочетаниях, порядок выбора и размещение пирожков в выборке не имеет значения – просто выбрали 5 штук и всё.

Пример 6

Сколько существует четырёхзначных пин-кодов? Решение.

По условию нам предложен набор из n=10 цифр, из которого выбираются k=4 цифры и располагаются в определенном порядке, при этом цифры в выборке могут повторяться (т.е. любой цифрой исходного набора можно пользоваться произвольное количество раз).

По формуле количества размещений с повторениями:

данную задачу можно решить иначе, используя правила умножения и правил комбинаторики.

Рассуждаем так. Сколькими способами можно выбрать первую (любую) цифру из 10? Имеет место сочетание без повторения:

Пример 7

Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?

Решение.

Условие «выбрать двух человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

способами можно выбрать 2 юношей;

способами можно выбрать 2 девушек. Таким образом, двух человек одного пола (без разницы –

юношей или девушек) можно выбрать: способами.

Пример 8

В урне находится 8 чёрных и 5 белых шаров. Наугад вынимают 4 шара. Какая вероятность того, что вынули:

а) 4 чёрных шара; б) 2 чёрных и 2 белых шара? Решение.

а) Количество шаров в урне — 13.

Определим, сколькими способами можно получить 4 шара из 13 (без возвращения их в урну). Поскольку при этом не имеет значения порядок вынутых шаров, количество сочетаний определяем по формуле:. количество всех элементарных событий в данном испытании:

Итак, вероятность того, что вынули 4 чёрных шара,

P( A) = mn = 71570 = 0.098 .

б) В этой задаче количество всех возможных событий такое же, как и в предыдущем пункте: n = 715 поскольку вытаскиваем 4 шара.

Пусть событие B состоит в том, что вынуто 2 чёрных и 2 белых шара. Определим, сколькими способами это можно сделать.

Определим сколькими способами можно вынуть два черных шара, а затем 2 белых.

Два чёрных шара можно вынуть из восьми шаров, которые находятся в

Тогда 2 белых и 2 чёрных шара можно вынуть, а это есть благоприятствующее событиию В:

m = m1 ·m2 = 28·10 = 280 способами.

Поэтому количество событий, благоприятствующих событию B, m = 280.

Итак, вероятность события B:

Пример 9.

В группе 10 парней и 5девушек, среди которых выбирают двух студентов дляу частия в конференции.

Какаявероятность того, что: а) выберут двух парней; б) выберут парня и девушку? Решение.

Выбор двух студентов из 15 является сочетанием, количество сочетаний, значит общее количество исходов рассчитіваетсятак:

а) Пусть событие A = {выбрали двух парней}. Общее количество событий, которые благоприятствуют событию A, определяется количеством выборов двух парней из 10:

б) Пусть событие B ={выбрали парня и девушку}. Это возмож-но m = 10·5 = 50 способами.