Практические занятия ЗО
.pdf
11
Практическое занятие №2
ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМБИНАТОРНЫХ ФОРМУЛ.
Задача 13. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбраны 3 фрукта. Какова вероятность того, что все три фрукта – апельсины?
Решение. Элементарными исходами здесь являются выборки, включающие три фрукта. Т.к. порядок здесь безразличен, выборки являются неупорядоченными и бесповторными (фрукты не возвращаются), т.е. сочетаниями без повторений. Общее число элементарных исходов равно числу способов выбрать 3 элемента из 9 фруктов. Число благоприятных исходов будет равно числу способов выбора трех элементов (апельсинов) из имеющихся 5.
Р( А) = |
С |
|
С |
||
|
3
5 3
9
=5! 3! 6! = 0,12 9! 3! 2!
Задача 14. Каждый из 25 экзаменационных билетов содержит 2 вопроса, которые не повторяются. Студент может ответить на 45 вопросов. Какова вероятность, что взятый студентом билет содержит:
а) известные ему вопросы; б) неизвестные вопросы;
в) известный и неизвестный вопрос.
Решение. Общее число равновозможных исходов во всех случаях есть
сочетание без повторений
n=
2 |
|
50! |
|
49 50 |
|
С50 |
= |
48! 2! |
= |
2 |
=1225 |
|
|
|
|
а) m= |
|
2 |
|
= |
|
45! |
|
= |
44 45 |
= 990 |
|||||
С45 |
43! 2! |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) m= |
|
2 |
= |
|
5! |
= |
4 5 |
=10 |
|
|
|||||
С5 |
3! 2! |
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) ) m= |
|
|
1 |
|
1 |
= |
|
45! |
|
|
|
5! |
= |
||
С45 |
С5 |
44! 1! |
4! 1! |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P(A)= |
990 |
= 0,81 |
|
|
||
|
|
|
||||
|
1225 |
|
|
|
||
P(Б)= |
10 |
= 0,0082 |
|
|||
|
|
|||||
|
1225 |
|
|
|
||
45 5 |
= 225 |
P(A)= |
225 |
= 0,18 |
||
1 |
1225 |
|||||
|
|
|
|
|||
Задача 15. Подбрасывается 10 монет. Найти вероятность того, что: а) на всех монетах выпадет орёл;
б) орёл выпадет на половине монет.
Решение:
Вычислим общее количество исходов: 
способами могут упасть 10 монет.
Другой путь: 
способами может упасть 1-я монета и 
способами
может упасть 2-я монета и … и 
способами может упасть 10-я монета. По правилу умножения комбинаций, 10 монет могут
упасть 
способами.
12
а) Рассмотрим событие: 
– на всех монетах выпадет орёл. Данному событию благоприятствует единственный исход, по классическому определению
вероятности: 
.
б) Рассмотрим событие: 
– орёл выпадет на половине монет.
Существует 
уникальных комбинаций из пяти монет, на которых может выпасть орёл. По классическому определению
вероятности: 
Задача 16
Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на два из трёх вопросов?
Решение: итак, расклад таков: всего 60 вопросов, среди которых 25 «хороших» и, соответственно, 60 – 25 = 35 «плохих». Ситуация шаткая и не в пользу студента. Давайте узнаем, насколько хороши его шансы:
способами можно выбрать 3 вопроса из 60 (общее количество исходов).
Для того чтобы сдать экзамен, нужно ответить на 2 или 3 вопроса. Считаем благоприятствующие комбинации:
|
способами можно выбрать |
2 «хороших» |
|
вопроса иодин «плохой»; |
|
|
|
|
способами можно |
выбрать 3 |
«хороших» |
вопроса. |
|
|
|
По правилу |
сложения |
|
комбинаций: |
способами можно выбрать благоприятствующую для сдачи экзамена комбинацию 3 вопросов (без разницы с двумя или тремя «хорошими» вопросами).
По классическому определению:
– вероятность того, что студент сдаст экзамен.
Ответ: 
Задача 7 В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали.
Найти вероятность того, что:
13
а) они выйдут на разных этажах б) двое выйдут на одном этаже; в) все выйдут на одном этаже.
Следует отметить, что случайность здесь имеет место быть лишь с точки зрения стороннего наблюдателя (т.к. человек обычно едет на вполне определённый этаж).
Решение: вычислим общее количество исходов: 
способами может выйти из лифта 1-й пассажир и 
способами – 2-й пассажир и 
способами – третий пассажир. По правилу умножения
комбинаций: 
возможных исходов. То есть, каждый этаж выхода 1-го человека может комбинироваться с
каждым этажом выхода 2-го человека и с каждым этажом выхода 3-го человека.
Второй способ основан на размещениях с повторениями:
– кому как понятнее.
а) Рассмотрим событие: 
– пассажиры выйдут на разных этажах. Вычислим количество благоприятствующих исходов:
способами могут выйти 3 пассажира на разных этажах.
Рассуждения по формуле 
проведите самостоятельно. По классическому определению:
Теперь подумаем вот над какой вещью: пункт «бэ» достаточно сложен (см. Задачу 11 урока по комбинаторике), и значительная часть студентов, которые не в теме, просто не справится с этим пунктом. Но только не те, которые прочитают пару следующих абзацев!
в) Рассмотрим событие: 
– пассажиры выйдут на одном этаже. Данному событию благоприятствуют 
исходов и по классическому определению,
соответствующая вероятность: 
. Заходим с чёрного хода:
б) Рассмотрим событие: 
– два человека выйдут на одном этаже (и,
соответственно, третий – на другом).
События 
образуют полную группу (считаем, что в лифте никто
не уснёт и лифт не застрянет =)), а значит, 
.
В результате, искомая вероятность:
Таким образом, теорема о сложении вероятностей событий,
образующих полную группу, может быть не только удобной, но и стать самой настоящей палочкой-выручалочкой!
14
Ответ: 
15
Практическое занятие № 3,4 Теоремы сложения и умножения вероятностей
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.
Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой
Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),
где АВ – произведение событий А и В.
Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.
Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.
Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:
Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).
Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
Р (АВ) = Р(А) · Р(В).
16
Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)n
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СОВМЕСТНЫХ И НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ И УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ ЗАВИСИМЫХ И НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.
Пример. Суммой трех событий А+В+С может быть А; В; С; А+В; А+С; В+С; А+В+С.
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта должно произойти хотя бы одно из них (попадание и промах при стрельбе по цели).
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий (вероятность появления одного из двух несовместных событий) равна сумме вероятностей этих событий.
P( A + B) = P( A) + P(B)
Задача 1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Наугад вынуты две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы окажутся одноцветными?
Событие А={вынуты пуговицы одного цвета}можно представить в виде суммы А=А1+А2, где события А1, А2 означают выборку пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность достать две красные пуговицы равна Р(А1)=
2
С10 .
С125
|
2 |
Вероятность достать две синие пуговицы равна Р(А2)= |
С5 |
2 . |
|
|
С15 |
Поскольку события А1 и А2 не могут произойти одновременно, в силу теоремы сложения имеем
Р( А) = |
С120 |
+ С52 |
|
= 0,438 |
|
|
С125 |
|
17
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)
Задача 2. На стеллаже в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них по «Теории вероятностей». Студент наудачу берет три учебника. Найти вероятность, что хотя бы один из взятых учебников будет по «Теории вероятностей».
Требование F – хотя бы один из трех взятых учебников по «Теории вероятностей» – будет осуществлено, если произойдет любое из трех несовместных событий:
В – один учебник по «Теории вероятностей»; С – два учебника по «Теории вероятностей»; D – три учебника по «Теории вероятностей».
Р(А)=Р(В)+Р(С)+Р(D)
Р(А)=
1 |
2 |
2 |
1 |
3 |
0 |
|
|
С5 |
С10 |
+ С5 |
С10 |
+С5 |
С10 |
= |
67 |
|
|
|
3 |
|
|
91 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
С15 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Если события |
1 |
2 |
n |
образуют полную группу несовместных |
|
A |
, A |
,..., A |
|
событий, то сумма их вероятностей равна единице.
|
|
n |
i |
|
|
|
|
|
|
|
P( A ) = 1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
2 способ решения задачи |
|
|
|
Событие А – хотя бы один учебник по «Теории вероятностей» и событие |
|
|
|
|
|
|
А - не выбран ни один из учебников по «Теории вероятностей» - |
||
противоположны |
|
||
|
Р(А) =1− Р(А) |
|
|
Р(А)
Р( А) =
=1− Р(
3 |
|
|
|
|
|
С10 |
= |
24 |
|
|
|
3 |
91 |
|
|
||
|
|
|
|||
С15 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
А) =1− |
24 |
= |
67 |
||
|
|
||||
|
|
91 |
|
91 |
|
Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу. Событие А происходит только тогда, когда А не произошло и наоборот.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
P( A) + P( A) = 1
Задача 3
18
Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.
Решение: всего получено магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиков. В данной задаче удобнее воспользоваться «быстрым» способом
оформления без расписывания событий большими латинскими буквами. По классическому определению:
– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;
– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.
Бесконечных «хвостов» после запятой тут нет и не ожидается, поэтому можно работать с десятичными дробями – компактнее будет запись.
По теореме сложения несовместных событий:
– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.
Задача 4. Три человека задумывают любое число от 1 до 10. Найти вероятность того, что у кого – то из троих задуманные числа совпадут.
Решение:
Общее количество исходов n= А103 =103=1000 т.к. каждый человек выбирает
одно число из 10 возможных.
Подсчитаем число комбинаций задуманных чисел, в которых нет совпадений. Первый человек выбирает любое из 10 чисел, второй – любое из оставшихся 9, третий –любое из оставшихся 8. Поэтому общее число комбинаций задуманных чисел, в которых нет совпадений m=m1*m2*m3=10*9*8=720
Вероятность события |
А , что совпадений не будет 0,72 |
Вероятность события |
А (наличие хотя бы одного совпадения): |
Р(А)=1-0,72=0,28 |
|
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.
PA (B) = P(B / A) = P(AB) / P(A)
Задача 5
19
В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.
Решение: вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:
– из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 3-го ящика извлечена стандартная деталь. По классическому определению:
– соответствующие вероятности. Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная
деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается
произведением 
.
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что из трёх ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.
Ответ: 0,504
Задача 6
Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:
а) оба датчика откажут; б) оба датчика сработают.
в) Пользуясь теоремой сложения вероятностей событий, образующих полную группу, найти вероятность того, что при пожаре сработает только один датчик. Проверить результат прямым вычислением этой вероятности (с помощью теорем сложения и умножения).
Здесь независимость работы устройств непосредственно прописана в условии, что, кстати, является важным уточнением. Образец решения оформлен в академичном стиле.
Решение: рассмотрим следующие события: 
– при возгорании сработает 1-й датчик; 
– при возгорании сработает 2-й датчик.
По условию: 
20
Вычислим вероятности противоположных событий:
а) Рассмотрим событие: 
– при пожаре оба датчика откажут. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
б) Рассмотрим событие: – при пожаре оба датчика сработают. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
в) Рассмотрим событие: 
– при пожаре сработает только один датчик. События 
образуют полную группу, следовательно:
Проверим результат с помощью прямого вычисления. Событие 
состоит в 2 несовместных исходах: 1-й датчик сработает и 2-й откажет или 1-й откажет и 2-
й сработает. Таким образом: 
.
По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:
Задача 7
Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7, из второго – 0,6, из третьего – 0,8. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) цель будет поражена не менее двух раз.
Решение: по условию 
– вероятности попадания в цель из соответствующих орудий. Тогда соответствующие вероятности промаха:
1) По теореме умножения вероятностей независимых событий: 
– вероятность того, что будет три промаха.
Тогда: 
– вероятность того, что хотя бы один снаряд попадет в цель.
2) Событие «только два снаряда попадут в цель» состоит в трёх несовместных исходах:
попадание из 1-го и 2-го орудий и промах из 3-го или попадание из 1-го и промах из 2-го и попадание из 3-го орудия или промах из 1-го и попадание из 2-го и 3-го орудий.
По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий: