§ 3. Волновой импеданс воздуха

9-

В частности, при z₂ = W из этой формулы получается * случай бесконечной среды, причем z₁ = W. Другой практически важный случай г₂ = оо реализуется при расположении поглощающего материала на абсолютно твердой стенке. При этом

Zi = W cth у/. (1.5)

Наконец, при z₂ = 0 из (1.4) получаем

z_x = Wt Ьу/. (1.6)

Так как импеданс слоя воздуха толщиной в V₄ длины волны, ограниченного сзади твердой стенкой, [равен нулю [см. (1.5),

где при отсутствии затухания у = /<о/с], то последний случай мож- но осуществить, поместив погло- щающий слой на расстоянии ^ от твердой стенки.

Посредством последователь- ного применения формулы (1.4) принципиально можно найти аку- стический импеданс для комби- нации любого числа п слоев (фип 2).

При этом по z_n вычисляется затем по z_n_i вычисляется z_n_₂ и т. д., до тех пор, пока не будет, наконец, найдено значе- ние z_x. Однако вследствие слож-

ности вычислений лучше пользоваться рассмотренным геометрическим методом (см. фиг. 67).

Фиг. 2. К вычислению импеданса многослойной системы.

ниже

§ 3. Волновой импеданс воздуха

Теоретический вывод постоянных W и у Для любой среды производится всегда одним и тем же образом. При этом исходят из уравнения движения частиц среды и из уравнения непрерыв- ности. Мы рассмотрим простейший случай — распространение звука в воздухе без учета затухания.

Уравнение движения Ньютона (сила равна произведению мас- сы на ускорение) в применении к тонкому слою воздуха толщи- ной dx дает

др _ до

дх ~ ^р0 dt ’

(1.7)

где р₀ —плотность.

где Ко‘

dp

dp/t-o'

Уравнение непрерывности будет

1_др

дх~~ _9ott~~ Ко dt *

(1.8)'

Г л. I. Элементарная теория поглощения звука

Дифференцируя (1.7) по л; и (1.8) по t и исключая d²v/dxdt, по­лучим дифференциальное уравнение для р:

д²р __ Рр д²р дх² Ко dt²

(1.9)

Так как мы ищем решение в виде

р ____ Д^-Тоx+j<Mt ^

то ~^ = Yo> вследствие чего (1.9) принимает вид

откуда

Yo-

Yo = ± /^№

1/2» У /с₀*

(1.10)

Сравнивая выражения (1.1) и (1.10), видим, что постоянная V Ко/^о является скоростью распространения с₀ звуковых волн в воздухе; знак плюс относится к волнам, бегущим в положи­тельном направлении оси х, знак минус —к волнам, бегущим в обратном направлении. Подст|цорка этой величины вместо

— и /а) вмест#^ в уравнения (1.7) или (

Из (1.11) видим, что этот импеданс является вещественной ве­личиной. Подставляя в (1.11) значения р₀ и с₀ для воздуха при комнатной температуре, получаем W₀ ъ 420 кгм~² сект¹ (или 42 в системе CGS).

При падении плоской волны из воздуха на стенку, имеющую импеданс z, будет происходить отражение. Отношение звукового давления в отраженной волне к давлению в падающей волне в точке, расположенной непосредственно у стенки, дается выра­жением, аналогичным (1.3),

p_r_z-W_u Pi z “г Wо

(1.12)

Будем называть это отношение коэффициентом отражения. В общем случае это комплексная величина. Квадрат ее модуля дает коэффициент отражения по энергии. Для коэффициента

поглощения имеем

РгР 1 z-^o ² Pi\ z + W₀ ’

а₀= 1 —

(1.13)