lec02

Пример 2.1. Эквивалентность операций над подмножествами и их характеристическими векторами.

Пусть:

U = {α1, α2, α3, α4, α5}, n = 5; S = {α1, α3, α5}; T = {α2, α3};

αS = (1, 0, 1, 0, 1); αT = (0, 1, 1, 0, 0);

21

Изоморфизм булевых алгебр.

Две булевы алгебры M, M называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное соответствие (биективное отображение) между их элементами M M, при котором дизъюнкция двух элементов из М переходит в дизъюнкцию соответствующих элементов из M и обратно, конъюнкция в конъюнкцию, отрицание в отрицание. Т.е. сохраняется соответствие.

↔ ′

22

Теорема о взаимосвязи множества-степени, БА и Вn

Пусть U – некоторое множество, мощность которого равна |U| = n, P(U) – подмножества этого множества, B(U) – булева алгебра высказываний об элементах этого множества и, например, Вn – булев n-мерный куб.

Теорема 2.4. Имеет место следующий изоморфизм:

P(U) B(U) Вn

Доказательство:

P(U) Вn;

U S Вn,

(Теорема 2.3 о взаимно однозначном соответствии между подмножествами и характеристическими векторами).

P(U) B(U);

SA A

(Теорема 1.2 о том, что алгебра высказываний – БА).

Булевы функции.

Функция от n переменных (x1, … xn) называется булевой, если областью ее задания является булев куб Вn, а областью значений – булев куб В1.

задает отображение : Вn В1.

Аргументы x1, … xn принимают значения 0 или 1, сама же тоже принимает значения 0 и 1.

25

Способы задания булевой функции: табличный (лексикографический).

26

Способы задания булевой функции: векторный.

При стандартном употреблении таблицы, т.е. вершин куба Вn, достаточно указать векторные значения

(α1, α2, … αi, … αN)

(эквивалентно табличному). N = 2n

f = (α1, α2, … αi, … αN)

27

Способы задания булевой функции: геометрический.

Вершина булева куба Вn: = (α1, α2, … αi, … αN); называется единичной (единичным набором), если для (x1, x2, … xi, … xn):

(x1, x2, … xi, … xn) = 1

Совокупность вершин единичных наборов для называется носителем функции и обозначается Nf. Носитель полностью задает функцию .

Nf := { Вn ( ) = 1}

28

Теорема 2.5. (о числе булевых функций от n-переменных).22n различных булевых функций от n-переменных.

Доказательство:

Булеву функцию (размерности n) задает вектор

= ( 1, 2,… i, … N) – N–мерный булев вектор (N=2n).

Всего таких векторов N. i 10 , т.е. может принимать 2 значения

{( 1, 2,… i, … N) | i=0 или i=1} = 2n

Если интерпретировать количеством носителей Nf, то все единичные наборы для образуют P( ) (множество степень , т.е. множество всех подмножеств для ) для которого

P( ) = 2|γ| = 22n

При n≤2 это обозримое число, поэтому все БФ интуитивно понятны и их