Практика
.pdf
Рис. 1. Область допустимых решений
Обозначим границы области многоугольника решений (рис. 2).
Таким образом, областью допустимых решений (ОДР) является пятиугольник с вершинами ABCDЕ.
Рассмотрим целевую функцию задачи:
F 0,8x |
x |
2 |
1 |
|
Построим прямую,
F 0,8x1 x2
max .
отвечающую значению функции
0 .
F
0
:
Рис. 2. Границы области многоугольника решений
Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции,
указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0),
конец – точка (0,8; 1). Будем двигать эту прямую параллельным образом.
Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией (рис. 3).
Рис. 3. Прямая целевой функции на максимум
Прямая получена в
х |
2х |
2 |
90 |
и |
1 |
|
|
F const |
пересекает область в точке С. Так как точка С |
|
результате пересечения прямых, заданных уравнениями
х1 х2 50 , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих
прямых.
Решаем систему уравнений:
x |
2x |
|
90 |
50 x |
|
2x |
|
90 |
x |
|
40 |
||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
x |
2 |
50 |
|
x |
50 x |
2 |
|
|
|
x |
|
10 |
|||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
Решив систему уравнений, получили:
x1 = 10; |
x2 = 40. |
Найдем максимальное значение целевой функции:
F |
F 10; 40 0,8 10 1 40 48 |
max |
|
(тыс. руб.)
Ответ. Х опт 10; 40 ; Fmax 48 . Для получения максимальной выручки необходимо производить 10 единиц продукции А и 40 единиц продукции Б.
При использовании данного плана производства продукции выручка будет максимальной и составит 48 тыс. руб.
Задача 11
Предприятие выпускает продукцию четырех видов 1, 2, 3, 4, для изготовления которой используются ресурсы трех видов: трудовые, сырье и оборудование. Нормы расхода каждого вида ресурса на изготовление единицы каждого вида продукции и прибыль, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице.
Ресурс |
Вид продукции |
|
|
|
Объем |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
ресурса |
Трудовой |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
16 |
Сырье |
6 |
|
5 |
4 |
3 |
110 |
Оборудование |
4 |
|
6 |
10 |
13 |
100 |
Прибыль |
60 |
|
70 |
|
120 |
130 |
|
|
|
Определить |
оптимальный |
план |
производства |
каждого |
вида |
продукции, |
|||
максимизирующий прибыль предприятия.
РЕШЕНИЕ:
Переменные:
x11 – количество груза из 1-го склада к 1-у потребителю. x12 – количество груза из 1-го склада к 2-у потребителю. x13 – количество груза из 1-го склада к 3-у потребителю. x14 – количество груза из 1-го склада к 4-у потребителю. x21 – количество груза из 2-го склада к 1-у потребителю. x22 – количество груза из 2-го склада к 2-у потребителю. x23 – количество груза из 2-го склада к 3-у потребителю. x24 – количество груза из 2-го склада к 4-у потребителю. x31 – количество груза из 3-го склада к 1-у потребителю. x32 – количество груза из 3-го склада к 2-у потребителю. x33 – количество груза из 3-го склада к 3-у потребителю. x34 – количество груза из 3-го склада к 4-у потребителю.
Ограничения по запасам:
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 16 (для 1 базы) x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 110 (для 2 базы) x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 100 (для 3 базы)
Ограничения по потребностям:
x11 + x21 + x31 = 60 (для 1-го потребителя.) x12 + x22 + x32 = 70 (для 2-го потребителя.) x13 + x23 + x33 = 120 (для 3-го потребителя.) x14 + x24 + x34 = 130 (для 4-го потребителя.)
Целевая функция:
1x11 + 1x12 + 1x13 + 1x14 + 6x21 + 5x22 + 4x23 + 3x24 + 4x31 + 6x32 + 10x33 + 13x34 → max
Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов
|
1 |
2 |
3 |
4 |
Запас |
|
|
|
|
|
ы |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
16 |
2 |
6 |
5 |
4 |
3 |
110 |
3 |
4 |
6 |
10 |
13 |
100 |
Потре |
60 |
70 |
120 |
130 |
|
бност |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑a = 16 + 110 + 100 = 226
∑b = 60 + 70 + 120 + 130 = 380
Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения превышает запасы груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) базу с запасом груза, равным 154 (226— 380). Тарифы перевозки единицы груза из базы ко всем потребителям полагаем равны нулю.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
Запас |
|
|
|
|
|
ы |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
16 |
2 |
6 |
5 |
4 |
3 |
110 |
3 |
4 |
6 |
10 |
13 |
100 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
154 |
Потре |
60 |
70 |
120 |
130 |
|
бност |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
Этап I. Поиск первого опорного плана.
1. Используя метод наибольшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наибольшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.
Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.
Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наибольшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Искомый элемент равен c34=13. Для этого элемента запасы равны 100, потребности 130. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его.
x34 = min(100,130) = 100.
1 |
1 |
1 |
1 |
16 |
6 |
5 |
4 |
3 |
110 |
x |
x |
x |
13 |
100 - |
|
|
|
|
100 = |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
154 |
60 |
70 |
120 |
130 - |
|
|
|
|
100 = |
|
|
|
|
30 |
|
Искомый элемент равен c21=6. Для этого элемента запасы равны 110, потребности 60. Поскольку минимальным является 60, то вычитаем его.
x21 = min(110,60) = 60.
x |
1 |
1 |
1 |
16 |
6 |
5 |
4 |
3 |
110 - |
|
|
|
|
60 = |
|
|
|
|
50 |
x |
x |
x |
13 |
0 |
x |
0 |
0 |
0 |
154 |
60 - 60 |
70 |
120 |
30 |
|
= 0 |
|
|
|
|
Искомый элемент равен c22=5. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 70. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.
x22 = min(50,70) = 50.
x |
1 |
1 |
1 |
16 |
6 |
5 |
x |
x |
50 - 50 |
|
|
|
|
= 0 |
x |
x |
x |
13 |
0 |
x |
0 |
0 |
0 |
154 |
0 |
70 - 50 |
120 |
30 |
|
|
= 20 |
|
|
|
Искомый элемент равен c14=1. Для этого элемента запасы равны 16, потребности 30. Поскольку минимальным является 16, то вычитаем его.
x14 = min(16,30) = 16.
x |
x |
x |
1 |
16 - 16 |
|
|
|
|
= 0 |
6 |
5 |
x |
x |
0 |
x |
x |
x |
13 |
0 |
x |
0 |
0 |
0 |
154 |
0 |
20 |
120 |
30 - 16 |
|
|
|
|
= 14 |
|
Искомый элемент равен c44=0. Для этого элемента запасы равны 154, потребности 14. Поскольку минимальным является 14, то вычитаем его.
x44 = min(154,14) = 14.
x |
x |
x |
1 |
0 |
6 |
5 |
x |
x |
0 |
x |
x |
x |
13 |
0 |
x |
0 |
0 |
0 |
154 - |
|
|
|
|
14 = |
|
|
|
|
140 |
0 |
20 |
120 |
14 - 14 |
|
|
|
|
= 0 |
|
Искомый элемент равен c43=0. Для этого элемента запасы равны 140, потребности 120. Поскольку минимальным является 120, то вычитаем его.
x43 = min(140,120) = 120.
x |
x |
x |
1 |
0 |
6 |
5 |
x |
x |
0 |
x |
x |
x |
13 |
0 |
x |
0 |
0 |
0 |
140 - |
|
|
|
|
120 = |
|
|
|
|
20 |
0 |
20 |
120 - |
0 |
|
|
|
120 = |
|
|
|
|
0 |
|
|
Искомый элемент равен c42=0. Для этого элемента запасы равны 20, потребности 20. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.
x42 = min(20,20) = 20.
x |
x |
x |
1 |
0 |
6 |
5 |
x |
x |
0 |
x |
x |
x |
13 |
0 |
x |
0 |
0 |
0 |
20 - 20 |
|
|
|
|
= 0 |
0 |
20 - 20 |
0 |
0 |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
Запас |
|
|
|
|
|
ы |
1 |
1 |
1 |
1 |
1[16] |
16 |
2 |
6[60] |
5[50] |
4 |
3 |
110 |
3 |
4 |
6 |
10 |
13[100 |
100 |
|
|
|
|
] |
|
4 |
0 |
0[20] |
0[120] |
0[14] |
154 |
Потре |
60 |
70 |
120 |
130 |
|
бност |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность потребителей удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 1*16 + 6*60 + 5*50 + 13*100 + 0*20 + 0*120 + 0*14 = 1926
Этап II. Улучшение опорного плана.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v4 = 1; 0 + v4 = 1; v4 = 1
u3 + v4 = 13; 1 + u3 = 13; u3 = 12
u4 + v4 = 0; 1 + u4 = 0; u4 = -1
u4 + v2 = 0; -1 + v2 = 0; v2 = 1
u2 + v2 = 5; 1 + u2 = 5; u2 = 4
u2 + v1 = 6; 4 + v1 = 6; v1 = 2
u4 + v3 = 0; -1 + v3 = 0; v3 = 1
|
v1=2 |
v2=1 |
v3=1 |
v4=1 |
u1=0 |
1 |
1 |
1 |
1[16] |
u2=4 |
6[60] |
5[50] |
4 |
3 |
u3=12 |
4 |
6 |
10 |
13[100 |
|
|
|
|
] |
u4=-1 |
0 |
0[20] |
0[120] |
0[14] |
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij.
Максимальная прибыль составит: F(x) = 1*16 + 6*60 + 5*50 + 13*100 + 0*20 + 0*120 + 0*14 =
1926
Ответ:
Анализ оптимального плана.
Из 1-го склада необходимо весь груз направить к 4-у потребителю.
Из 2-го склада необходимо груз направить к 1-у потребителю (60), к 2-у потребителю (50)
Из 3-го склада необходимо весь груз направить к 4-у потребителю.
Потребность 2-го потребителя остается неудовлетворенной на 20 ед.
Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x42=0.
Потребность 3-го потребителя остается неудовлетворенной на 120 ед.
Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x43=0.
Потребность 4-го потребителя остается неудовлетворенной на 14 ед.
Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x44=0.
Задача 12
Мебельная фабрика изготавливает 5 видов продукции: столы, шкафы, диваны, кресла и кровати. Нормы затрат труда, древесины, ткани на производство единицы продукции каждого из видов приведены в таблице. В ней также указана стоимость реализации одного изделия, общее количество ресурсов, предельные объемы изготовления каждого вида мебели.
Ресурсы |
Норма расхода ресурса на единицу продукции |
Общее |
||||
|
Стол |
Шкаф |
Диван |
Кресло |
Кровать |
количество |
|
|
|
|
|
|
ресурсов |
Трудозатраты |
4 |
8 |
12 |
9 |
10 |
3456 |
(человеко-час) |
|
|
|
|
|
|
Древесина (м3) |
0,4 |
0,6 |
0,3 |
0,2 |
0,3 |
432 |
Ткань (м) |
0 |
0 |
6 |
4 |
5 |
2400 |