- •Основы компьютерной арифметики и логики
- •Предисловие
- •Глава 4, подготовленная доцентом о.П. Шафеевой, посвящена вопросам разработки алгоритмических моделей выполнения арифметических операций и моделирования на пэвм спроектированных алгоритмов.
- •Основы двоичной компьютерной арифметики
- •1.1. Позиционные системы счисления
- •Десятичная позиционная система счисления
- •Двоичная позиционная система счисления
- •1.1.3. Восьмеричная позиционная система счисления
- •1.1.4. Шестнадцатеричная позиционная система счисления
- •Сложение Вычитание
- •Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
- •1.2.1. Перевод целых чисел
- •1.2.2. Перевод правильных дробей
- •1.2.3. Перевод неправильных дробей из одной системы счисления в другую
- •1.2.4. Частный случай перевода чисел из одной системы счисления в другую
- •1.2.5. Перевод чисел из одной системы счисления в другую с использованием промежуточной двоично-десятичной системы
- •1.3. Представление чисел с фиксированной запятой (точкой)
- •1.4. Представление чисел с плавающей запятой (точкой)
- •1.5. Коды двоичных чисел
- •1.5.1. Прямой код
- •1.5.2. Обратный код
- •1.5.3. Модифицированный обратный код
- •1.5.4. Дополнительный код
- •2.1.1. Алгебраическое сложение чисел в дополнительном коде
- •2.1.2. Алгебраическое сложение чисел в обратном коде
- •2.1.3. Переполнение разрядной сетки при сложении чисел
- •2.2. Сложение (вычитание) двоичных чисел с плавающей запятой
- •2.2.1. Метод ускоренного сложения двоичных чисел с запоминанием переносов
- •2.3. Умножение двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.4. Машинные технологии выполнения операции умножения двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.5. Умножение двоичных чисел с плавающей запятой
- •2.6. Методы ускоренного выполнения операции умножения двоичных чисел
- •2.6.1. Метод пропуска такта суммирования
- •2.6.2. Метод анализа сомножителей
- •2.6.3. Метод расшифровки и одновременного умножения на два разряда множителя
- •2.6.4. Метод ускоренного умножения Мак-Сорли
- •2.6.5. Метод ускоренного умножения Лемана
- •2.6.6. Метод умножения с расшифровкой пар разрядов множителя и запоминанием переносов
- •2.7. Деление двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.8. Деление двоичных чисел с плавающей запятой
- •3. Основы десятичной компьютерной арифметики
- •3.1. Машинное кодирование десятичных чисел
- •3.2. Выполнение арифметических операций с десятичными числами
- •3.2.1. Сложение десятичных чисел в эвм
- •3.2.2. Умножение десятичных чисел в эвм
- •3.2.3. Ускорение умножения в -кодах
- •Деление десятичных чисел в эвм
- •4.2. Моделирование алгоритма сложения двоичных чисел
- •Различные случаи ненормализованных мантисс
- •4.3. Проектирование алгоритма умножения чисел
- •4.5. Проектирование алгоритма деления чисел
- •4.7. Разработка алгоритма вычисления квадратного корня
- •Определение 1. Пусть и произвольные множества. Соответствием называется тройка множеств
- •Свойства отношений
- •Эквивалентность
- •Толерантность
- •Отношения порядка
- •Самодвойственные функции
- •Монотонные функции
- •Линейные функции
- •Функции, сохраняющие константу
- •5.2.7. Минимизация булевых функций
- •Метод Блейка
- •Метод Квайна-Мак-Класки
- •Минимизация с использованием карт Карно
- •Дана функция четырех переменных (рис. 5.13):
- •Минимизация не полностью определенных булевых функций
- •Минимизация систем булевых функций
- •5.3. Методика синтеза комбинационных схем на логических элементах
- •5.3.1. Логические элементы
- •5.3.2. Общий алгоритм построения комбинационных схем
- •5.3.3. Синтез кс в классическом базисе
- •5.3.4. Синтез кс в базисах «и-не», «или-не»
- •5.3.5. Реализация кс в базисе Жегалкина
- •5.3.6. Синтез составных кс
- •Заключение
- •Библиографический список к главам 1, 2, 3, 4
- •Библиографический список к главе 5
Эквивалентность
На основании перечисленных выше свойств отношения можно разбить на отдельные группы, произвести их классификацию.
Определение 16. Эквивалентностью называют отношения, которые одновременно рефлексивны, симметричны и транзитивны, т.е.
( эквивалентность)
Таким образом, к эквивалентностям относятся такие отношения: «быть однополчанином», «быть членом той же партии, что и …», «быть тезкой», «быть единомышленником», «быть одной веры с …», «иметь тот же остаток при делении на 5», «и много, много других.
Отношение эквивалентности тесно связано с разбиением множества . Эту связь отражает следующая теорема.
Теорема 4. Задание отношения эквивалентности на конечном множестве равносильно разбиению этого множества.
Доказательство. Необходимость. Пусть на конечном множестве задано отношение эквивалентности с областью истинности . Проведем следующее построение.
Выберем некоторый элемент и построим подмножество из всех элементов, эквивалентных , т.е. . Из множества удалим все элементы, содержащиеся в подмножестве . Получим множество . Если , то построение завершено. В противном случае снова выберем некоторый элемент и, построив подмножество , удалим его из , получая множество . Процесс нашего построения будет завершен, как только будет получено пустое множество , а результатом этого построения станет совокупность подмножеств , , …, , которая, согласно нашему построению, будет удовлетворять следующим условиям:
Следовательно, данное множество { , , …, } подмножеств множества (согласно определению разбиения) есть разбиение последнего. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть теперь задано разбиение { , , …, } множества . Рассмотрим на нем отношение «принадлежать одному и тому же подмножеству». Данное отношение рефлексивно (любой элемент принадлежит тому же подмножеству, в котором сам и находится), симметрично (если принадлежит тому же подмножеству, что и , то и принадлежит тому же подмножеству, что и ) и, наконец, транзитивно (если принадлежит тому же подмножеству, что и , а принадлежит тому же подмножеству, что и , то принадлежит тому же подмножеству, что и ). Следовательно, данное отношение есть эквивалентность. Теорема доказана.
Замечание 1. Данная теорема легко распространяется на случай бесконечного множества . При этом алгоритм построения, описанный в первой части доказательства, будет работать сколь угодно долго, формируя конечное или бесконечное множество { , , …, , …}.
Замечание 2. Формируемые при работе описанного выше алгоритма подмножества , , …, называют классами эквивалентности. Например, отношение «иметь тот же остаток при делении на 5» разобьет множество натуральных чисел на такие пять классов эквивалентности: класс чисел, кратных пяти (числа, остаток которых при делении на 5 равен нулю); класс чисел с остатком при делении на 5, равным 1; класс чисел с остатком при делении на 5, равным 2; класс чисел с остатком, равным 3; класс чисел с остатком, равным 4. Классами эквивалентности отношения «иметь то же социальное происхождение» будут социальные группы: рабочие, служащие, крестьяне и т.д.
Замечание 3. Непересекаемость классов эквивалентности (т.е. условие ) обеспечивает непротиворечивость деления множества на классы (каждый элемент принадлежит не более чем одному классу), а условие говорит о полноте системы этих классов (любой элемент из принадлежит какому-либо классу).
Замечание 4. Данная теорема имеет применение не только в математических науках. Любая научная теория так или иначе, связана с классификацией объектов, составляющих область ее исследований. Для успешного осуществления этой классификации необходимо найти отношение эквивалентности между объектами. Если будет найдено отношение, которое одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно определит непротиворечивую и полную классификацию изучаемого разнообразия.
Представляет определенный интерес рассмотреть последствия, к которым приводит отсутствие свойства транзитивности в рефлексивных и симметричных отношениях.
Вопросы для самоконтроля
Какие отношения из нижеследующих являются эквивалентностью? а) «быть того же цвета»; б) «быть кратным тому же числу»; в) «иметь тот же наибольший общий делитель»; г) «иметь хотя бы одно общее свойство».
Для приведенных выше отношений эквивалентности определите их классы эквивалентности.