книги из ГПНТБ / Планирование и анализ сельскохозяйственного производства с использованием математических методов и ЭВМ сб. науч. тр
.pdfМИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА СССР
О Д Е С С К И Й СЕ Л Ь С К О Х О ЗЯ Й С Т В Е Н Н Ы Й ИНСТИТУТ
ПЛАНИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И ЭВМ
(сборник научных трудов)
Одесса — 1974
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА СССР
О Д Е С С К И Й С ЕЛ Ь СК О Х О ЗЯ Й СТ В ЕН Н Ы Й ИНСТИТУТ
ПЛАНИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И ЭВМ
(сборник научных трудов)
ОДЕССА — Ю74
Гр°- и наѵчно-> бивпмо > а
W - / # &
4 ?
■ Wг
>
V
РЕДА'К'ЦИО'Н'ВАЯ КОЛЛЕГИЯ:
Профессор Браславец М. Е. — ответственный редактор; доцент Сухору- . ков В. Ф., доцент Журженко А. В.,: доцент Ушачев И. Г.; старший мето
дист Зарембовская Т. П. — ответственный секретарь.
•9
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РАЗВИТИЯ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
ЛУЩУК в. О., КАЛЕНОВ О. С.
В условиях социалистического ведения хозяйства научно обоснованное прогнозирование приобретает все большее зна чение. В связи с этим в настоящее время, естественно, воз никает целый ряд вопросов о предпосылках, принципах, фор мах и методах научного предвидения будущих состояний.
Сложность проблемы экономического предвидения, разно образие факторов, обусловливающих экономические процес сы, вызывают необходимость применения различных методов, от выбора которых в значительной мере зависит достовер1 ность конечных результатов [1].
Множество методик и приемов, используемых при разра ботке прогнозов, все более настойчиво требует их системати зации, построения общих принципов и методов прогнозиро вания, обобщения накопленного опыта и создания научно обоснованной методики, позволяющей выбирать методы в за висимости от сроков прогнозирования, прогнозируемого объ екта, условий и задач данного прогноза, позволяющей доста точно точно оценить достоверность получаемых результатов.
Таким образом, изучение существующих методов научно обоснованного прогнозирования, а также разработка новых, более совершенных и теоретически обоснованных, представ ляет определенный интерес.
При экономическом прогнозировании широко используют ся методы математической статистики, экспертных оценок, экстраполяции и интерполяции, эвристического прогнозирова ния, экономико-математического моделирования и др.
Наиболее простым и часто используемым является' метод экстраполяции по формуле линейного тренда. В более общем случае строят экстраполяцию с помощью цепного тренда, об ладающего довольно «удобными» для анализа свойствами.
3
Каждый метод прогнозирования достаточно эффективен в условиях ограниченной области его применения.
В этой связи нами делается попытка разработать более общий метод, позволяющий формулировать предвидения на основании сравнительно небольшого объема исходной инфор мации'. Суть предлагаемого метода заключается в примене нии теории подобия к семейству кривых, описывающих изу-' чаемый объект.
Известно, что любой прогнозируемый объект в экономиче ском смысле характеризуется системой некоторых показате лей, зависимость между которыми в общем случае имеет вид:
Г (хі, х2,..., х „)= 0 |
( 1) |
Практика показывает, что для описания одного и того же экономического объекта разными исследователями использу ется различный (в количественном и качественном отноше нии) набор экономических показателей. Это приводит к то му, что конкретный вид зависимости (1), описывающей один и тот же объект, оказывается неодинаковым. Между тем, сле дует считать, что функция Г (хь хг,..., х„) имеет одну и ту же форму, независимо от того, какие и в каком количестве пока затели, обозначенные хь Х2,..., х„, использованы исследова-
-телями. Иначе говоря, зависимости, описывающие одинако вые экономические объекты, подобны, а кривые, соответству ющие им, геометрически родственны.
Такие кривые характеризуются определенной системой постоянных подобия. Это означает, что для любых двух со
ответственных точек с координатами (х/, |
х2',..., |
хп') и (х/', |
х2" .......х„") имеют место равенства: |
|
|
|
|
(2) |
где Ci, С2,..., с„ — так называемые константы подобия. |
||
Подобие кривых в указанном смысле |
можно |
использо |
вать для экономического прогнозирования. |
|
|
С этой целью разложим уравнения кривых (1) в ряд Тей лора в окрестностях соответственных точек и запишем для них условия цодобия. В результате получим уравнения, свя зывающие производные одного и того же порядка от функ ций, описывающих различные кривые. Эти уравнения можно интерпретировать как условия, которым должны удовлетво рять коэффициенты аппроксимационных полиномов, состав-
4
ленные на основании статистических данных. Такие аппрок-' симациониые полиномы могут быть отождествлены с рядами Тейлора для соответствующих кривых, что позволяет полу чить уравнения указанных кривых в замкнутой форме.
Далее, применяя указанные операции по отношению к каждому из факториальных показателей, описывающих дан ный экономический объект, получим уравнение связи резуль тативного показателя со всей совокупностью факториальных в явном и замкнутом виде. Это дает возможность предсказы вать значения результативного показателя для любого набо ра факториальных показателей.
Рассмотрим теперь последовательное изложение предла гаемого метода, ограничиваясь, для простоты, случаем зави симости результативного показателя z только от двух факто риальных показателей х и у.
Уравнение связи в самом общем случае имеет вид: |
|
|
z = f (х, |
у). |
(3) |
Изображая зависимость (3) |
на плоскости (у, г), |
полу |
чим однопараметрическое семейство кривых. Каждая кривая семейства описывает изменение результативного признака при постоянном значении одного из' факториальных призна ков. .
Уравнения каких-либо двух кривых рассматриваемого се
мейства, |
например,.і-й и j-й, |
имеют вид: |
|
|
|
|||||
|
|
|
z = z (х ,, |
у) , |
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
z = z (ху, |
у). |
|
|
|
|
- (5) |
|
Разложим |
функций |
z(x,, |
у) и z(xy-, |
у) |
в ряды Тейлора |
|||||
в окрестностях точек yt |
и уу- |
соответственно, [2]. |
||||||||
|
z(x„ y )= z(x „ |
у,) + --у -dZ^ |
1J 1/ |
у—У/) f |
||||||
|
|
У;) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
dy |
|
|
(y- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
2! |
dy2 |
|
|
1 б"г(хг, :h ) ( |
||||||
Уй Т — -Г n! |
v |
|
dy" |
|
|
|||||
|
Z(Ху, y)=z(Xy, |
|
1 , dz(xy, .уу) |
(yу-—Уу)+ |
||||||
|
|
|
dy |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||
1 d2z(xy, уj) |
|
1 |
d"z(xy, Уу) |
|||||||
|
( У -У у Г + И / у ) . |
|||||||||
+ 2Г — |
|
(у—Уу)2+ * " + і т г — |
|
Зуй— |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.5 |
Будем считать основной ту кривую рассматриваемого семей
ства, которая соответствует |
х = 0 . |
Тогда, |
поскольку |
измене |
|
ние X от 0 до X,, |
или изменение х от 0 до х у эквивалентно со |
||||
ответствующему |
изменению |
у и z, |
можно |
считать, |
что все |
кривые семейства есть основная кривая, рассматриваемая в различных системах координат. Введем поэтому координаты (y', z'= u ) — для і-й кривой и координаты (у", z"= v) — для
j -й кривой, по формулам: |
|
|
|
|
Z(X;, |
У)=и(Х„ |
у 'Ж / I |
(8) |
|
У = У |
Ч С / |
г |
||
|
||||
z(X/, У)=ѵ(Ху, |
у"Ж у I |
(9) |
||
|
||||
У = У " + С / |
|
{' |
Вследствие того, что
У — У ( = У /— У / .
dfz(Xf, |
у) _ |
dfu(xf. |
у') |
dyz |
|
dy" |
’ |
(1=1, 2,..., n);
У - У у= У '- У / .
d'z(xy, у) |
d'v(xy, у") |
dyz — dy'"
(1=1, 2,..., n),
разложения (6) и (7) приобретают вид:.
и(Х/і y')= u (x„ у / )+ -у|- du^ y / ' } (y'—У/) +
(10)
( И )
(12)
J - d M x ^ y /) |
и |
/)2g_ |
" |
1 |
dnu(x„ у/) |
(y'—y/r+R/y'), |
||
г 2! |
dy'2 |
Уі ’ ' |
п! |
dy fix |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
dv(x.-, у/) |
|
|
|
v(xy, y ")= v (x ., y f ) + Tl |
|
V dyy/r - 4 y,/- y / ) + |
|||||
|
|
1 |
d2v(x/, y/) |
|
|
(13) |
||
|
+ 2Г |
|
|
V |
|
- y / ) a+ - + |
||
|
|
1 d"y(x.-, y/') |
|
|
|
|||
|
+ |
ГГ — |
dy |
(y"-y/')n4-R/y"). |
||||
|
|
n! |
|
|
|
|
|
6
Последние два выражения можно переписать следующим образом:
п 1
где ст = 2
к=т k!
і „ = І ■1 k—mk!
u(x„ y ') = 2 c'«y,ni- |
|||
|
|
|
m—0 |
v(xy, y " ) - 2 d-y',m, |
|||
|
|
|
/n=0 |
d*u(x„ a) |
k |
k_m |
|
dy'* |
|
|
’ |
dftv(x/, |
b) |
rk-m\-,k-m |
|
v 1 |
' |
||
dy"* |
|
* |
|
а = - У / ', |
b = y / . |
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Преобразование основной кривой семейства в другие кри вые представляет собой, в общем случае, не только перенос, но и сжатие или растяжение. Поэтому для нахождения тех условий, которые обеспечивают совпадение і-й и j-й кривой, введем координаты
* |
U |
y' |
* |
У' |
(19) |
u |
17’ |
* |
V |
(20) |
|
* |
v |
|
y" |
|
|
v = |
i ? |
y' |
|
V |
|
% Так как разложения в ряды Тейлора должны осущест
вляться в окрестностях соответствующих точек, то последние соотношения могут быть переписаны в виде:
и* = |
и (х „у ') |
’ у' |
у' |
(21) |
и(х„ у/) |
у |
а |
£ |
* |
> |
||
II |
* > |
II |
|
|
(22)
В координатах (21) и (22) уравнения (14) и (15) запасываются следующим образом:
u*u(x/t у / )= 2 1 стуг*т у/я‘. |
(23) |
v*v(xy, y / ) = i d my / my/m- |
(24) |
т-О |
|
7
Потребуем, |
чтоб при у** = У/*=у* совпали и* и ѵ*. В ито |
|||
ге получим: |
|
|
|
|
1 |
сту ,' Ѵ я - |
1 |
І а яу / Ѵ я . (25) |
|
и(х/. У/) 2 |
ѵ(ху,-у/) |
|||
|
Последнее выражение должно быть справедливо при про извольных значениях у*, а потому должны быть равны ко эффициенты при одинаковых степенях у* в правой и левой частях (25):
|
|
с«УГ |
|
d .y Г |
|
|
|
п |
п). |
(26) |
|
|
и(х/, у/) |
ѵ(ху, у/) ’ {т и' |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
Используя далее (16) и (17), преобразуем |
(26) к виду: |
||||||||||
V 1 |
гг-ті |
, |
ІЧ dru(x,., а) |
|
|
drv(xy, b) |
}=°, |
||||
— 7 Г |
r |
I ѵ(хл b)---- ------— |
а —u(x/>а)----— — V |
||||||||
|
|
|
|
|
du' |
|
|
|
|
dy" |
|
|
|
|
|
|
(m =0, |
|
1,..., n). |
|
|
(27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Наконец, вводя постоянные подобия |
х и X в соответствии |
||||||||||
с формулами |
|
и(Хц_а) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(28) |
||
|
|
|
|
v.(xy, b) |
|
’ |
b |
’ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
преобразуем |
(27): |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
я |
1 |
r, _ m{ dru(x, а) |
|
* |
X d' v^ ' Ь) 1 - 0 . |
(29) |
||||
|
2 т г |
|
|
|
|
||||||
|
' |
1 |
dy,r |
|
|
|
dy"r |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из последнего выражения следует, что |
|
|
|||||||||
|
|
|
d'u(x„ а) |
|
d'v(xy, b) |
|
(30) |
||||
|
|
|
--------- ;-----\ 1—X |
|
|
dy'" |
= 0 |
|
|||
|
|
|
|
dy'1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-0,1, |
n). |
|
|
|
||
Условия (30) |
в исходной системе координат имеют вид: |
||||||||||
|
|
|
z(x,. УЛ— |
|
|
УгCf |
?; |
|
|
||
|
|
|
z(xy, Уу) |
Су |
•’ |
Уу—Су |
’ |
|
|
||
|
|
|
d'2(Xi, у,) |
W |
|
d'z(x), Уу) |
Л |
|
|
||
|
|
|
|
dy' |
х |
|
|
dy' |
_ и ’ |
|
|
. |
• |
|
|
|
(1 — 1 ,2 ...... |
|
|
|
8
Пусть аппроксимационные полиномиальные уравнения рассматриваемых кривых имеют в'координатах (у, z) вид:
z(x„ y ) = g 0= g i y + g 2y2+ -.-|-g „y " .
z(xj, у) = h0 = hIy + h 2y2f ...- f h„y".
Производные этих полиномов таковы:
dfez(xf, У) |
П |
г |
l-k |
|
2 |
||||
. dy* |
(I—к)! g'y |
|||
d*z(-x./, У) _ |
^ |
Г |
h/y' - ft. |
|
dy* |
â i |
(І^к)! |
(32)
(33)
(34)
(35)
Записывая (32), (33), (34) и (35) в точках у = у , и у—уу-, соответственно, получим с помощью (31):
|
g ^ - x h z= 0 , |
(1=1, |
2,..., |
п). |
(36) |
g o + g i y |
f +2y/2+g - + |
g ny ;n- ^ |
, г |
У - С |
, |
ho+hjyy+h2y / + ...+ h ny / —£,■ |
’ |
у —Су |
|
||
Обычно, при обработке статистических данных к аппрок |
|||||
симационному |
полиному |
предъявляется |
требование |
мини |
мальности квадратов отклонений расчетных точек от экспёриментальных. Если дополнительно к этому аппроксимацион ные полиномы будут удовлетворять условиям (36) и (37), то они будут разложениями Тейлора уравнений рассматривае мых кривых в замкнутой форме. Следовательно, сворачивая удовлетворяющие всем указанным условиям аппроксимаци онные полиномы, можно получить уравнения кривых в замк нутой форме. - \
Замкнутые уравнения могут быть .использованы для про гнозирования экстраполяцией в неисследованную область из менения факториальных и результативного признаков.
Такое прогнозирование возможно в связи со следующим обстоятельством. Замкнутое, единое по форме для всех кри вых семейства, уравнение содержит гораздо меньшее количе ство. констант, чем аппроксимационные полиномы. Если чис ло констант, входящих в замкнутую форму уравнения, мень ше (или равно) числа замечательных точек, известных из тео рии, то сразу же можно получить замкнутое уравнение кри вой для любого значения, факториального показателя х.
9