Литература и лекции / MathAn20180303

Определение

Пусть f : R ! R: Функция f(x) строго возрастает на промежутке (a; b) ; åñëè 8x1; x2 2 (a; b ; ) таких, что x1 < x2 ; можно доказать справедливость неравенства f(x1) < f(x2) :

Обозначение: f(x) " на промежутке (a; b) :

Определение

Пусть f : R ! R: Функция f(x) íåстрого возрастает на промежутке (a; b) ; åñëè 8x1; x2 2 (a; b) ; таких, что x1 < x2 ; можно доказать справедливость неравенства f(x1) · f(x2) :

Обозначение: f(x) % на промежутке (a; b) :

Определение

Пусть f : R ! R: Функция f(x) строго убывает на промежутке (a; b) ; åñëè 8x1; x2 2 (a; b) ; таких, что x1 < x2 ; можно доказать справедливость неравенства f(x1) > f(x2) :

Обозначение: f(x) # на промежутке (a; b) :

Определение

Пусть f : R ! R: Функция f(x) íåстрого убывает на промежутке (a; b) ; åñëè 8x1; x2 2 (a; b) ; таких, что x1 < x2 ; можно доказать справедливость неравенства f(x1) ¸ f(x2) :

Обозначение: f(x) & на промежутке (a; b) :

Замечание. В дальнейшем, для краткости, вместо двух слов "строго возрастает" будет применяться одно слово "возрастает", а вместо двух слов "строго убывает" будет применяться одно слово "убывает".

1

Определение

Пусть f : R ! R: Функция f(x) достигает локального минимума в точке x0 2 R; åñëè 9 ± > 0 ; такое, что 8x 2 (x0¡±; x0+±) ; x =6 x0 ; справедливо неравенство f(x) > f(x0) ; (или, что равносильно, f(x) ¡ f(x0) > 0).

Обозначение: f(x0) = min f(x) :

Определение

Пусть f : R ! R: Функция f(x) достигает локального максимума в точке x0 2 R; åñëè 9 ± > 0 ; такое, что 8x 2 (x0¡±; x0+±) ; x =6 x0 ; справедливо неравенство f(x) < f(x0) (или, что равносильно, f(x) ¡ f(x0) < 0).

Обозначение: f(x0) = max f(x) :

Определение

Пусть f : R ! R: Функция f(x) имеет в точке x0 2 R локальный экс-

тремум, если она достигает в этой точке локального минимума либо локального максимума.

Пример

Доказать, что функция f(x) = x3 не имеет локальных минимумов.

Доказательство

Зададим произвольную точку x0 2 R и любое сколь угодно малое ± > 0 : Возьм¼м любое x èç ± окрестности точки x0 ; но такое, что x < x0 : Возведение строгого неравенства в куб есть равносильное преобразование, следовательно,

x < x0 =) x3 < x30 =) f(x) < f(x0) :

Последнее (синее) неравенство противоречит (çåë¼íîìó) неравенству f(x) > f(x0) â

определении минимума.

Аналогично можно доказать, что f(x) = x3 не имеет локальных максимумов.

2

n я производная функции f(x) (иными словами, производная порядка n) есть производная е¼ (n¡1) й производной.

Обозначение: f(n)(x) = (f(n¡1)(x))0 ; èëè dnf(x) = d µdn¡1f(x)¶ :

dxn dx dxn¡1

"Нулевая" производная функции f(x) есть сама функции f(x) : Обозначение: f(0)(x) = f(x) :

Примеры

(xk)0 = kxk¡1.

(xk)00 = (xk)(2) = ((xk)0)0 = (kxk¡1)0 = k(k ¡ 1)xk¡2.

(xk)000 = (xk)(3) = ((xk)00)0 = (k(k ¡ 1)xk¡2)0 = k(k ¡ 1)(k ¡ 2)xk¡3.

(xk)0000 = (xk)(4) = ((xk)000)0 = (k(k ¡ 1)(k ¡ 2)xk¡3)0 = k(k ¡ 1)(k ¡ 2)(k ¡ 3)xk¡4.

Круглые скобки в верхнем индексе (в данном случае, синие) ставятся для того, чтобы порядок производной не путать с показателем степени. Нельзя сказать, что это

всегда безупречно помогает. Вместо f(n)(x) удобнее писать dnf(nx) : Удобнее, понятнее,

dx

но и длиннее.

Åñëè k натуральное число, то все производные функции xk порядка (k + 1) и выше тождественно равны нулю.

3

Теорема Ферма (о необходимом условии экстремума) Пусть f : R ! R: Пусть функция f(x):

1)дифференцируема в точке x0 ;

2)имеет локальный экстремум в точке x0 : Тогда f0(x0) = 0 :

Доказательство

Предположим, f(x) имеет в точке x0 локальный минимум. Это, по определению минимума, означает: 9 ± > 0 такое, что f(x) ¡ f(x0) > 0 ; 8 x 2 (x0 ¡ ±; x0 + ±) ;

x =6 x0 :

Левосторонняя производная

неположительна по теореме о предельном переходе в неравенствах (для функций). Правосторонняя производная

неотрицательна по той же теореме.

По теореме о связи производной с двумя односторонними производными

Совместить последнее равенство с неравенствами f0(x0 ¡ 0) · 0 ; f0(x0 + 0) ¸ 0 возможно только при f0(x0 ¡ 0) = f0(x0 + 0) = f0(x0) = 0 :

Доказательство закончено.

4

Случай локального максимума рассматривается аналогично.

Замечание В теореме Ферма формулируется необходимое условие экстремума. Это условие

íå является¯ достаточным. Например, для функции f(x) = x3 справедливо равенство f0(0) = 3x2¯x=0 = 0 ; однако, данная функция не имеет экстремумов.

Теорема о достижении наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции (вторая теорема Вейерштрасса)

Без доказательства.

Замечание

Во второй теореме Вейерштрасса точка x1 обеспечивает наименьшее, точка x2 обеспечивает наибольшее значение функции на замкнутом промежутке [a; b] : Äëÿ íåзамкнутых промежутков (то есть, для множеств [a; b) ; (a; b) ; (a; b]) утверждение теоремы было бы, вообще говоря, неверным.

Замечание Наибольшее/наименьшее значение и локальный максимум/минимум ýòî, âî-

обще говоря, не одно и то же.

Например, наименьшее значение функции f(x) = x2 на промежутке [1; 2] åñòü f(1) = 1 ; тогда как локальный минимум, равный f(0) = 0 ; достигается вне промежутка [1; 2].

5

Замечание Выделенное в пункте 2б красным цветом утверждение является стандартным

для учебно методических материалов, по которым вед¼тся математическая подготовка студентов технических и экономических специальностей. И действительно, для всех

функций f(x), используемых в технической и экономической сферах, красное утвер-

ждение верно.

Однако, это утверждение неверно с точки зрения придирчивого математика теоретика. Кому неинтересно, тот может не читать текст, выделенный далее мелким шрифтом.

то есть, разрыв функций Φ(x) , Φ0(x) в точке x = 0 является устранимым. Именно такое устранение разрыва совершено при определении функций f(x), f0(x).

На Рис. 1 2 показаны графики функции f(x) è f0(x), построенные с помощью сайта http://www.wolframalpha.com.

7

Ðèñ. 1

На промежутке [¡0:4; +0:4] функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Наимень-

шее значение функции f(x) достигается, в частности, во внутренней точке x1 = 0. Следовательно, мы

имеем полное право проследить, верно ли доказательство теоремы Ролля "с опорой" на эту точку. Из Рис. 1 видно, что при x ! 0 функция f(x) совершает бесконечно много колебаний. Ши-

рина и размах колебаний уменьшаются по мере приближения к точке x = 0. Самые мелкие из таких

колебаний "теряются" в толщине линии графика. Локальные минимумы у функции есть, и их бесконечно много, и все они равны наименьшему значению функции на промежутке. Кстати, один из

таких минимумов, достигаемый в точке A íà Ðèñ. 1 (xA = 2=9), как раз и обеспечивает целевое равенство f0(xA) = 0. Но, вспомним, мы уже взялись разбираться с точкой x1 = 0, где функция достигает

наименьшего значения на промежутке.

По Рис. 2, где показан график функции f0(x), видно, что при x ! 0 функция f0(x) также со-

вершает бесконечно много колебаний, ширина и размах которых уменьшаются по мере приближения к проблемной точке x1 = 0.

8

Ðèñ. 2

Как уже отмечено, функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Однако, хотя точ-

êà x1 = 0 и является внутренней точкой наименьшего значения функции на промежутке, она íå

является точкой локального минимума!

Доказательство этого парадоксального факта предоставляется слушателям. И, в первую оче- редь, тем, кто претендует на оценку "отлично".

Конечно, теорема Ролля верна для нашей экзотической функции f(x) (и точка A íà Ðèñ. 1

это подтверждает). В строгом е¼ доказательстве красное утверждение пункта 2б должно быть заменено каким то другим, безупречным. Но такая замена сделала бы доказательство теоремы чрезмерно сложным, а эта сложность способна привлечь и чему то полезному научить только будущих математиков теоретиков.

9

Теорема Лагранжа

Пусть f : R ! R. Пусть f(x):

1)непрерывна на замкнутом промежутке [a; b] ;

2)дифференцируема на открытом промежутке (a; b) :

Доказательство Рассмотрим вспомогательную функцию

'(x) = f(x) ¡ f(a) ¡ (x ¡ a) ¢ f(b) ¡ f(a) ; b ¡ a

которая:

1)непрерывна на замкнутом промежутке [a; b] ;

2)дифференцируема на открытом промежутке (a; b) ; ïðè÷¼ì,

'0(x) = f0(x) ¡ f(b) ¡ f(a) ; b ¡ a

3) '(a) = '(b) = 0 :

Таким образом, функция '(x) подчиняется условиям теоремы Ролля. Согласно этой теореме, существует такое c 2 (a; b) ; ÷òî '0(c) = 0 : Но тогда

'0(c) = f0(c) ¡ f(b) ¡ f(a) = 0 ; b ¡ a

10