m_ukazanija__01
.doc
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
_
Кафедра высшей математики
векторная алгебра и аналитическая геометрия
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И
ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ
Москва 2007
С о с т а в и т е л и:
доцент, кандидат физико-математических наукТ.А.Мацеевич
Примеры решения задач по векторной алгебре и аналитической геометрии
Задание №1
Разложить вектор = {9, 4} по векторам = {2, -3} и = {1, 2}.
Решение.
Найдем коэффициенты и в разложении: = +.
Запишем эту формулу в координатах. Сначала вычислим координаты правой части:
+= {2; -3} + {1; 2} = {2 + ; -3 + 2}.
Эти координаты должны равняться соответствующим координатам вектора , следовательно: .
Решим эту систему уравнений методом исключения переменных.
Ответ: = 2 + 5.
Задание №2
Проверить коллинеарность векторов = {2, -1, 3} и = {-6, 3, -9}.
Решение.
Если векторы и коллинеарны, то их координаты должны быть пропорциональны. Проверим это.
, т.е коэффициент пропорциональности существует и равен .
Ответ: II .
Задание №3
Дан вектор = {2, -1, 3}. Найти модуль вектора , координаты его орта и направляющие косинусы.
Решение.
а) Найдем модуль вектора :
.
б) Найдем координаты орта :
= .
в) Найдем направляющие косинусы вектора :
;
;
.
Ответ: , , ,,.
Задание №4
Проверить ортогональность векторов = {-6, -3, 2} и = {1, 2, 6}.
Решение.
Если , то их скалярное произведение . Найдем .
.
Ответ: .
Задание №5
Найти угол между векторами = {3, 0, 4} и = {7, 0, 1}.
Решение.
Пусть - угол между векторами и . Тогда
.
Найдем скалярное произведение:
.
Найдем модули векторов и :
;
.
Найдем :
.
Тогда .
Ответ: .
Задание №6
Найти вектор , перпендикулярный векторам = {2, -2, -3} и = {4, 0, 6}.
Решение.
Так как и , то (векторное произведение векторов и ).
{-12, -24, 8}.
Ответ: {-12, -24, 8}.
Задание №7
Вычислить площадь параллелограмма ABDC и треугольника ABC, если А(0, 2, 2), B(1, -2, 3), C(-1, 2, 1), D(0, -2, 2).
Решение.
Найдем векторы и :
= { 1, -4, 1},
= {-1, 0, -1}.
Найдем векторное произведение полученных векторов:
={4, 0, -4}.
Найдем длину полученного вектора
.
Найдем площадь параллелограмма ABDC:
.
Найдем площадь треугольника ABC:
.
Ответ: , .
Задание №8
Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках A(2, -1, 1), B(5, 5 , 4),
C(3, 2, -1), D(4, 1, 3).
Решение.
Найдем координаты векторов , , :
{3, 6, 3},
= {1, 3, -2},
= {2, 2, 2}.
Вычислим смешанное произведение этих векторов:
Найдем объем пирамиды:
.
Ответ: .
Задание №9
Проверить компланарность векторов = {2, 3, -1}, = {1, -1, 3} и = {1, 9, -11}.
Решение.
Вычислим смешанное произведение векторов , и :
Так как , следовательно, векторы , и - компланарны.
Ответ: , и - компланарны.
Задание №10
Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (3; 1) и (5; 4).
Решение.
Подставляя данные координаты точек и в формулу
,
получаем искомое уравнение прямой
,
,
,
.
Ответ: .
Задание №11
Две прямые заданы уравнениями и . Найти угол между этими прямыми.
Решение.
Угловые коэффициенты данных прямых:
.
Поэтому по формуле
,
находим
.
Таким образом, угол между данными прямыми равен
.
Ответ: .
Задание №12
Показать, что прямые и параллельны.
Решение.
При приведении уравнения каждой прямой к виду
получаем:
или ;
и
или .
Откуда видно, что угловые коэффициенты .
Следовательно, прямые параллельны.
Ответ: т.к. , данные прямые параллельны.
Задание №13
Показать, что прямые и перпендикулярны.
Решение.
Приведя уравнения каждой прямой к виду
получаем:
или , где - угловой коэффициент,
и
или , где - угловой коэффициент.
Откуда видно, что угловые коэффициенты .
Следовательно, прямые перпендикулярны.
Ответ: т.к. , данные прямые перпендикулярны.
Задание №14
Составить уравнение плоскости проходящей через точку (1; 1; 1) перпендикулярно вектору {2; 2; 3}.
Решение.
По формуле
,
где - координаты точки, лежащей в плоскости, а- координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости, искомое уравнение будет:
,
.
Ответ: .
Задание №15
Найти каноническое уравнение прямой заданной пересечением плоскостей:
.
Решение.
Полагая, например, , из системы
или
получаем
и
Таким образом, точка (1; 2; 1) искомой прямой найдена.
Теперь определим направляющий вектор . Так как прямая определена пересечением плоскостей, то она перпендикулярна каждому из нормальных векторов и . Поэтому, в качестве вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный векторам и , например их векторное произведение .
Так как координаты векторов известны:
= {3; 2; 4}
= {2; 1; -3},
то
{-10; 17; -1}
или
= -10, = 17, = -1.
Подставляя найденные значения , , и , , в равенства:
,
получаем каноническое уравнение данной прямой:
.
Ответ: .
Задание №16
Найти точку пересечения прямой с плоскостью .
Решение.
Параметрические уравнения прямой имеют вид
,
,
.
Для определения точки пересечения прямой и плоскости подставим выражения для x, y, z из уравнения в уравнение плоскости. Получаем
,
,
откуда находим
.
Следовательно, координаты точки пересечения будут:
,
,
.
Итак, прямая и плоскость пересекаются в точке (; ; ).
Ответ: точка пересечения (; ; ).
Задание №17
Дана система линейных уравнений:
Решить эту систему:
а) по формулам Крамера,
б) с помощью обратной матрицы.
Решение.
а) Найдем определитель, состоящий из коэффициентов перед переменными:
Посчитаем определитель, у которого 1-ый столбец заменяется столбцом свободных членов:
.
Посчитаем определитель, у которого 2-ой столбец заменяется столбцом свободных членов:
.
Посчитаем определитель, у которого 3-ой столбец заменяется столбцом свободных членов:
.
Найдем значения x, y и z по формулам Крамера:
;
;
.
Ответ: , , .
б) Рассмотрим матрицы:
- матрица, состоящая из коэффициентов перед переменными;
- матрица, состоящая из свободных членов;
- матрица, состоящая из неизвестных.
Тогда, в матричной форме система линейных уравнений может быть записана следующим образом:
.
Если , то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле:
,
где - обратная матрица к матрице . Найдем .
.
Найдем определитель матрицы A:
обратная матрица существует.
Определим алгебраические дополнения :
; ; ;
; ; ;
; ; .
Посчитаем :
.
Найдем :
.