книги из ГПНТБ / Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория)

плотности поля, являющегося суперпозицией регулярно­ го сигнала и гауссовой помехи, также Р-представим.

Для Р-представимых операторов плотности задача статистического описания поля сводится к отысканию классического функционала распределения вероятностей для амплитуд монохроматических плоских волн а(р, ш). С этим функционалом взаимооднозначно связан харак­

где через s для краткости обозначена совокупность пе­

диться, взять нормальную форму получающегося опе­ ратора:

о свойствах сигнала в рамках его классического описа­

излучения и полезного сигнала.

Фоновое излучение будем представлять в виде супер­ позиции некоррелированных плоских волн с равномер­ ным угловым распределением- интенсивности в пределах рассматриваемого сектора. При рассмотрении поля на апертуре естественно учитывать только составляющие электромагнитного поля, лежащие в плоскости аперту­ ры, поскольку только они определяют поток мощности через апертуру. Корреляционные функции для этих со­

50

весьма сложный вид *>. Чтобы не усложнять задачу, будем использовать скалярную модель фонового излу­ чения с функцией корреляции вида

J,(CÛ

приходящегося на единичный телесный угол. Множи­ тель cos Ѳ в этой формуле введен для учета ослабления вклада в поток мощности за апертурой 'плоских волн, приходящих под большими углами к нормали. Физи­ чески такое ослабление должно происходить, однако его учет в модели фонового излучения для дальнейшего рассмотрения не является принципиально необходимым.

Заметим, что величина Л^ф(со)А,2 (\к=2л/к— длина волны) может быть истолкована как средняя энергия элементарной плоской волны, т. е. энергия, приходя­ щаяся на одну степень свободы электромагнитного по­ ля. В этом легко убедиться, рассматривая сначала поле в конечном объеме с какими-либо граничными условия­ ми, а затем устремляя размеры объема к бесконечности. Отсюда следует, в частности, что для равновесного излучения

где %(Ù — энергия кванта, Ѳ—температура (в энергети­ ческих единицах).

Для простоты и единообразия рассмотрения весьма заманчиво считать полезный сигнал также суперпози­ цией независимых плоских волн. Это допущение спра­ ведливо в очень многих важных для практики случаях. Преждевсего, это относится к классическому случаю точечного источника излучения и апертуры, размеры которой малы_по сравнению с размерами -первой зоны Френеля ]/*Ä,r (Л- — длина волны, г — расстояние от источника до центра апертуры). Условие это обычно выполнено в астрономии, однако при наблюдении за

*' Эти корреляционные функции имеют такой же вид, как и для теплового излучения полупространства [17].

объектами и приеме сообщений на Земле или в около­ земном космосе оно может нарушаться. Учет сферич­ ности волны, излученной точечным источником, незна­ чительно усложняет теорию и не является поэтому обременительным.

Если источник можно представить в виде совокупно­ сти точечных излучателей, расположенных близко друг •к другу, то для суммарного поля на апертуре (расстоя­ ние от центра апертуры до источника велико) справед­ ливо следующее приближение:

диус-вектор, проведенный из центра апертуры к у'-му

-лениях, когда волны плоские, а сферичность волны 'про­ является так, как если бы источник был точечным. При переходе к непрерывному распределению излучателей сумму в (1.4.15) следует заменить интегралом по на­ правлениям прихода волн.

Втипичном случае некогерентного излучения или рассеяния (например, рассеяние сильно шероховатой поверхностью) волны элементарных излучателей имеют независимые случайные фазы, принимающие любые зна­

чения из интервала 0—2л с одинаковой вероятностью. Суперпозицию большого числа таких волн можно счи­ тать подчиняющейся гауссову распределению с нулевым средним значением и функцией корреляции

R (г,, г„, m) = (yjr,, ш) у* (r2 > со)) =

= S i * j I2 exp {lk [\ г, - г,I - I r 2 - г,|]} « i

~ e x P { - 1 - £ r [ r ' - r 2 - ( p ° r ' ) 2 + (p °r *)2 l} X

52

Моменты поля с неодинаковым числом перемножаемых значений у я у* будут, очевидно, равны нулю согласно предположению о свойствах фаз элементарных излу­ чателей.

Переходя к непрерывному распределению интенсив­ ности сигнала по направлениям, получаем

где I (р) — плотность потока энергии, приходящей из единичного телесного угла.

Из полученных формул видно, что при рассмотрении статистических характеристик поля, полностью опреде­ ляемых в гауссовом приближении функцией корреляции, условия представимости поля в виде суперпозиции ста­ тистически независимых плоских волн становятся менее жесткими, чем при рассмотрении реализаций. Множи­ тель перед интегралом в (1.4.17) можно отбросить, если

где D — диаметр апертуры, L — линейный размер источ­ ника.

Это условие обычно выполняется в оптической лока­ ции. Если размер апертуры имеет величину порядка А./Ѳо, которая требуется для определения очертания и разме­ ров источника, то условие (1.4.18) можно заменить следующим:-

Для устройств связи при использовании в излучаю­ щей системе коллимации светового пучка или ОКГ представление поля в виде суперпозиции независимых плоских волн оправданно в еще большей степени, чем для совокупности точечных излучателей.

53

На разрешающую способность и точностные харак­ теристики оптических систем существенно влияют флюк­ туации, связанные с рассеянием света на турбулентных неоднородностях среды. Эти флюктуации 'представляют интерес для ряда приложений оптики (астрономия, гео­ дезия и т. д.). Не ставя задачу полного обзора работ в этой области, ограничимся описанием свойств и .коли­ чественных характеристик флюктуации.

Флюктуации фазы ср(г) поля на апертуре, располо­ женной перпендикулярно направлению распространения волны, можно рассматривать как гауссово случайное поле со стационарными приращениями. Если турбулент­ ность подчиняется закону Колмогорова — Обухова, то структурную функцию фазы при плавном изменении параметров турбулентности можно записать в -виде [18]

АДІ

где X и /' должны быть измерены в сантиметрах. Фазовые флюктуации приводят к ошибкам измере­

ния угла прихода волны. Если определить измеряемое значение угла как средний по апертуре наклон фронта волны по отношению к плоскости апертуры, то средне­ квадратичное значение ошибки, обусловленной фазовы­

54

При фазовых флюктуацнях существенно снижается разрешающая способность приемных систем с большой апертурой. Приближенно можно считать, что при доста­ точно больших размерах апертуры разрешающая спо­ собность определяется радиусом г„ когерентности поля, определяемым из условия

по формуле iAlcpi~<À/2r„. Экспериментальные измерения разрешающей способности [21] в видимом диапазоне

Например, для Паломарской обсерватории наиболее ве­

Радиус корреляции этих флюктуации равен примерно размеру золы Френеля. Закон 'распределения іна доста­ точно коротких трассах близок к логарифмически нор­ мальному і[22], а дисперсия оыі2 логарифма интенсив­ ности растет пропорционально расстоянию, как это следует из теории, основанной на методе плавных воз­ мущений. На больших расстояниях от источника экспе­

^1,7. Для наклонной трассы [19, 23] получены значения

флюктуации принимаемого сигнала ослабляются благо­ даря усреднению по апертуре. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении приемников, собирающих энергию со

флюктуации поля в фокусе объектива, связанных с фа­ зовыми искажениями на апертуре ![24]. Кроме атмосфер­ ного рассеяния причиной этих искажений могут быть неточности изготовления оптической системы. Считая

55

флюктуации фазы, подчиняющиеся гауссову распреде­ лению, легко получить выражение для функции корре­ ляции тюля в фокусе объектива

Рассматривая (1.4.22) при условии, что радиус коге­ рентности искаженного поля на апертуре мал по срав­ нению с размерами апертуры, легко показать, что ра­ диус фокального пятна от точечной цели связан с ра­

в каждой точке фокальной плоскости некоррелированы, если Следовательно, сигналы от целей, разре­ шаемых идеальной оптической системой, несмотря на наличие искажений, суммируются в фокальной плоско­ сти по интенсивности. Указанные свойства флюктуации будут использованы в дальнейшем.

ОХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИЕМНИКОВ, ФОРМИРУЮЩИХ КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ПОЛЯ

Втипичном оптическом приемнике принимаемый сиг­ нал— поле, попадающее на апертуру оптической систе­ мы, подвергается следующим преобразованиям. Снача­ ла системой линз, зеркал, призм, светофильтров произ­ водится пространственная и спектральная фильтрация сигнала, описываемая линейным интегральным 'преобра­ зованием входного поля по координатам и по .времени. Затем сигнал поступает на фотодетектор, преобразую­ щий мощность светового потока, в . электрическийток.

56

Упрощенно преобразование поля фотодетектором можно

цией, учитьшающей инерционность фотодетѳктора. Очень часто после детектирования сигнал подвергается допол­

весьма широкого класса 'способов обработки. В данной главе будут рассмотрены характеристики надежности обнаружения и точности измерений параметров сигнала для таких опособов обработки. Это позволит установить общий для идеальных и реальных приемников характер всех основных зависимостей, определяющих качество

налов поля, измеряемых в приемнике. Каждый такой функционал можно записать в виде

S —со

координатам; Vj(u, г2 , h) обладает следующим свой­ ством:

*> Общин подход, •иопользовашый здесь, предложен в [25].

57

где

Формулы (2.1.1) — (2.1.3) охватывают, в частности, случай произвольной пространственно-временной линей­ ной фильтрации с последующим детектированием (пере­ ходом к интенсивности поля) при наличии и при отсут­ ствии последетекторного сглаживания (фильтрации ин­ тенсивности) .

Если последетекторное сглаживание отсутствует, то

где Uj(p, 0 —весовая функция; p—параметр, по кото­ рому производится последетекторное сглаживание (им •может быть направление при дифракции на апертуре, номер канала, координата в фокусе линзы и т. п.); gj(P> г, t, f) —импульсная переходная функция додетекторного фильтра.

Если параметры этого фильтра постоянны и

gj(P, г, t, fi)=gj(p, г, i—h),

58

регистрирующего прибора и ее размеры велики по сравнению с длиной волны для всего рассматриваемого спектра частот, условие (2.1.9) можно упростить. При интегрировании по р произведения UjUk получим инте­ грал

î e ^ - ^ | / ( p ) | « r f p .

Если считать, что волны,' приходящие на апертуру под углом Ѳ к нормали ослабляются пропорционально cos Ѳ, то этот интеграл, уже встречавшийся при выводе выражения (1.4.14) для функции корреляции фонового излучения, равен

равномерный в области пространственных частот р<к и обращающийся в иѵль при p>k. Эта функция быстро

59