Практические занятия ЗО
.pdf21
– вероятность того, что только два снаряда попадут в цель.
3) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что все три снаряда попадут в цель.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что цель будет поражена не менее двух раз
Ответ: 
22
Условная вероятность
Пример 1. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?
Решение. Пусть А - событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В - маршрута №2.
Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей
задачи): 
. Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.
Так как все эти события совместны, то:
;
;
отсюда искомая вероятность
Пример 2. В конверте находится 10 лотерейных билетов, среди которых 3 выигрышных. Из конверта последовательно извлекаются билеты. Найти вероятности того, что:
а) 2-й извлечённый билет будет выигрышным, если 1-й был выигрышным; б) 3-й будет выигрышным, если предыдущие два билета были выигрышными; в) 4-й будет выигрышным, если предыдущие билеты были выигрышными.
Решение: рассмотрим события: 
– при 1-й, 2-й, 3-й и 4-й попытках соответственно будет извлечён выигрышный билет.
а) Пусть событие 
состоялось. Тогда в конверте осталось 9 билетов, среди которых 2 выигрышных. По классическому определению:
– вероятность того, что 2-й выбранный билет будет выигрышным при условии, что до этого извлечён выигрышный билет.
б) Если произошли события 
, то в конверте осталось 8 билетов, среди которых 1 выигрышный. По классическому определению:
–
23
вероятность того, что 3-й выбранный билет будет выигрышным при условии, что до этого было извлечено два выигрышных билета.
в) Если произошли события 
, то в конверте не осталось
выигрышных билетов. По классическому определению:
– вероятность того, что 4-й выбранный билет будет выигрышным при условии, что до этого были извлечены три выигрышных билета.
Пример 3. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны наудачу один за другим извлекают два шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что:
а) оба шара будут белыми; б) оба шара будут чёрными;
в) сначала будет извлечён белый шар, а затем – чёрный.
Обратите внимание на уточнение «не возвращая их обратно». Этот комментарий дополнительно подчёркивает тот факт, что события зависимы. Действительно, а вдруг извлечённые шары возвращают обратно? В случае возвратной выборки вероятности извлечения чёрного и белого шара меняться не будут, а в такой задаче уже следует руководствоваться теоремой умножения вероятностей НЕзависимых событий.
Решение: всего в урне: 4 + 7 = 11 шаров. Поехали:
а) Рассмотрим события 
– первый шар будет белым, 
– второй шар будет белым и найдём вероятность события 
, состоящего в том, что 1-й шар будет белым и 2-й белым.
По классическому определению вероятности: 
. Предположим, что белый шар извлечён, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых,
поэтому:
– вероятность извлечения белого шара во 2-м испытании при условии, что до этого был извлечён белый шар.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что оба шара будут белыми.
б) Найдём вероятность события 
, состоящего в том, что 1-й шар будет чёрным и 2-й чёрным
По классическому определению: 
– вероятность того, что в 1-м испытании будет извлечён чёрный шар. Пусть извлечён чёрный шар, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 6 чёрных,
следовательно: 
– вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен чёрный шар.
24
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что оба шара будут чёрными.
в) Найдём вероятность события 
(сначала будет извлечён белый шар и затем чёрный)
После извлечения белого шара (с вероятностью 
) в урне останется
10 шаров, среди которых 3 белых и 7 чёрных, таким образом: 
– вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен белый шар.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– искомая вероятность.
Ответ:
Пример 4. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд?
Решение: всего: 4 туза в колоде. Рассмотрим события 
– первой картой будет извлечён туз, 
– 2-й картой будет извлечён туз. По классическому
определению вероятности: 
. В случае осуществления события 
в
колоде останется 35 карт, среди которых 3 туза, поэтому: 
– вероятность того, что 2-й картой будет извлечён туз, при условии, что до этого был извлечен туз.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд.
Ответ: 
Пример 5
В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара. Найти вероятность того, что
а) третий шар окажется белым, если до этого был извлечён черный и красный шар;
б) первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.
25
Решение: всего: 6 + 5 + 4 = 15 шаров в урне. Рассмотрим следующие события:
– 1-й шар будет черным;
– 2-й шар будет красным;
– 3-й шар будет белым.
а) По условию, события 
и 
уже произошли, а значит, в урне осталось 13 шаров, среди которых 4 белых. По
классическому определению: 
– вероятность того, что 3- й шар будет белым при условии, что до этого был извлечён черный и красный шар.
б) По классическому определению: 
. Предположим, что событие 
произошло, тогда в урне осталось 14 шаров, среди
которых 5 красных. По классическому определению: 
– вероятность того, что 2-й шар будет красным при условии, что 1-й был чёрным.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что первый шар окажется черным и второй – красным и третий – белым
Ответ: 
Пример 6
Из 20 экзаменационных билетов 3 содержат простые вопросы. Пять студентов по очереди берут билеты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется билет с простыми вопросами
Решение: рассмотрим события:
– хотя бы одному из пяти студентов достанется билет с простыми вопросами;
– всем пятерым достанутся непростые билеты.
Данные события являются противоположными, поэтому 
. По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
26
Таким образом: 
– искомая вероятность
Ответ: 
Пример 7
В первой урне содержится 12 шаров, из них 7 белых, во второй – 6 шаров, из них 3 белых. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают один шар, а затем из второй урны наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.
Решение: по условию, из первой урны во вторую наудачу перекладывают один шар, и, очевидно, он может быть как белым, так и не белым. В этой связи необходимо рассмотреть 2 несовместные гипотезы:
– из 1-й урны во 2-ю будет переложен белый шар;
– из 1-й урны во 2-ю будет переложен не белый шар.
Обозначим через 
зависимое событие – из 2-й урны будет извлечён белый шар.
Несовместные исходы удобно расписать по пунктам:
1)По классическому определению: 
– вероятность того, что из 1-
йурны во вторую будет переложен белый шар. Пусть
гипотеза 
осуществилась, тогда во второй урне стало 7 шаров, среди которых
теперь 4 белых шара. Таким образом: 
– вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда был переложен белый шар.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что во 2-ю урну будет переложен белый шар и после этого из 2-й урны будет извлечён белый шар.
2)По классическому определению: 
– вероятность того, что из 1-
йурны во вторую будет переложен не белый шар. Пусть
гипотеза 
осуществилась, тогда во второй урне стало 7 шаров, среди которых
по-прежнему 3 белых. Таким образом: 
– вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда был переложен не белый шар.
27
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю будет переложен не белый шар и после этого из 2-й урны будет извлечён белый шар.
Подводим итог. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что из 2-й урны будет извлечён белый шар.
Пример 8. Двадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся знает ответы только на 35 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса одного билета или на один вопрос одного билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.
Решение .В общей сложности имеется 40 вопросов (по 2 в каждом из 20 билетов). Вероятность того, что выпадает вопрос, на который ответ известен,
очевидно, равна
Для того, событий:
35 |
. |
|
40 |
||
|
чтобы сдать экзамен, требуется совершение одного из трех
1) Событие A – ответили на первый вопрос (вероятность |
35 |
) и ответили на |
|||||||
40 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
второй вопрос (вероятность |
34 |
). Т.к. после успешного ответа на первый вопрос |
|||||||
39 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
остается еще 39 вопросов, на 34 из которых ответы известны. |
|
|
|||||||
|
|
P( A) = |
35 |
|
34 |
= 0,7628 |
|
|
|
|
|
40 |
39 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) Событие В
второй – нет (вероятность
– на первый вопрос ответили (вероятность 3540 ), на
5 |
), на третий – ответили (вероятность |
34 |
). |
|
39 |
38 |
|||
|
|
P(B) = 3540 395 3438 = 0,1004
3) Событие С – на первый вопрос не ответили (вероятность
5 40
), на
второй – ответили (вероятность 3935 ), на третий – ответили (вероятность 3438 ).
28
P(C) = |
5 |
|
35 |
|
34 |
= 0,1004 |
|
40 |
39 |
38 |
|||||
|
|
|
|
Вероятность того, что при заданных условиях экзамен будет сдан
равна:
P = P( A) + P(B) + P(C) = 0,9636
29
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА (ФОРМУЛА ГИПОТЕЗ)
Задача 1. Трое преподавателей принимают экзамен в группе из 30 человек, при чем первый опрашивает 6 студентов, второй – 3, а третий – 21 студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся студентам разное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго только 10%, зато у третьего - 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.
Решение.
Н1, Н2, Н3 – гипотезы, состоящие в том, что слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменатору соответственно. По условию задачи
Р(Н1)=6/30=0,2; Р(Н2)=3/30=0,1; Р(Н3)=21/30=0,7.
Пусть событие А={ слабо подготовившийся студент сдал экзамен }. Тогда в силу условия задачи
Р(А\Н1)= 0,4; Р(А\Н2)= 0,1; Р(А\Н3)= 0,7.
По формуле полной вероятности получаем Р(А)= 0,2*0,4+0,1*0,1+0,7*0,7=0,58
Дополнительный вопрос. Известно, что студент сдавал экзамен, но получил оценку «неуд». Кому из трех преподавателей, вероятнее всего он отвечал.
Вероятность получить оценку «неуд» |
Р( А )=1-Р(А)=1- |
0,58=0,42 |
|
Р(Н1\ А )=
Р(Н2\ А )=
|
н1 |
Р( |
)Р( А |
|
Р( А) |
Р(н2)Р( А |
|
|
Р( А) |
\ |
) |
|
0,2 0,6 |
|
н1 |
= |
|
|
|
0,42 |
|
|
|
|
|
\ н2) |
= |
0,1 0,9 |
|
|
|
0,42 |
|
|
|
|
|
= 0,285 |
; |
|
|
= 0,214 |
; |
|
Р(Н3\
А
)=
Р(н )Р( А \ н ) 3 3
Р( А)
=
0,7 0,3 0,42
=
0,5
.
Вероятнее всего слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему преподавателю.
Задача 2 . Есть два одинаковых ящика. В первом 8 пар обуви 41-го размера и 6 пар 42-го размера; во втором – 10 пар 41-го и 4 пары 42-го размера. Достали пару 42-го размера. Найти вероятность того, что достали из первого ящика.
Решение. Событие А - достали пару 42-го размера. Гипотеза Н1
– доставали из первого ящика; гипотеза Н2 – доставали из второго ящика
6
Р(Н1\А)= 6 14 4 = 0,6 14 + 14
30
Задача 3. В белом ящике 12 красных и 6 зеленых шаров. В черном ящике – 15 красных и 10 зеленых шаров. Кидают кубик. Если выпадет количество очков кратное 3, то берут шар из белого ящика. Если выпадет другое количество очков, то берут шар из черного ящика. Какова вероятность взять красный шар.
Решение. Вероятность того, что будут брать шар из белого ящика Р(Б)=2/6=1/3 , т.к. общее число исходов – 6 различных цифр, число благоприятствующих исходов -2 (3 и 6).
Вероятность того, что будут брать шар из черного ящика Р(Ч)=1- Р(Б)=2/3
Вероятность достать красный шар при условии, что будут брать шар из белого ящика РБ(Кр)=12/18=2/3
Вероятность достать красный шар при условии, что будут брать шар из черного ящика РЧ(Кр)=15/25=3/5
Вероятность достать красный шар по формуле полной вероятности:
Р(Кр)= Р(Б)* РБ(Кр)+ Р(Ч)* РЧ(Кр)= 1/3* 2/3+ 2/3* 3/5=28/45
Задача 4. В больницу в среднем поступает 50% больных гриппом, 30% больных ангиной и 20% больных воспалением легких. Вероятность полного выздоровления от гриппа составляет 0,7, от ангины -0,8, от воспаления легких – 0,9. Выписан полностью вылечившийся больной. Какова вероятность того, что он болел гриппом.
Р( Н 1 |
|
) = |
|
0,5 0,7 |
|
= |
5 |
А |
|
|
|
|
|||
|
0,5 |
0,7 |
+ 0,3 0,8 |
+ 0,2 0,9 |
|
11 |
Задача 4. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.(полная веротность)
Решение. Вероятность того, что выстрелы производит первый,
второй или третий стрелок равна |
|
1 |
. |
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вероятности того, что один из стрелков, производящих |
|||||||||||||||||||
выстрелы, два раза попадает в цель, равны: |
|||||||||||||||||||
- для первого стрелка: |
p1 |
= 0,4 |
|
|
= 0,16; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
- для второго стрелка: |
p2 |
= 0,6 |
|
|
= 0,36; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
- для третьего стрелка: |
p2 |
= 0,82 = 0,64; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Искомая вероятность равна: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
p = |
1 |
p 2 |
+ |
1 |
p 2 |
+ |
1 |
p3 |
= |
1 |
(0,16 + 0,36 + 0,64) = |
29 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 |
1 |
3 |
2 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|||||
Задача 6. Среди студентов 4 курса 2/5 женатых. Среди неженатых студентов 1/2 младше 22 лет, а 2/3 женатых старше 22 лет. Найти вероятность того, что случайно отобранный студент этого курса: