ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
1. (сonst) / =0;
степенные функции
2. (u n ) / = n u n−1 u / ;
2a. |
(x) / =1; |
|
|
|
|
|
|
||||
2b. (u 2 ) / = 2 u u / ; |
|||||||||||
2c. |
( |
1 |
) / = − |
1 |
|
u / |
; |
|
|
||
|
u 2 |
||||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
|||||
2e. |
( |
|
u ) / = |
1 |
u / ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
( n xm = x |
m |
|
|
1 |
= x− |
m |
|||||
n |
; |
|
|
n |
) |
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
xm |
|
|
|
показательные функции
3. (a u ) / = a u ln a u / ;
3a. (eu ) / = eu u / ;
логарифмические функции
4. (loga u)/ = u 1ln a u / ;
4a. (ln u) / = u1 u / ;
( ln |
a |
= ln a −ln b; ln a n = n ln a ) |
|
b |
|||
|
|
тригонометрические функции
5.(sin u) / = cos u u / ;
6.(cos u) / = −sin u u / ;
7.(tg u) / = cos12 u u / ;
8.(ctg u) / = − sin12 u u / ;
обратные тригонометрические функции
9. |
(arcsin u) / = |
1 |
u / ; |
|
1 −u 2 |
|
|
10. |
(arccos u) / = − |
1 |
u / ; |
|
|
1 −u 2 |
11.(arctg u) / = 1 +1u 2 u / ;
12.(arcctg u) / = −1 +1u 2 u / ;
гиперболические функции
13.(sh u)/ = ch u u/ ;
14.(ch u) / = sh u u / ;
15.(th u) / = ch12 u u / ;
16. (cth u) / = − sh12 u u / ;
показательно – степенные функции
17. (u v ) / = u v ln u v / + v u v −1 u / .
модуль функции
18. u / =sgn u u / , ( u =sgn u u) ,
1, u > 0
где sgn u = −1, u < 0; – функция знак u
0, u =0.
(сигнум u).
Правила дифференцирования
1.(сu) / = c u / ; 1a. ( uc ) / = 1c u / ;
2.(u ±v)/ = u / ±v/ ;
3.(u v) / =u / v + u v / ;
4. |
( |
u |
) / = |
u / v −u v / |
; |
|
v |
v 2 |
|||||
|
|
|
|
|||
5. |
сложная функция |
|
(F (u( x)) / = Fu/ ux/ ;
6. параметрически заданная функция
|
x = x(t), |
/ |
|
yt/ |
// |
( y x/ )t/ |
|
|
|
||||
|
|
|
y x = |
|
|
; y xx = |
|
|
; |
|
|
||
|
xt/ |
xt/ |
|
|
|||||||||
|
y = y(t) |
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
|
неявно |
|
заданная |
|
|
функция |
||||||
|
y = y( x) уравнением |
|
|
|
|
|
|||||||
|
F ( x, y) = 0; чтобы |
найти |
производную |
||||||||||
неявно |
заданной |
функции, |
нужно |
||||||||||
продифференцировать |
обе |
|
части |
||||||||||
уравнения F ( x, y) = 0, считая |
y функцией |
||||||||||||
от |
х |
и |
применяя |
|
правило |
5 |
|||||||
дифференцирования сложной функции; |
|
||||||||||||
8. логарифмическое дифференцирование |
|
||||||||||||
|
y = f ( x) ln y = ln f ( x); |
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
y / = (ln f (x)) / . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ (u = u( x))
1. ∫0 du = c;
степенные функции
um+1
2.∫u m du = m +1 + c; m ≠ −1;
3.∫duu = ln u + c;
( n xm = x |
m |
1 |
= x− |
m |
||
n |
; |
n |
) |
|||
|
|
n |
xm |
|
|
|
показательные функции
4. ∫a u du = a u + c; ln a
4a. ∫eu du = eu + c;
дробные рациональные и иррациональные функции
5. |
∫ |
|
du |
|
|
= |
|
|
1 |
arctg |
u |
+ c; |
|||||
u |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
+ a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|||||
6. |
∫ |
|
du |
|
|
= |
|
1 |
|
u − a |
|
+ c; |
|||||
|
|
|
ln |
|
|||||||||||||
u |
2 |
2 |
|
|
|
2a |
u + a |
||||||||||
|
|
|
− a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
∫ |
|
a |
2du |
|
|
2 |
= arcsin u + c; |
|||||||||
|
|
|
− u |
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||
8. |
∫ |
|
u |
2du |
|
|
2 |
= ln u + u 2 ± a 2 + c; |
|||||||||
|
|
|
± a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тригонометрические функции
9.∫sin u du = −cos u + c;
10.∫cos u du =sin u + c;
11.∫cosdu2 u = tg u + c;
12.∫sindu2 u = −ctg u + c;
гиперболические функции
13.∫sh u du = ch u + c;
14.∫ch u du = sh u + c;
15.∫chdu2 u = th u + c;
16.∫shdu2 u = −cth u + c;
∫ f (x)dx = F (x) +C F / (x) = f (x)
Непосредственное интегрирование
du = ux/ dx dx = |
|
du |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
u / |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u = ax +b dx = |
d (ax +b) |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||
∫ |
1 |
|
|
|
|
dx = |
1 |
|
|
(ax +b)1−m |
|
+c; |
|||||||||||||||
|
(ax +b) |
m |
|
|
|
|
1 −m |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
1 |
|
|
|
ax |
+ b |
|
+ c; |
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ax + b |
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
u = (ax |
3 |
+b) dx |
= |
d (ax3 +b) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3ax2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫x2 сos(ax3 +b) dx = |
|
1 |
sin(ax3 +b) + c; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3a |
|
|
|
||||||
u = mx dx = |
d (mx) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
mx |
|
|
|
|||||||
∫ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+c; |
|||||||||||||||||
|
a 2 −(mx)2 = m arcsin a |
основные свойства неопределенного интеграла
1.∫(u ± v)dx = ∫udx ± ∫vdx;
2.∫αudx =α∫udx;
3.d ∫u( x)dx =u( x)dx;
4.∫du = u + c;
замена переменной u = u(t) du = ut/ dt;
∫ f (u)du = ∫ f (u(t))ut/ dt;
интегрирование по частям
∫udv = uv − ∫vdu.
ПРИЛОЖЕНИЯПРОИЗВОДНОЙ
Теоремы Роля, Лагранжа, Коши
Теорема |
Если |
Ролля |
f (x) : |
|
1. непрерывна на отрезке [a, b]; |
|
2. дифференцируема на интервале (а, b); |
|
3. принимает равные значения |
|
на концах отрезка, |
|
то есть f (a) = f (b), |
|
|
Лагранжа |
f (x) : |
|
1. непрерывна на отрезке[a, b]; |
|
2. дифференцируема на интервале(а, b), |
|
|
Коши |
f (x) и g(x) : |
|
1. непрерывны на отрезке [a, b]; |
|
2. дифференцируемы на интервале (а, b); |
|
3. g / (x) ≠ 0 |
|
во всех точках интервала (а,b), |
|
|
то существует хотя бы одна точка ξ,
a < ξ < b, что f / (ξ) = 0
существует хотя бы одна точка ξ, a < ξ < b, что
f (b) − f (a) = f / (ξ)(b −a)
существует хотя бы одна точка ξ, a < ξ < b, что
f (b) − f (a) |
= |
f / (ξ) |
|
g(b) − g(a) |
g / (ξ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f (x) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) |
|
∞ |
|
|
|
|
|
f ′( x) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
= |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
= |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
g(x) |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g( x) |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
№ |
Вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат преобразований |
|
|||||||||||||||||
п/п |
неопределен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразования |
|
|
|
|
|
(c, d – const ≠ 0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{0 ∞} |
|
|
f (x) h(x) = |
|
f (x) |
= |
|
|
h( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
– |
применить |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h( x) |
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правило Лопиталя |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2.1 |
|
. дроби привести к общему знаменателю; |
|
|
|
|
c |
|
|
|
= ∞ ; |
|
|
c |
= 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2.2 |
. умножить и разделить разность |
функций |
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сопряженное выражение, если это разность |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
квадратных корней; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
= 0 ; |
|
|
|
|
∞ |
= ∞ ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2.3 |
. умножить и разделить разность |
функций |
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
неполный квадрат суммы этих функций, если |
|
c |
|
|
с |
c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
это разность корней кубических; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
{∞ −∞} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2.4 |
|
. f (x) − h(x) = |
h( x) − f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
– применить |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) h(x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правило Лопиталя |
|
||||||||
|
{1∞ }, |
|
3.1. |
y = u v ln y = v ln u; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
{00 }, |
|
lim ln y = A lim y = e A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
См. выше |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
{∞0 }. |
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3.2. y =uv |
=ev ln u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследования функции без применения производных
№ |
Цель |
Действия |
Вывод |
|||
п/п |
исследования |
|||||
|
|
|
|
|||
|
Найти область |
Найти точки, в которых |
Исключить найденные точки |
|||
1 |
функция не определена или не |
из области определения |
||||
определения |
задана (точки разрыва графика |
функции |
||||
|
функции |
|||||
|
функции) |
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Если хотя бы один из |
|
|
|
Вычислить односторонние |
односторонних пределов в |
|||
|
Найти |
пределы функции в точках |
исследуемой точке равен |
|||
|
разрыва и в точках, |
бесконечности, то график |
||||
2 |
вертикальные |
«подозрительных» на разрыв |
функции имеет вертикальную |
|||
|
асимптоты |
для кусочно-аналитической |
асимптоту: |
|||
|
|
функции |
lim f ( x) = ∞ x = a – |
|||
|
|
|
|
|
x→a ±0 |
|
|
|
|
|
|
вертикальная асимптота |
|
|
|
Если f (−x) = f ( x) , |
Ограничиться исследованием |
|||
|
Исследовать |
то функция четная. |
функции на интервале (0, ∞) . |
|||
|
|
|
|
График четной функции |
||
3 |
функцию |
Если f (−x) = − f ( x) , |
симметричен относительно |
|||
на четность |
то функция нечетная |
оси OY, график нечетной |
||||
|
||||||
|
и нечетность |
|
|
|
функции симметричен |
|
|
|
|
|
|
относительно начала |
|
|
|
|
|
|
координат |
|
|
|
T – период функции – |
Ограничиться исследованием |
|||
|
Исследовать |
(наименьшее из всех |
на интервале, по длине равном |
|||
|
возможных значений, |
периоду T, за пределы |
||||
4 |
функцию на |
|||||
удовлетворяющих уравнению: |
интервала продолжить график |
|||||
|
периодичность |
|||||
|
|
f ( x + T ) = f ( x) |
функции периодическим |
|||
|
|
|
|
|
образом |
|
|
Найти точки |
Решив уравнение y = f ( x) = 0 , |
Точка пересечения графика с |
|||
|
найти x0 : f (x0 ) =0 . |
осью OX: (x0 ,0) . |
||||
5 |
пересечения |
|||||
с осями |
Найти y(0) = y0 |
Точка пересечения графика с |
||||
|
||||||
|
координат |
|
|
|
осью OY: (0, y0 ) |
|
|
Найти |
Вычислить пределы |
Если k и b – конечные числа, |
|||
|
наклонные, в |
k = lim |
f (x) |
и |
то уравнение наклонных |
|
6 |
|
асимптот y = kx + b , причем, |
||||
частности, |
x→±∞ |
x |
||||
|
горизонтальные |
b = lim ( f ( x) − kx) |
при к =0 асимптота |
|||
|
асимптоты |
x→±∞ |
|
|
горизонтальная y = b |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследования функции с применением производных |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Цель |
|
|
|
|
|
Действия и вывод |
|
|
||||
исследован |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
п/п |
|
ия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.1. Найти критические точки первого порядкаxi ,i =1,2,..., n : |
||||||||||
|
|
|
y / |
( xi ) = 0 или y / ( xi |
) = ∞, или y / ( xi |
) − не существует |
|
|
|||||
|
|
|
(необходимое условие существования экстремума функции в точке); |
||||||||||
|
|
|
1.2.1. Применить первое достаточное условие существования |
||||||||||
|
|
|
экстремума функции в критической точке: |
|
|
||||||||
|
монотонностиинтервалыНайти и точки экстремумовлокальныхфункции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
x < x1 |
|
|
x1 |
|
x > xx |
||||
|
y / |
|
|
|
|
|
Критическая точка |
|
+ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
первого порядка |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y |
|
Функция убывает |
(x1 , y(x1 )) − точка |
|
Функция |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
минимума |
|
возрастает |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x < x2 |
|
|
x2 |
|
x > x2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y / |
|
|
|
|
|
Критическая точка |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
первого порядка |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
Функция возрастает |
(x2 , y(x2 )) − точка |
|
Функция |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
максимума |
|
убывает |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1.2.2. Если x3 и x4 |
– стационарные точки (все производные до (2к–1) |
|||||||||
|
|
|
порядка равны нулю), можно применить второе достаточное условие |
||||||||||
|
|
|
существования экстремума функции в точке: |
|
|
||||||||
|
|
|
y(2k ) (x ) > 0 (x , y(x )) −точка локального минимума; |
||||||||||
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(2k ) (x |
) < 0 (x , y(x |
)) −точка локального максимума; |
||||||||
|
|
|
|
4 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(2k ) (x ) = 0, y(2k +1) ≠ 0 |
– в точке (x , y(x )) экстремума нет. |
|||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2.1. Найти критические точки второго порядка x j , j =1,2,..., m : |
||||||||||
|
интервалыНайтивыпуклости |
вогнутостии графика точкиифункцииперегиба |
y // (x j ) =0 или y // (x j ) = ∞, или y // (x j ) − не существует |
||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(необходимое условие существования точки перегиба графика); |
||||||||||
|
|
|
2.2. Применить достаточные условия выпуклости и вогнутости графика |
||||||||||
|
|
|
и существования точек перегиба: |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
x |
|
x < x6 |
|
|
x6 |
|
|
x > x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y // |
|
|
|
|
Критическая точка |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
второго порядка, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График функции |
(x6 , y(x6 )) − точка |
|
График функции |
||||
|
|
|
|
|
|
вогнутый |
|
перегиба |
|
|
выпуклый |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|