3.3. Нестационарная теплопроводность. Нагрев массивного тела при граничных условиях III рода
Все тела в зависимости от их способности проводить теплоту делятся на термически тонкие и термически массивные. При все тела независимо от формы и размера способны нагреваться (и охлаждаться) так, что перепад температур по сечению отсутствует. Однако у реальных тел значения коэффициента << (серебро и медь имеют высокие значения , но они не превышают 400). Кроме коэффициента теплопроводности материала условия однозначности учитывают размеры тела, а именно прогреваемую толщину тела (для пластины - половина ее толщины, для цилиндра и шара - радиус, для тел сложной формы - половина наибольшего линейного размера).
Отношение называют внутренним термическим или тепловым сопротивлением тела.
К тонким относятся тела с малым термическим сопротивлением (в пределе /0), к массивным - тела с относительно большим термическим сопротивлением (в пределе /).
У
тонкого тела термическое сопротивление
переносу теплоты теплопроводностью от
его поверхности к середине (внутреннее)
/
значительно меньше термического
сопротивления теплоотдачи 1/
(внешнего), т.е.
Изменение температуры во времени на поверхности и в середине бесконечной пластины при граничных условиях III рода для идеально тонких и идеально массивных тел при двухстороннем нагреве представлено на рис. 4.
Рис. 4. Изменение температуры поверхности и середины
пластины тонких (а) и массивных (б) тел
Отношение термического сопротивления тела переносу теплоты теплoпpoвoднocтью к термическому сопротивлению теплоотдачи представляет собой число подобия Био
(111)
Следовательно, для термически тонкого тела Bi0, для термически массивного тела Bi.
На рис. 5 показано распределение температуры по толщине бесконечной пластины в различные периоды времени нагрева.
Рис. 5. Распределение температуры по толщине пластины
при Bi0 (а) и при Bi (б)
Наиболее распространенным является случай, когда 0,1<Bi<100.
Изменение температуры на поверхности и в середине пластины во времени и распределение ее по толщине пластины для этих условий представлено на рис. 6.
Рис. 6. Изменение температуры пластины во времени (а) и распределение температуры по толщине (б) в условиях, когда Bi конечная величина
В
любой период времени нагрева (
>0) касательные к кривой распределения
температуры на границе пластины выходят
из одной точки А, расположенной на
расстоянии
от поверхности пластины (в безразмерных
переменных). Учитывая, что
,
получим
(в размерных переменных).
Из опыта работы нагревательных устройств установлено, что к тонким телам можно отнести такие, у которых Bi<0,25, а при Bi0,25 тела следует считать массивными.
Расчет
процесса нагревания массивного тела
производится аналитическим или
графическим методом. Аналитичес-кое
решение дифференциального уравнения
теплопроводности (44) с граничными
условиями третьего рода (50) для тела в
форме неограниченной пластины (для
)
имеет вид
(112)
где
- безразмерный коэффициент;
-
корень характеристического уравнения.
Значения
и
в зависимости от числа Био берутся из
табл. 6. Коэффициент
может быть определен также по выражению
(113)
Для
тела в форме неограниченного цилиндра
(для
)
при аналитическом методе расчета
используется выражение
(114)
где
- безразмерный коэффициент;
-
радиус цилиндра;
-
функция Бесселя первого рода нулевого
порядка.
Коэффициенты и в зависимости от числа Био берутся из табл. 7. Коэффициент может быть рассчитан по выражению
(115)
где
- функция Бесселя первого рода первого
порядка.
Значения функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка приведены в прил. 6.
Графический
метод расчета нагревания тела заключается
в том, что по заданным значениям чисел
и
по номограммам, приведенным в прил. 5 на
рис. 1 и 2 (для тела в форме пластины) или
на рис. 3 и 4 (для тела в форме цилиндра),
определяется безразмерная температура
для поверхности и осевой плоскости
тела.
При построении номограммы использованы аналитические зависимости (112) и (113) между числами подобия. Действительное значение температуры определяется из выражения (74):
