книги из ГПНТБ / Никитенко А.Г. Проектирование оптимальных электромагнитных механизмов

ёСЛн вблизи минимума функция Изменяется примерно одинаково по всем направлениям. Если же в окрестно­ стях минимума /(X) изменяется резко по одним направ­ лениям и слабо по другим, скорость сходимости метода мала. Градиентные методы относятся к группе линейных [Л. 37]. Здесь при построении следующей итерации функция /(X) аппроксимируется линейной.

Более точно позволяют найти точку минимума квад­ ратичные методы, в которых вблизи минимума функция /(X) аппроксимируется квадратичной, а затем опреде­ ляется минимум этой квадратичной формы.

Среди группы квадратичных методов следует указать на метод сопряженных градиентов, впервые предложен­ ный М. Р. Хестенсом и Е. Штифелем [Л. 38] для решения систем алгебраических уравнений. Позже [Л. 39] метод был обобщен на случай минимизации нелинейных функ­ ций и может быть записан в виде

X W = xh + ahSh.

S ° = - /'(Х°);

Sfc=—n x * ) + ß kSA-b

о _ІГ (Х*).Р (X ^ -n x * -1)]

р/t [/' (X*-1), n x “- 1)]

Величина au при этом определяется так же, как в ме­ тоде наискорейшего спуска. Через несколько итераций метод рекомендуется обновлять, т .е. в точке X'1 вновь выбирать Sft= —// (ХЙ).

Описанные выше методы позволяют вести поиск экстремума функции f(X) при отсутствии ограничений на переменные. Учет ограничений может быть осущест­ влен несколькими способами (Л. 40]. В случае ограни­ чений типа равенств (43) укажем метод «штрафов», сущность которого состоит в замене задачи определения условного экстремума функции цели с ограничениями вида (43) поиском безусловного экстремума новой функции

W(X) = f(X) + k, 2 [<7г(Х)]2;

і=і

41

здесь Äi>0 — коэффициент, величину которого целесооб­ разно выбирать из условия

И 7'(Х )»ПХ ),

где №"(Х) — градиент функции W (X),

Значение і/р целесообразно изменять, выбирая внача­ ле малым, а затем увеличенным в окрестностях экстре­ мума. Использование «штрафной» функции приводит к автоматическому исправлению нарушения ограниче­ нии при очередном шаге.

При наличии ограничений типа неравенств (44) так­ же может быть использована функция «штрафа» в виде

8

w{X) = n x ) + k £ [я*, (X)]2,

где

Р *Д Х )={ ЛДХ) при Р Д Х )> 0

Опри Pj(X )< 0;

Pj(X) — /г-мерный вектор ограничений.

В некоторых случаях задачу определения оптималь­ ных параметров электромагнита удается свести к отыс­ канию экстремума нелинейной функции двух (или трех) переменных. Здесь эффективным оказывается примене­ ние одного из простейших методов безградиентного по­ иска— метода сканирования. Суть метода состоит в по­ следовательном определении критерия оптимальности в ряде точек, расположенных в области допустимых зна­ чений параметров. В случае двух независимых перемен­ ных Хі и Х2 определение критерия оптимальности ведет­ ся при заданном значении одной переменной Х2 для ряда значений Хи отстоящих друг от друга на величину шага ДХі по переменной Хі. Алгоритм поиска строится таким образом, чтобы вычислительная машина отбра­ сывала варианты, для которых не удовлетворяются ограничения, а из тех случаев, в которых ограничения удовлетворяются, запоминала вариант, соответствующий минимуму (максимуму) критерия оптимальности. После окончания поиска лучшего варианта во всем диапазоне изменения Хі значение переменной Х2 изменяется на ве­

личину шага АХ2и т . д .

Достоинства описываемого метода заключаются в том, что при малых величинах шагов ДЛ'і и ДЛЛ2 опре-

42

деляется абсолютный (глобальный) экстремум функ­ ции. Независимость процедуры поиска от вида оптими­ зируемой функции и функций ограничений также являет­ ся большим преимуществом метода сканирования. При­ менительно ік задачам оптимизации электромагнитов важным является возможность установления «чувстви­ тельности» оптимизируемой функции к изменению от­ дельных параметров вблизи экстремума.

Находят применение различные алгоритмы поиска методом сканирования (последовательный перебор узлов пространственной сетки, поиск с переменным шагом, ска­ нирование по спирали), использование которых позволя­ ет уменьшить объем вычислений [Л. 42]. При поиске, например, с переменным шагом применяется поэтапное уменьшение шага ДАЛ При этом количество необходи­ мых вычислений по сравнению с перебором узлов прост­ ранственной сетки уменьшается и может быть определе­ но по формуле

N2=-Nid-™ + г (2dА) ’■],

где N2 — количество вычислений при поиске с перемен­ ным шагом; Nі — то же при последовательном переборе узлов пространственной сетки; п — число переменных; А — точность определения оптимума; г — число этапов, на которых шаг уменьшается в d раз.

А^етоды случайного поиска не. рассматриваем, как не нашедшие применения при проектировании электромаг­ нитов ![Л. 40—45].

Глава г ре ть я

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТА С ВТЯЖНЫМ ЯКОРЕМ

ИСТОПОМ

7.Постановка задачи

Для рассматриваемого типа электромагнита восполь­ зуемся выражением тягового усилия (34), справедливым для случая, когда магнитное сопротивление стали маг­ нитопровода мало по сравнению с сопротивлением рабо­ чего зазора. Опыт показывает [Л. 11, 30 и др.], что в большинстве практических случаев при наличии воз­ душного зазора оптимальными являются ненасыщенные

43

магнитные системы. Однако если пренебречь магнитным сопротивлением стали при использовании (34) для выбо­ ра оптимальных параметров, можно получить нереаль­ ные значения индукции в элементах магнитопровода. Чтобы избежать этого, необходимо поиск параметров электромагнита вести при условии, что индукция в наи­ более насыщенной части магнитопровода не превзойдет наперед заданного значения. В электромагните с втяж­ ным якорем наиболее насыщенным является сечение, не­

общий характер, выразим основные геометрические раз­ меры электромагнита с конической формой сердечника

(34) и (35) и полагая гс3>ѵ, тяговое усилие и индук­ цию в воротничке представим в виде

( 47)

44

hTF

•(/ + m r)

Критерии оптимальности (габаритный объем, массу, стоимость активных материалов и потребляемую мощ­ ность) івыразим также через относительные размеры. На основании (37) безразмерное значение объема можно представить в виде

Ѵ % = ^ г = ^ - ( Х = + 1) ( z + y + n - f І ) = Ѵ ( Х , у , z, V).

(49)

Массу, выраженную в безразмерной форме (для мед­ ного провода), получим, используя (38):

46

где сг=ДпрѴпр/(Дстуст)— соотношение плотностей и стоимостей единиц массы обмоточного провода и стали.

«о+ иг)

Из (53) получим:

А = у У /r*sin а/и (1/)Г Г).

Учитывая приведенные соотношения, можно записать:

46

оптимальных параметров электромагнита сводится к на­

у. При этом другие две переменные определяются соответственно по (54) и (55). Расчет целесообраз­ но вести для различных значений F* = F*„, В* —

= 0*з, а также sin a, ß,

и а, определяемых назна­ чением, условиями рабо­ ты и конструкцией элек­ тромагнита.

Для определения опти­ мальных значений пара­ метров X, у , г И V ‘МОЖНО использовать различные методы отыскания экстре­

бы, например, применить

этом пришлось бы ис­ пользовать выражения частных производных

Рис. 6 . Алгоритм определения оптимальных параметров элек­ тромагнита методом сканиро­ вания.

47

функций Лагранжа по переменным А' и у , которые в дан­ ном случае получаются сложными. Учитывая, что целе­ сообразно исследовать влияние отдельных параметров на поведение целевых функций, т. е. «чувствительность»

изменения величин F*3, У*г.мин, т*мин, С*шш и Р*тт за­ висимости, связывающие эти величины, построены в логарифмическом масштабе. На рис. 7 приведены кривые In 1/*г.міш=/(1пF*3) при В*3 —const и оптимальных зна­ чениях параметров X, у, z и ѵ. Учитывая вид кривых, их можно заменить ломаными, состоящими из нескольких

48