из электронной библиотеки / 520820910343900.pdf

Двоичная система счисления.

В настоящий момент – наиболее употребительная в информатике, вычислительной технике и смежных отраслях система счисления. Использует две цифры – 0 и 1, а также символы + и – для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной части.

Восьмеричная система счисления. Использует восемь цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и 7, а также символы + и – для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Широко использовалась в программировании в 1950-70-ые гг. К настоящему времени практически полностью вытеснена шестнадцатеричной системой счисления, однако функции перевода числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно сохраняются в микрокалькуляторах и многих языках программирования.

Удобство восьмеричной системы счисления заключается в том, что переход от восьмеричной к двоичной очень прост: достаточно каждую восьмеричную цифру заменить ее двоичным представлением (двоичной триадой) в соответствии с приведенной ниже таблицей.

Например, 5028 = 101 000 0102

Достаточно прост и обратный переход от двоичной СС к восьмеричной. Для этого в двоичной записи числа нужно выделить триады (влево и вправо от десятичной точки) и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой. В случае необходимости неполные триады дополняются нулями.

Например, 1 111 1102 = 001 111 1102 = 1768

Десятичная система счисления. Использует десять обычных цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы + и – для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа.

Шестнадцатеричная система счисления. Использует шестнадцать цифр – 0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8 и 9 в их обычном смысле, а затем B=11 ,C=12, D=13, E=14, F=15 . Также использует символы + и – для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров.

Переход от шестнадцатиричной к двоичной так же прост, как от восьмеричной к двоичной. Только на этот раз каждую шестнадцатеричную цифру нужно заменить соответствующей двоичной тетрадой.

Основные системы счисления

000

001

010

61

Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:

1)если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

2)если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю.

Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

Пример: Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а)

464(10); б) 380,1875(10);

62

а) 464(10) = 111010000(2); б) 380,1875(10) = 101111100,0011(2);

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 23). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы.

Пример: Переведем из двоичной системы в шестнадцатеричную число

1111010101,11(2).

0011 1101 0101,1100(2) = 3D5,C(16).

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

Пример: Перевести данное число в десятичную систему счисления.

а) 1000001(2).

1000001(2)=1× 26+0× 25+0× 24+0× 23+0× 22+ 0× 21+1× 20 = 64+1=65(10).

Замечание. Очевидно, что если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.

б) 1000011111,0101(2).

1000011111,0101(2)=1×29 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 1×21 + 1×20 + 1×2-2 + 1×2-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125(10).

в) 1216(8).

1216,04(8)=1×83+2×82+1×81+6×80 = 512+128+8+6

г) 29A5(16).

29A5(16) = 2×162+9×161+10×160 = 512+144+10.

Тема 2.2. Кодирование информации. Представление информации в компьютере

Понятие кодирования

Кодирование информации - процесс представления информации в виде кода.

В более узком смысле под термином «кодирование» часто понимают переход от одной формы представления информации к другой, более удобной для хранения, передачи или обработки.

Компьютер может обрабатывать только информацию, представленную в числовой форме. Вся другая информация (например, звуки, изображения, показания приборов и т. д.) для обработки на компьютере должна быть преобразована в числовую форму.

Например, при вводе в компьютер каждая буква кодируется определенным числом, а при выводе на внешние устройства (экран или печать) для восприятия человеком по

63

этим числам строятся изображения букв. Соответствие между набором букв и числами называется кодировкой символов.

Код - набор условных обозначений для представления информации. Для представления информации могут использоваться разные коды и,

соответственно, надо знать определенные правила - законы записи этих кодов, т.е. уметь кодировать.

Составляя информационную модель объекта или явления, мы должны договориться о том, как понимать те или иные обозначения. То есть договориться о виде представления информации.

Кодировать информацию можно различными способами: устно, письменно, жестами или сигналами любой другой природы.

Представление числовой информации в компьютере Существуют два основных формата представления чисел в памяти компьютера.

Один из них используется для кодирования целых чисел, второй (так называемое представление числа в формате с плавающей точкой) используется для задания некоторого подмножества действительных чисел.

Целые числа без знака

Обычно занимают в памяти компьютера один или два байта. В однобайтовом формате принимают значения в двоичной системе счисления от 000000002 до 111111112, что эквивалентно в десятичной системе счисления от 0 до 255.

В двубайтовом формате — от 00000000 000000002 до 11111111 111111112, от 0

до 65535.

Пример.

Получить внутреннее представление целого числа 1607 в 2-х байтовой ячейке. Переведем число в двоичную систему: 160710 = 110010001112. Внутреннее

представление этого числа в ячейке будет следующим: 0000 0110 0100 0111. число 7210 = 10010002 в однобайтовом формате:

это же число в двубайтовом формате:

число 65535 в двубайтовом формате:

Целые числа со знаком

Обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа.

Диапазон значений целых чисел со знаком в однобайтовом формате от –128 до 127, в двухбайтовом формате от –32768 до 32767.

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины

– семь разрядов.

Для записи внутреннего представления целого отрицательного числа (-N) необходимо:

1)получить внутреннее представление положительного числа N;

2)построить обратный код этого числа заменой 0 на 1 и 1 на 0;

3)полученному числу прибавить 1.

Пример.

Получим внутреннее представление целого отрицательного числа -1607. Воспользуемся результатом предыдущего примера и запишем внутреннее представление

64

положительного числа 1607: 0000 0110 0100 0111. Инвертированием получим обратный код: 1111 1001 1011 1000. Добавим единицу: 1111 1001 1011 1001 - это и есть внутреннее двоичное представление числа -1607.

Числа с плавающей точкой

Любое действительное число можно записать в стандартном виде M*10p, где

1<=M<10, p - целое.

Например, 120100000=1,201*108 . Поскольку каждая позиция десятичного числа отличается от соседней на степень числа 10, умножение на 10 эквивалентно сдвигу десятичной запятой на одну позицию вправо. Аналогично деление на 10 сдвигает десятичную запятую на позицию влево. Поэтому приведенный выше пример можно продолжить: 120100000=1,201*108 = 0,1201*109 = 12,01*107 ... Десятичная запятая "плавает" в числе и больше не помечает абсолютное место между целой и дробной частями.

В приведенной выше записи М называют мантиссой числа, а р - его порядком.

Чаще всего в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в таком представлении должна удовлетворять условию: 1 <=М < 2.

Алгоритм для получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:

1.Перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;

2.Нормализовать двоичное число, т.е. записать в виде М*2р , где М - мантисса (ее целая часть равна 1(2) и р - порядок, записанный в десятичной системе счисления;

3.Прибавить к порядку смещение и перевести смещенный порядок в двоичную систему счисления (Значение порядка для упрощения вычислений и сравнения действительных чисел хранится в виде смещенного числа, т.е. к настоящему значению порядка перед записью его в память прибавляется смещение. Смещение выбирается так, чтобы минимальному значению порядка соответствовал 0);

4.Учитывая знак заданного числа (0 - положительное; 1 - отрицательное), выписать его представление в памяти ЭВМ.

Пример.

Запишем код числа -312,3125.

1.Двоичная запись |-312,3125| = 312,3125 = 100111000,0101.

2.Имеем 100111000,0101=1,001110000101*28 .

3.Получаем смещенный порядок 8 + 1023 = 1031. Далее имеем 103110 = 100000001112

4.Окончательно

Тема 2. Логические основы ПК

Историческая справка о возникновении алгебры логики Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают,

вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний.

Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

65

Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым, или элементарным.

При изучении логики высказываний предполагается, что все простые высказывания, входящие в рассмотрение, обладают одним из двух свойств– являются истинными либо ложными. Математические утверждения обладают этим свойством, и так как до сих пор математическая логика изучала в первую очередь логику математических доказательств, то такая абстракция особенно оправданна.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не”, “и”, “или”, “если... , то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными.

Над высказываниями можно выполнять следующие логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

Определение логической формулы:

Всякая логическая переменная и символы “истина” (“1”) и “ложь” (“0”) — формулы.

Если А и В — формулы, то , (А • В), (А v В), (А ® B), (А « В) — формулы. Никаких других формул в алгебре логики нет.

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: “1” и “0”.

Из этого следует два вывода:

одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных;

на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

Данные и команды представляются в виде двоичных последовательностей различной структуры и длины.

Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации, но чаще всего единица кодируется более высоким уровнем напряжения, чем ноль (или наоборот), например:

Логический элемент компьютера — это часть электронной логичеcкой схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и другие (называемые также вентилями), а также триггер.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.

66

Чтобы представить два логических состояния — “1” и “0” в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт.

Высокий уровень обычно соответствует значению “истина” (“1”), а низкий — значению “ложь” (“0”).

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

1.Инверсия (отрицание). Операция отрицания высказывания х обозначается х и читается «не х» или «неверно, что х».

2.Операция конъюнкции (логическое умножение) высказываний х и у обозначается символом (), а выражение х у читается «х и у». Высказывания х и у называются членами конъюнкции.

Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания, далеких друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматриваются конъюнкции любых двух высказываний.

Из определения операции конъюнкции и отрицания ясно, что высказывание х АХ всегда ложно.

3.Операция дизъюнкции высказываний х и у обозначается символом v, а выражение х v у читается как «х или у». Высказывания х и у называются членами дизъюнкции.

В повседневной речи союз «или» употребляется в различном смысле: исключающем и не исключающем. В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.

Из определения операции дизъюнкции и отрицания ясно, что высказывание х v х всегда истинно.

Операция импликации высказываний х и у обозначается символом Э, а выражение х у читается как «если х, то у». Высказывание х называют условием, или посылкой,

67

высказывание у — следствием, или заключением, а высказывание х у — следованием, или импликацией.

Употребление слов «если..., то...» в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что если высказыванием ложно, то высказывание «Если х, то у» не имеет смысла. Кроме того, строя предложение «Если х, то у», мы всегда подразумеваем, что предложение у вытекает из предложения х. Употребление слов «если..., то...» в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл высказываний не рассматривается.

Операция эквивалентности высказываний х и у обозначается символом « -», а выражение х у читается «для того чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы у» или «х тогда и только тогда, когда у». Высказывания х и у называются членами эквивалентности.

В алгебре логики имеются законы, которые записываются в виде соотношений. Логические законы позволяют производить равносильные (эквивалентные) преобразования логических выражений. Преобразования называются равносильными, если истинные значения исходной и полученной после преобразования логической функции совпадают при любых значениях входящих в них логических переменных.

Для простоты записи приведем основные законы алгебры логики для двух логических переменных А и В. Эти законы распространяются и на другие логические переменные.

1.Закон противоречия:

2.Закон исключенного третьего:

3.Закон двойного отрицания:

4.Законы де Моргана:

5.Законы повторения: A & A = A; A v A = A; В & В = В; В v В = В.

6.Законы поглощения: A (A & B) = A; A & (A B) = A.

7.Законы исключения констант: A 1 = 1; A 0 = A; A & 1 = A; A & 0 = 0; B 1 = 1; B 0 = B; B & 1 = B; B & 0 = 0.

8.Законы склеивания:

68

9. Закон контрапозиции: (A B) = (B A).

Для логических переменных справедливы и общематематические законы. Для простоты записи приведем общематематические законы для трех логических переменных

A, В и С:

1.Коммутативный закон: A & B = B & A; A B = B A.

2.Ассоциативный закон: A & (B & C) = (A & B) & C; A (B C) = (A B) C.

3.Дистрибутивный закон: A & (B C) = (A & B) (A & C).

Как уже отмечалось, с помощью законов алгебры логики можно производить равносильные преобразования логических выражений с целью их упрощения. В алгебре логики на основе принятого соглашения установлены следующие правила (приоритеты) для выполнения логических операций: первыми выполняются операции в скобках, затем в следующем порядке: инверсия (отрицание), конъюнкция ( & ), дизъюнкция (v), импликация, эквиваленция

Выполним преобразование, например, логической функции

применив соответствующие законы алгебры логики.

Среди технических средств автоматизации значительное место занимают устройства релейно-контактного действия. Они широко используются в технике автоматического управления, в электронно-вычислительной технике, и т. д.

Эти устройства (их в общем случае называют переключательными, или коммутационными, схемами) содержат сотни реле, полупроводниковых элементов и других переключающих элементов. Описание и конструирование таких схем в силу их большого объема представляет трудную задачу.

Еще в 1910 году физик П. С. Эренфест указал на возможность применения аппарата алгебры логики при исследовании релейно-контактных схем. Однако его идеи начали реализовываться значительно позже, когда создание общей теории конструирования таких схем стало остро необходимым.

Использование алгебры логики в конструировании коммутационных схем оказалось возможным в связи с тем, что каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу алгебры логики и каждая формула алгебры логики реализуется с помощью некоторой схемы. Это обстоятельство помогает выявить возможности упрощения заданной схемы, изучая соответствующую формулу, а упрощение формулы затем реализовать как упрощение схемы.

В то же время еще до построения схемы можно заранее описать с помощью формул те функции, которые схема должна выполнять. Рассмотрим, как устанавливается связь между формулами алгебры логики и переключательными схемами.

Под переключательной схемой понимается схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из

□переключателей;

□соединительных проводников;

□входов в схему и выходов из нее.

Переключателями могут быть электромеханические устройства (выключатели, переключатели, кнопки), электромагнитные реле, полупроводниковые элементы и т. п., а входами и выходами — клеммы, на которые подается электрическое напряжение.

Коммутационной схемой принимается в расчет только два состояния каждого переключателя, которые называются «замкнутым» и «разомкнутым».

69

Рассматриваются основные три схемы: инвертор, схема логического сложения и схема логического умножения.

Логические операции – «стрелка Пирса» и операция Шеффера – для самостоятельного изучения

Раздел 4. Архитектура и состав современного ПК Тема 3. История развития компьютеров (для самостоятельного изучения) Этапы развития вычислительной техники

Аналитическая машина Бэббиджа Слово "компьютер" означает "вычислитель", т.е. устройство для вычислений.

Потребность в автоматизации обработки данных, в том числе вычислений, возникла очень давно. Многие тысячи лет назад для счета использовались счетные палочки, камешки и т.д. Более 1500 лет тому назад (а может быть и значительно раньше) для облегчения счета стали использовать счеты.

В1642 г. Блез Паскаль изобрел устройство, механически выполняющее сложение чисел, а в 1673 г. Готфрид Вильгельм Лейбниц сконструировал арифмометр, позволяющий механически выполнять четыре арифметических действия. Начиная с XIX в. арифмометры получили очень широкое применение. На них выполнялись даже сложные расчеты, например, расчеты баллистических таблиц для артиллерийских стрельб. Существовала и специальная профессия - счетчик - человек, работающий с арифмометром, быстро и точно соблюдающий определенную последовательность инструкций (такую последовательность инструкций в последствии стали называть программой). Но многие расчеты производились очень медленно - даже десятки счетчиков должны были работать по несколько недель и месяцев. Причина проста - при таких расчетах выбор выполняемых действий и запись результатов производились человеком, а скорость его работы весьма ограниченна.

Еще в первой половине XIX в. английский математик Чарльз Бэббидж попытался построить универсальное вычислительное устройство - компьютер (Бэббидж называл его Аналитической машиной). Именно Бэббидж впервые додумался до того, что компьютер должен содержать память и управляться с помощью программы. Бэббидж хотел построить свой компьютер как механическое устройство, а программы собирался задавать посредством перфокарт — карт из плотной бумаги с информацией, наносимой с помощью отверстий. Однако довести до конца эту работу Бэббидж не смог — она оказалась слишком сложной для техники того времени.

Первые компьютеры

В40-ходах XX в. сразу несколько групп исследователей повторили попытку Бэббиджа на основе техники XX в. — электромеханических реле. Первым из них был немецкий инженер Конрад Цузе, который в 1941 г. построил небольшой компьютер на основе нескольких электромеханических реле. Но из-за войны работы Цузе не были опубликованы. А в США в 1943 г. на одном из предприятий фирмы IBM американец Говард Эйкен создал более мощный компьютер под названием «Марк-1». Он уже позволял проводить вычисления в сотни раз быстрее, чем вручную (с помощью арифмометра), и реально использовался для военных расчетов.

Однако электромеханические реле работают весьма медленно и недостаточно надежно. Поэтому начиная с 1943 г. в США группа специалистов под руководством Джона Мочли и Преспера Экерта начала конструировать компьютер ENIAC на основе на основе электронных ламп, а не наоснове реле. Созданный ими компьютер работал в тысячу раз быстрее, чем Марк-1. Однако обнаружилось, что большую часть времени этот компьютер простаивал — ведь для задания программы в этом компьютере приходилось в течение нескольких часов или даже нескольких дней подсоединять нужным образом

70