Практическое занятие № 5 Решение задачи о назначениях с помощью Excel
Задача о назначениях является типичным примером оптимального принятия управленческих решений. Эта задача позволяет распределить объекты из некоторого множества по группе субъектов из другого множества и это распределение должно соответствовать оптимальности одного или нескольких итоговых показателей.
Постановка задачи. Пусть на предприятии имеется 4 разных грузовых автомобиля. Необходимо доставить разный товар в 4 разных района области. Общие затраты на перевозку каждого вида товара каждым автомобилем известны. Требуется так выбрать для каждого вида товара автомобиль так, чтобы суммарные затраты на перевозку были минимальными.
Исходные данные представлены на рис. 27.
Математическая модель задачи о назначениях имеет следующий вид.
1. Переменные
принимают
два значения:
(17)
2. Все переменные задачи – неотрицательные значения и целые числа:
(18)
Также, так как каждый автомобиль может выполнять доставку только одного груза и весь груз должен быть доставлен, переменные должны отвечать следующим ограничениям:
(19)
Это условие означает, что выбор вариантов доставки должен быть таким, чтобы в таблице, представляющей решение задачи, было по одной единице в каждой строке и в каждом столбце. Остальные элементы должны равняться нулю.
3. Целевая функция, направленная на минимум суммарных затрат:
(19)
Таким образом, алгоритм решения задачи о назначениях такой же, как у классической транспортной задачи (практическая работа №2).
Рассмотрим решение данной задачи.
На рис. 28 показано поле для решения задачи о назначениях.
В ячейки В15, С15, D15, Е15 заносится сумма по каждому соответствующему столбцу. В строки F11, F12, F13, F14 – сумма по каждой строке. Каждая из сумм приравнивается к единице (то есть - может быть выбрана только одна ячейка в строке и в столбце).
Целевая функция
рассчитывается как сумма произведений
:
«Поиск решения» производится следующим образом (рис. 30)
В меню «Параметры» «Поиска решения» необходимо установить «Линейная модель». Результаты расчетов приведены на рис. 32.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. В конкурсе на занятие пяти вакансий (В1, В2, В3, В4, В5) участвуют семь претендентов (П1, П2, П3, П4, П5, П6, П7). Известны результаты прохождения тестов каждого из претендентов на соответствие каждой вакансии:
Претенденты |
Вакансии |
||||
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
|
П1 |
7 |
5 |
7 |
6 |
7 |
П2 |
6 |
4 |
8 |
4 |
9 |
П3 |
8 |
6 |
4 |
3 |
8 |
П4 |
7 |
7 |
8 |
5 |
7 |
П5 |
5 |
9 |
7 |
9 |
5 |
П6 |
6 |
8 |
6 |
4 |
7 |
П7 |
7 |
7 |
8 |
6 |
4 |
Определить, какого претендента на какую вакансию следует принять, причем так, чтобы сумма баллов всех претендентов оказалась максимальной.
Задача 2. Цеху металлообработки нужно выполнить срочный заказ напроизводство деталей. Каждая деталь обрабатывается на 4-х станках С1, С2, С3 и С4. На каждом станке может работать любой из четырех рабочих Р1, Р2, Р3, Р4, однако, каждый из них имеет на каждом станке различный процент брака. Из документации ОТК имеются данные о проценте брака каждого рабочего на каждом станке:
Рабочие |
Станки |
|||
С1 |
С2 |
С3 |
С4 |
|
Р1 |
2,3 |
1,9 |
2,2 |
2,7 |
Р2 |
1,8 |
2 |
2 |
1,8 |
Р3 |
2,5 |
2,2 |
2,2 |
3 |
Р4 |
2 |
2,4 |
2,4 |
2,8 |
Необходимо так распределить рабочих по станкам, чтобы суммарный процент брака (который равен сумме процентов брака всех 4-х рабочих) был минимален.