80
.pdf
Kozhagulov Y.T. et al.
The size and action threshold of these functions were the same for the three faces as shown in Figure 9. In this case, the resolution between the eyes were chosen identical. If the size of a human face is different (smaller or larger), the size of Haar like features to be changed. Here is an example of different sizes of the same human face (Figure 10).
For the pattern of a size of 153 |
153 The first |
||||||||||||
function was used to size 57 |
|
36 and the second |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
18. Figures with the size |
|||||||
function with the size 54 |
|||||||||||||
230 |
|
|
230 and |
307 |
|
307 |
for |
the detection |
of |
||||
persons using the first function to the size 85 |
|
54 |
|||||||||||
and 113 72 respectively, and the second |
function |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
of the |
size of 81 |
|
27 and 108 |
|
36. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Figure 10 – Human faces detection in different Haar function sizes
Experimental results were obtained using MatLab software environment.
Conclusions
The obtained results prove that the ViolaJones method provides face detection and the image processing to obtain high processing
speed. By applying two Haar like functions human face area can be detected. The use of two or more Haar function increases the detection accuracy. By varying the size of the Haar function can detect faces of different sizes pattern. Integral image reduces the processing time upon detection of the face, because the size of Haar like features more than 2 2.
References
1Singh S.K., Chauhan D.S., Vatsa M., Singh R. A robust skin color based face detection algorithm // Tamkang Journal of Science and Engineering. – 2003. – Vol. 6(4). – P. 227-234.
2Hjelmås E., Low B.K. Face detection: A survey // Computer vision and image understanding. – 2001. – Vol. 83(3). – P. 236-
274.
3Hsu R.L., Abdel-Mottaleb M., Jain A.K. Face detection in color images // IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence. – 2002. – Vol. 24(5). – P. 696-706.
4Zhang L., Chu R., Xiang S., Liao S., Li S.Z. Face detection based on multi-block lbp representation // International conference on biometrics. – Springer, Berlin, Heidelberg, 2007. – P. 11-18.
5Li J., Wang Y., Tan T., Jain A.K. Live face detection based on the analysis of fourier spectra // Biometric Technology for Human Identification. – International Society for Optics and Photonics, 2004. – Vol. 5404. – P. 296-304.
6Viola P., Jones M. Rapid object detection using a boosted cascade of simple features // Proceedings of the 2001 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. – Kauai, Hawaii, USA, 2001. – Vol. 1. – P. 1-9.
7Viola P., Jones M.J. Robust real-time face detection // International journal of computer vision. – 2004. – Vol. 57(2). – P. 137-154.
8Soni L.N., Datar A., Datar S. Implementation of Viola-Jones Algorithm Based Approach for Human Face Detection // International Journal of Current Engineering and Technology. – 2017. – Vol. 7(5). – P. 1819-1823.
ISSN 1563-0315 |
Recent Contributions to Physics. №3 (66). 2018 |
81 |
Face detection of integral image by viola-jones method
9Papageorgiou C.P., Oren M., Poggio T. A general framework for object detection // Sixth International Conference on Computer Vision. – Bombay, India, 1998. – P. 555-562.
10Freund Y., Schapire R.E. A decision-theoretic generalization of on-line learning and an application to boosting // Journal of computer and system sciences. – 1997. – Vol. 55(1). – P. 119-139.
11Tsotsos J.K., Culhane S.M., Wai W.Y.K., Lai Y., Davis N., Nuflo F. Modeling visual attention via selective tuning // Artificial intelligence. – 1995. – Vol. 78(1-2). – P. 507-545.
12Itti L., Koch C., Niebur E. A model of saliency-based visual attention for rapid scene analysis // IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence. – 1998. – Vol. 20(11). – P. 1254-1259.
13Amit Y., Geman D., Wilder K. Joint induction of shape features and tree classifiers // IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence. – 1997. – Vol. 19(11). – P. 1300-1305.
14Wang Y.Q. An Analysis of the Viola-Jones face detection algorithm // Image Processing On Line. – 2014. – Vol. 4. – P. 128-148.
15Deshpande N.T., Ravishankar S. Face Detection and Recognition using Viola-Jones algorithm and Fusion of PCA and ANN
//Advances in Computational Sciences and Technology. – 2017. – Vol. 10(5). – P. 1173-1189.
References
1S.K. Singh, D.S. Chauhan, M. Vatsa, and R. Singh, Tamkang J. of Science and Engineering, 6(4), 227-234 (2003).
2E. Hjelmås and B.K. Low, Computer Vision and Image Understanding, 83(3), 236-274 (2001).
3R.L. Hsu, M. Abdel-Mottaleb, and A.K. Jain, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 24(5), 696706 (2002).
4L. Zhang, R. Chu, S. Xiang, S. Liao, S.Z. Li, Intern. Conf. on Biometrics, Springer, 11-18 (2007).
5J. Li, Y. Wang, T. Tan, and A.K. Jain, Biometric Technology for Human Identification, Intern. Society for Optics and Photonics, 5404, 296-304 (2004).
6P. Viola and M. Jones, Proceedings of the 2001 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, Kauai, 1, 1-9 (2001).
7P. Viola and M.J. Jones, Intern. J. of Computer Vision, 57(2), 137-154 (2004).
8L.N. Soni, A. Datar, and S. Datar, Intern. J. of Current Engineering and Technology, 7(5), 1819-1823 (2017).
9C.P. Papageorgiou, M. Oren, and T. Poggio, Sixth Intern. Conf. on Computer Vision, Bombay, 555-562 (1998).
10Y. Freund, and R.E. Schapire, J. of Computer and System Sciences, 55(1), 119-139 (1997).
11J.K. Tsotsos, S.M. Culhane, W.Y.K. Wai, Y. Lai, N. Davis, and F. Nuflo, Artificial intelligence, 78(1-2), 507-545 (1995).
12L. Itti, C. Koch, and E. Niebur, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 20(11), 1254-1259 (1998).
13Y. Amit, D. Geman, and K. Wilder, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 19(11), 1300-1305
(1997).
14Y.Q. Wang, Image Processing On Line, 4, 128-148 (2014).
15N.T. Deshpande, S. Ravishankar, Advances in Computational Sciences and Technology, 10(5), 1173-1189 (2017).
82 |
Хабаршы. Физика сериясы. №3 (66). 2018 |
5-бөлім
ЖОҒАРЫ ОҚУ ОРНЫНДА ФИЗИКАНЫ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
Section 5
METHODS OFTEACHING
HIGH SCHOOLPHYSICS
Раздел 5
МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ФИЗИКИ В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
МРНТИ 29.05.03; 29.05.09; 29.05.41
Бошкаев К.А., Байсеитов К.*, Бришева Ж. Н., Тлемисов А.
ННЛОТ, Казахский национальный университет им. аль-Фараби,
Казахстан, г. Алматы, *e-mail: b.kasymkhan@mail.ru,
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ
ВГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ АКСИАЛЬНО СИММЕТРИЧНОГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ТЕЛА В КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Встатье рассматривается аксиально симметричное тело и исследуется его внутреннее и
внешнее гравитационное поле в рамках классической теории тяготения. В качестве деформированного объекта используется сфероид Маклорена как пример объектов с однородной плотностью и твердотельным вращением, следовательно, аксиально симметричных тел. Гравитационный потенциал выводиться из уравнения Пуассона для внешнего и внутреннего поля, удовлетворяя граничным условиям в центре, на поверхности тела и на бесконечности. Уравнение Пуассона решается аналитически и точно, применяя функцию Грина и разложения на сферические гармоники (шаровые функции). Помимо этого, в качестве примера приводится сшивание решений на поверхности тела для малых деформаций. В дополнении рассматривается квадрупольный момент деформированного центрального объекта и исследуется его влияние на движение пробных тел (частиц) в поле данного объекта, т.е. решается квазикеплерова задача в численном виде в программе Wolfram Mathematica. Было показано, что численные расчёты соответствуют аналитическому решению квазикеплеровой задачи в экваториальной плоскости орбиты. Также были проанализированы смещения перигелиев планет солнечной системы.
Статья преследует научно-методические и академические цели и предназначена для широкой аудитории студентов, магистрантов и докторантов по специальностям физика, механика и астрономия.
Ключевые слова: гравитационный потенциал, уравнение Пуассона, сфероид Маклорена, квазикеплерова задача, квадрупольный момент, смещение перигелия.
Boshkayev K. A., Baiseitov K.*, Brisheva Zh. N., Tlemisov A.
NNLOT, Al-Farabi Kazakh national university, Kazakhstan, Almaty, *e-mail: b.kasymkhan@mail.ru
Investigation of the motion of test particles in the gravitational field of axially symmetric central body in classical physics
The article deals with an axially symmetric body and examines its internal and external gravitational field within the framework of classical theory of gravity. The Maclaurin spheroid is used as a deformed body to represent objects with homogeneous density and rigid rotation, hence, axially symmetric bodies. The gravitational potential is derived from the Poisson equation for the external and internal fields, satisfying the boundary conditions at the center, on the surface of the body, and at infinity. The Poisson equation is solved analytically and exactly, applying the Green's function and the expansion into spherical harmonics (spherical functions). Moreover, the matching on the surface of the body for small deformations is shown as an example. In addition, the quadrupole moment of a deformed central object is considered and its influence on the motion of test bodies (particles) in the field of a given object is investigated. The quasi-Kepler problem is solved numerically in the Wolfram Mathematica program. It was shown that numerical calculations correspond to the analytical solution of the quasi-Kepler problem
© 2018 Al-Farabi Kazakh National University
Бошкаев К.А. и др.
in the equatorial plane of the orbit. The perihelion shift of the planets of the solar system were also analyzed.
The article pursues scientific, methodological and academic goals and is intended for a wide audience of students, graduates and doctoral students in the specialties of physics, mechanics and astronomy.
Key words: Gravitational potential, Poisson equation, Maclaurin spheroid, quasicleple problem, quadrupole moment, perihelion displacement.
Бошкаев К. А., Байсеитов К.*, Бришева Ж. Н., Тлемисов А.
АТҰНЗ, Әл-Фараби ат. Қазақ ұлттық университеті, Қазақстан, Алматы қ., *e-mail: b.kasymkhan@mail.ru
Аксиальды симметриялы орталық дененің гравитациялық өрісіндегі сынақ бөлшектерінің қозғалысын классикалық физикада зерттеу
Мақалада аксиалды симметриялы дене қарастырылады, сонымен бірге оның ішкі және сыртқы гравитациялық өрісі классикалық физика шеңберінде зерттеледі. Деформацияланған объекті ретінде тығыздығы біртекті және қаттыденелік айналуы бар Маклорен сфероиды пайдаланылады, осылайша аксиалды симметриялы дене қарастырылады. Гравитациялық потенциал сыртқы және ішкі өрістер үшін Пуассон теңдеуінен шығарылады, сондай-ақ дененің центрінде, бетінде және шексіздіктегі шектік шарттар қанағаттандырады. Пуассон теңдеуі Грин функциясын және сфералық гармоникаларды (сфералық функцияларды) қолдану арқылы аналитикалық түрде дәл шешіледі. Сонымен қатар, мысал ретінде аз деформациялар үшін дененің бетінде ішкі және сыртқы шешімдер жымдастырылады. Бұдан басқа, деформацияланған орталық дененің квадрупольдық моменті қарастырылады және осы объектінің өрісіндегі сынақ бөлшектердің қозғалысына әсері зерттеледі, яғни квазикеплер есебі Wolfram Mathematica бағдарламасында сандық түрде шешіледі. Сандық есептеулер квазикеплер есебінің орбитаның экваторлық жазықтығындағы аналитикалық шешіміне сәйкес келетіндігі көрсетілді. Сондай-ақ, күн жүйесіндегі планеталардың перигелий ығысу өрнегіне сараптама жасалды.
Мақала ғылыми, әдістемелік және академиялық мақсаттарды көздейді және физика, механика және астрономия мамандықтары бойынша студенттер, магистранттар мен докторанттарға арналған.
Түйін сөздер: гравитациялық потенциал, Пуассон теңдеуі, Маклаурин сфероиды, Квазиклел мәселесі, квадруполь сәті, перигелийдің ауысуы.
Введение
Как нам известно, теория гравитации, сформулированная Ньютонам справедлива в случае слабовзаимодействующих гравитационных полей и малых, относительно скорости света, скоростей. Среди альтернативных теорий
только для гравитации Ньютона (n = 2, r1n r12 )
возможны движения такие, как простые круговые, эллиптические, параболические и гиперболические формы орбит для наблюдаемых небесных тел, решения для которых, в рамках данной теории, различается в начальных условиях,тоестьвскоростяхикоординатахпробных тел. Можно упомянуть об еще одном значении (n = -1,r ), которое соответствует закону Гука, что описывает изменения натяжение пружины. В случае n = 3 в системе отсутствует устойчивость: пробное тело или удаляется от центра на бесконечность, или просто, притягиваясь,
падает в центр. Несмотря на это уже в XIХ веке точность астрономических измерений увеличилась настолько, что обнаружилось, что классическая теория гравитации (КТГ) Ньютона всетаки не стыкуется с наблюдениями [1].
ДлянаглядногопримеравыберемМеркурий, ближайшую к Солнцу планету, которая движется эллиптической орбите со значительным эксцентриситетом, что можно заметить поворот осидостаточнолегко.Видноизнаблюдений,что перигелий орбиты Меркурия за одну сотню лет смещается (поворачивается) на 574 угловых секунд в ту же сторону, что и направление движения планеты. Поворот на 531 угловых секунды за столетие был доказан Лаверьем, что данное смещение является следствием возмущения (влияния) другими планетами, главным образом Земли, Венеры и Юпитера. Может показаться, что оставшиеся 43 угловые секунды в одну сотню лет это маленькая величина, но она не давала покоя астрономам. Считалось, что это разница вполне могла бы быть объяснена
ISSN 1563-0315 |
Recent Contributions to Physics. №3 (66). 2018 |
85 |
Исследование движения пробных частиц в гравитационном поле аксиально симметричного центрального тела ...
предположением, что Солнце не есть сфера, а |
тождественность массы и энергии подра- |
|||
сфероид с аксиальной симметрией (эллипсоид |
зумеваются по умолчанию. |
|||
вращения). Такой вывод следует из наблюдений |
7. В РТГ гравитационное поле вращающего |
|||
за полярным и экваториальным вращением |
тела отличается от классического аналога, так |
|||
Солнца. Стало известно, что скорость вращения |
каквращениегенерируетдополнительноеграви- |
|||
на полюсах медленнее, чем на экваторе, что и |
тационное поле за счёт энергии вращения. Дан- |
|||
приводит к сплющенной форме Солнца, что и |
ный эффект в литературе известен как эффект |
|||
является причиной дополнительных составляю- |
Лензе-Тирринга или эффект увлечение системы |
|||
щих в Ньютоновском потенциале [2]. Но, даже |
отчёта [6]. |
|||
учёт деформации Солнца не смог полностью |
8. В КТГ отсутствует понятие замедления |
|||
решить проблему 43 угловых секунд в столетие. |
времени в силу пункта 1, т.е. время везде про- |
|||
Только с появлением новой теории гравитации |
текает одинаково, авРТГ данный эффект прояв- |
|||
было возможно объяснить |
наблюдательные |
ляется не только между движущимся и стати- |
||
аномалии в смещении перигелия Меркурия [3]. |
ческим наблюдателем, но и в присутствии |
|||
На сегодняшний день более общепринятой, |
гравитационного поля. |
|||
надежной и |
одновременно |
экспериментально |
9. Все классические эффекты ОТО, возник- |
|
проверенной |
теорией |
гравитации является |
шие в результате обобщения КТГ: смещение |
|
общая теория относительности (ОТО) Альберта |
перигелия Меркурия, отклонения луча света |
|||
Эйнштейна, которая была сформулирована в |
вблизи Солнца и гравитационное красное сме- |
|||
1916 году. ВлитературеОТОтакжеизвестнакак |
щение (гравитационное замедление времени) |
|||
релятивистская теория гравитации (РТГ). По |
были экспериментально подтверждены астроно- |
|||
словам Ландау Л.Д. [4] «Она является, пожалуй, |
мами и астрофизиками. |
|||
самой красивой из существующих физических |
ПоэтомуОТОявляетсянаиболееполнойтео- |
|||
теорий». Главные отличия теорий гравитации |
рией гравитации. В добавок следует отметить, |
|||
Ньютона и Эйнштейна состоят в следующем: |
что в ОТО существуют объекты как чёрные |
|||
1. В КТГ трёхмерное пространство и одно- |
дыры, гравитационные волны и более экзоти- |
|||
мерное время абсолютны, и они не зависят друг |
ческие объекты, аналогов которых нет в КТГ |
|||
отдруга, авРТГпространство ивремяобразуют |
Ньютона [2, 12 глава, 7-9]. Тем не менее, для |
|||
одно целое – четырёхмерный пространство- |
достижения цели статьи достаточно использо- |
|||
временной континуум. |
|
|
вать КТГ Ньютона в виду сложности и нели- |
|
2. В КТГ пространство и время вблизи мас- |
нейности уравнений Эйнштейна [10, 11]. Поэ- |
|||
сивных тел евклидовое, тогда как в РТГ прост- |
тому все выкладки будут производиться в |
|||
ранство-время искривленное. |
|
рамках КТГ. |
||
3. В КТГ взаимодействие передается мгно- |
Статья организована следующим образом: в |
|||
венно, т.е. скорость распространения бесконеч- |
первом разделе решается уравнение Пуассона |
|||
на (так называемое дальнодействие), а в РТГ |
деформированноготелаинаходитсявнутренний |
|||
максимальная |
скорость |
взаимодействия не |
потенциал гравитационного тела, во втором |
|
превышает скорости света в вакууме. |
разделе также решается уравнение Пуассона вне |
|||
4. КТГ является предельным случаем РТГ |
тела. В третьем разделе, в качестве примера |
|||
для малых скоростей и слабых гравитационных |
приводится методика сшивания внутреннего и |
|||
полей, т.е. КТГнеможетправильноописатьдви- |
внешнего решений, в частном случае, когда учи- |
|||
жения тел, скорость которых близка к скорости |
тывается только масса и квадрупольный момент |
|||
света. Это исходит как следствие того факта, что |
тела, а моменты более высокого порядка малос- |
|||
уравнения движения Ньютона не инвариантны |
ти пренебрегаются. В четвёртом разделе квази- |
|||
по отношению к преобразованиям Лоренца. |
кеплерова задача рассматривается численно для |
|||
5. КТГ также не может правильно характе- |
произвольного пробного тела и результаты |
|||
ризовать сильные гравитационные поля ком- |
представляются графически. Численные расчё- |
|||
пактных объектов, таких как нейтронные звез- |
ты сопоставляются с аналитической формулой. |
|||
ды, чёрные дыры и т.д. в следствии пунктов 2 и |
В пятом разделе производится анализ формулы |
|||
4 [5]. |
|
|
|
смещенияперигелия планетсолнечнойсистемы. |
6. В КТГ тела взаимодействуют посредством |
В заключении приводятся основные результаты |
|||
массы, а в РТГ посредством энергии, т.е. здесь |
исследования и подводится итог. |
|||
86 |
Вестник. Серия физическая. №3 (66). 2018 |
Бошкаев К.А. и др.
Внутреннее решение уравнения гравита- |
|
Чтобы упростить сложные математические |
|||||||||||||||||||||||||||
ционного поля |
|
|
вычисления для уравнения (1) можно записать |
||||||||||||||||||||||||||
Уравнениегравитационногополя(Пуассона) |
общее решение. Для этого введем систему |
||||||||||||||||||||||||||||
координат с началом в произвольной точке |
|||||||||||||||||||||||||||||
в КТГ задаётся в следующем виде [5] |
|
внутри системы. Потенциал поля, создаваемого |
|||||||||||||||||||||||||||
4 G , |
(1) |
всеми телами в точке с радиус-вектором r , |
|||||||||||||||||||||||||||
равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ma |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где – оператор Лапласа, (x, y, z) – гра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
| |
| |
, |
|
|
|
(3) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ra |
|
|
|
|
|
|
|||||||
витационный потенциал, G – гравитационная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
постоянная, (x, y, z) – плотность распре- |
где |
m |
a |
, r |
|
– масса и радиус-вектор частицы с |
|||||||||||||||||||||||
деления масс. Следует заметить, что уравнение |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
номерам |
а соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пуассона является предельным случаем урав- |
|
Можно заменить суммирование интегриро- |
|||||||||||||||||||||||||||
нений гравитационного поля Эйнштейна в ОТО |
|
||||||||||||||||||||||||||||
ванием |
|
|
по |
объему, |
|
если |
масса |
|
распределена |
||||||||||||||||||||
для малых скоростей и слабых полей. Методика |
непрерывно и ограничена в объеме V |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
решения уравнений Эйнштейна требует глу- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
бокого знания в тензорных исчислениях и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
дифференциальной |
геометрии. Все |
известные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
, |
|
|
|
(4) |
||||||||
точные решения уравнений поля перечислены в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| r |
r |
|
|
|
|
|
||||||
монографииStephani et al [12] и втрудах [13-17]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим решение уравнения |
Пуассона |
где |
|
|
|
|
|
|
переменная |
|
|
|
|
|
интегрирования |
||||||||||||||
для аксиально-симметричного тела. Известно, |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
чтовпроизвольнойточке x, y, z внутриодно- |
d |
x |
dV |
|
dx dy dz |
|
есть элемент объема. |
||||||||||||||||||||||
родного сфероида |
(эллипсоида), |
т.е. для |
|
Интеграл в сферических координатах имеет |
|||||||||||||||||||||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
const , гравитационный потенциал является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
квадратичной функцией координат и общее |
|
|
|
|
|
|
d |
3 |
|
|
R |
2 |
r |
2 |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
||||||
решение уравнения Пуассона можно искать в |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
dr |
d d |
|
, |
(5) |
|||||||||||||
следующем виде [18-19]: |
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
0 0 |
|
0 |
|
|
|
|
| r r |
|
|
|
||||||||||
G ( A0 A1x2 A2 y2 A3 z2 ) , (2) |
где |
0 r R, 0 , 0 2 , |
|
в |
свою |
||||||||||||||||||||||||
где постоянные A зависят только |
от формы |
очередь |
|
R R определяется через уравне- |
|||||||||||||||||||||||||
ния |
поверхности |
эллипсоида |
|
вращения |
(см. |
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
далее уравнение (10)) [5, 18]. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
эллипсоида, и Ai 2 , который следует из |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Знаменатель предыдущего выражения рас- |
||||||||||||||||||||||||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения (1). |
кладывается по ортогональным функциям как |
|
[20]: |
||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
| r |
r | |
r2 2rr cos r 2 |
1 2 |
r |
r 2 |
||||
|
|
|
|
r |
|
cos |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
1 r l Pl cos r l 0 r
|
1 |
|
r l |
l |
l m ! |
m |
cos Pl |
m |
cos cos m , |
r |
|
, |
||
r |
|
|
Pl cos Pl cos 2 |
Pl |
|
|
r |
1 |
||||||
|
l 0 |
|
r |
m l l m ! |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где все координаты (радиус вектора и углы) приведены на рисунке 1.
ISSN 1563-0315 |
Recent Contributions to Physics. №3 (66). 2018 |
87 |
Исследование движения пробных частиц в гравитационном поле аксиально симметричного центрального тела ...
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1 – Сферическая система координат |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
r l |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
2rr cos r 2 |
|
|
|
r |
|
|
|
Pl |
|
|
|
||||||
|
|
|
| r |
r |
r2 |
r 1 |
|
2 |
|
r 2 |
r l 0 |
r |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
r l |
|
cos |
l |
l m |
! |
|
m |
cos Pl |
m |
cos cos m , |
r |
|
, |
||||||||
|
|
|
Pl |
Pl cos 2 |
|
Pl |
|
|
|
r |
1 |
|||||||||||||
|
r l 0 |
r |
|
|
|
m l l m |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где Pl (cos ) |
– полиномы Лежандра, а |
|
Pm cos |
– |
присоединённые полиномы |
l |
|
|
Лежандра [21, 22].
Поскольку нас интересуют только аксиально симметричные решения, то автоматически можно пренебречь членами, зависящими от угла
. Тогда знаменатель (5) будет в виде [20]:
1 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
r |
|
|
Pl (cos )Pl (cos ') , при (r r') , |
|
|
|
(6) |
|||||||||||||||
|
| r r | |
l |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
l 0 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
r |
Pl (cos )Pl (cos ') , при (r r') . |
|
|
|
(7) |
||||||||||||||||
|
|
| r r | |
l 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
l 0 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя в уравнение (4) и используя сферические координаты, получаем: |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
l |
R( ') |
|
l |
|
|
|
|
||||||
G Pl (cos ) |
0 |
|
d |
0 |
Pl |
(cos ') |
|
|
|
dr ' |
r |
|
dr ' r ' |
sin 'd . |
(8) |
||||||||||
|
|
r |
l 1 |
l 1 |
|||||||||||||||||||||
l 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует |
заметить, что |
внутри |
тела |
0 r, r R , поэтому при интегрировании |
|||
необходимо |
было разделить |
интеграл на |
две |
части с пределами и r r R . Затем, проинтегрировав выражение по ϕ и умножив скобки на r 2 , получим:
|
|
|
|
r |
l |
R( ') |
l |
|
|
2 G Pl |
(cos ) 0 |
Pl |
(cos ') 0 |
r |
dr r |
r |
dr' r'2 sin 'd |
(9) |
|
l 1 |
l 1 |
||||||||
l 0 |
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
88 |
Вестник. Серия физическая. №3 (66). 2018 |
Бошкаев К.А. и др.
Здесь |
|
|
следует |
учесть, |
что |
P (cos ) |
1 |
|
d l |
(cos2 1)l . |
|
2l l! d(cos )l |
|
||||
l |
|
|
|||
Заметим, что все члены с нечётным l |
выпа- |
||||
дают, так как Pl является нечетной функцией
cos , в то время как R( ') – чётная функция.
Среди интегралов отличны от нуля только т.е., в которых l 0 или l 2 . В этом можно убедиться, рассмотрев выражение для R( ') ,
которое находится из уравнения поверхности эллипсоида вращения [5]
x2 y2 |
|
z2 |
1 |
, |
(10) |
|
a2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
где a и c большаяималаяполуосиэллипсоида, которые показаны на рисунке 2 (а). С переходом в сферические координаты
x R sin cos ,
y R sin sin , (11)
z R cos ,
уравнение поверхности принимает следующий вид:
sin2 ' |
|
cos2 |
' |
|
1 |
. |
(12) |
a2 |
c2 |
|
R2 ' |
|
|
|
(а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(б) |
|
|
|
||
Рисунок 2 – (а) сплюснутый сфероидa c , (б) продолговатый сфероид a c |
|
|
|||||||||||||||||||
Соответственно из-за этой зависимости, т.е. |
|
|
сумме |
с |
l 4 |
степени cos ' обращаются в |
|||||||||||||||
из-засоотношенияортогональности, всечленыв |
|
|
нуль при интегрировании. Итак, мы имеем: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin ' |
|
|
2 |
|
|
r 'dr ' d ' |
|
|
|||||||
|
2 G |
|
|
r |
r ' |
dr ' |
R( ') |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
|
3cos |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
4 |
|
R( ') |
r |
2 |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 (3cos |
|
' 1) |
|
0 |
r ' |
dr ' r |
|
|
|
' |
|
||||||||
4 |
|
|
r3 |
|
r ' dr ' sin 'd |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя по r' получаем:
ISSN 1563-0315 |
Recent Contributions to Physics. №3 (66). 2018 |
89 |
Исследование движения пробных частиц в гравитационном поле аксиально симметричного центрального тела ...
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 G |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
2 |
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
|||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1) 1 (3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(3cos |
|
|
1) |
1 5 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
dt |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
a |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где t cos ' . |
|
|
Тогда |
|
|
после |
некоторых |
|
|
|
интеграл примет окончательный вид в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
несложных |
математических |
|
|
|
вычислений |
|
|
|
сферической системе координат [23]: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
a |
2 |
1 e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
e |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 G |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
arcsin e |
|
|
|
|
|
|
(3cos |
|
|
|
1) |
|
|
|
e3 |
|
|
|
|
|
|
arcsin e |
|
|
e2 |
|
|
(15) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 e2 |
arcsin e , |
|
||||||||||||||
Далее, переходя к декартовой системе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 2 e2 |
|
|
|
|
|
e3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
координат, |
заменяя |
|
для |
|
|
этого cos |
|
z |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
где эксцентриситет эллипсоида вращения, по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r2 x2 y2 |
z2 , и сравнивая с (2), находим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
определению, равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициенты [23] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2a2 |
|
1 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
|||||||||||||||||
A0 |
|
|
arcsin e |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя коэффициенты в (2) получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 e2 |
|
|
|
|
|
1 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A1 A2 |
|
arcsin e |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окончательный вид внутреннего потенциала в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
e3 |
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
декартовой системе координат |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a2 1 |
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e2 |
x |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin e z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поведение коэффициентов |
|
A |
|||||||||
деформации ~ e2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 2a |
2 |
|
|
e2 |
|
; |
|
|
|
||
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 A2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
; |
1 e |
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
A3 2 |
|
|
|
2e |
2 |
|
; |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
для малой |
Эти выражения будут необходимы в даль- |
нейшем для проверки условия сшиваемости |
|
|
внутреннего потенциала с внешним потен- |
|
циалом [23]. |
|
Внешнее решение уравнения гравита- |
|
ционного поля |
|
Вычисление внешнего потенциала аналогич- |
|
но внутреннему потенциалу. Для этого нужно |
(18) |
принять во внимание условие 0 r R r |
|
, тогда интеграл (9) запишется как |
90 |
Вестник. Серия физическая. №3 (66). 2018 |