Конспект_лекций_по_дисциплине

Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами п и р равна произведению npq.

Пример 7. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X—числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. По условию, n =10, р = 0,6. Очевидно, вероятность непоявления события

q =1—0,6 = 0,4.

Искомая дисперсия

D(X) = npq = 10 • 0,6• 0,4 = 2,4.

6.7 Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

(X)= D( X )

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность (X) совпадает с размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается в линейных метрах, то а (X) будет выражаться также в линейных метрах, a D (X)

— в квадратных метрах.

Пример 8. Случайная величина X задана законом распределения

Найти среднее квадратическое отклонение (X). Решение. Найдем математическое ожидание X:

М (Х) = 2*0,1 +3*0,4+10*0,5 = 6,4.

Найдем математическое ожидание X2:

М (Х2) = 22*0,1+32*0,4+102*0,5 = 54.

Найдем дисперсию:

D (X) = М (X2) — [М (X)]2 = 54 — 6,42 = 13,04.

Искомое среднее квадратическое отклонение

(X)= D( X ) = 13,04 3,61

Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин