- •Неопределенные интегралы
- •Введение
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменной ( метод подстановки )
- •3.3. Интегралы вида
- •Интегрирование по частям
- •Основные классы интегрируемых функций
- •1.Дробно-рациональные функции
- •Утверждение 1.4
- •Способ частных значений. Умножаем тождество (*) на и приходим к равенству. Придаваяподходящие конкретные значения, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов разложения.
- •2. Тригонометрические функции
- •3. Некоторые иррациональные функции
- •3.1. Интегрирование рациональной функции вида
- •3.2.1. Подстановки Эйлера.
- •Оглавление введение 3 основные свойства неопределенного интеграла 3
- •3.2.1. Подстановки Эйлера 24
Г.В.Гусельникова
Н.В.Ракита
Неопределенные интегралы
Типовой расчет
Введение
Функция ,определенная и непрерывная на том же множестве, что и функция, называетсяпервообразной функции , если
Очевидно, что если -первообразная функции, то+С, где С-произвольная константа, также является первообразной.
Имеет место следующее утверждение: две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга только на некоторую постоянную.
Следовательно, если - первообразная функции, то множество всех первообразных функцииимеет вид+С.
Множество всех первообразных функции называетсянеопределенным интегралом от функции и обозначается
Обычно пишутгде-любая перво-образная функции. Интеграл может быть записан в любом из видов:
Отсюда видно, что операция нахождения интеграла от данной функции, называемая интегрированием, является действием, обратным дифференцированию.
Основные свойства неопределенного интеграла
, если перво-образные функций исуществуют.
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..
16..
17..
18..
.
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Непосредственное интегрирование
Нахождение неопределенного интеграла состоит в основном в преобразовании подинтегрального выражениятаким образом, чтобы получить табличные интегралы.
В некоторых случаях удобно представить подинтегральную функцию в виде суммы двух слагаемых и вычислять сумму неопределенных интегралов от слагаемых ( Метод разложения:
если ).
Пример 1.
Пример 2.
2.Метод подведения под знак дифференциала
( метод введения нового аргумента)
Таблица интегралов справедлива независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или функцией ( инвариантность формул интегрирования).
Если
где функция непрерывна вместе со своей производной.
Преобразование подинтегрального выражения к такому виду называется подведением под знак дифференциала.
Таким способом можно найти многие интегралы, не прибегая к более сложным методам.
Так как , то
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Пример 7.
Пример 8.
=
Пример 9.
Пример 10.
Замена переменной ( метод подстановки )
Замена переменной или метод подстановки является одним из основных методов интегрирования. Нередко приходится прибегать к подстановке в процессе вычисления интегралов другими методами.
Пусть функция непрерывна, функции,взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы, тогда
Функция подбирается таким образом, чтобы подинтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид.
При применении подстановки главная трудность состоит в том, чтобы получить подинтегральную функцию , первообразная которой известна.
Излишне упоминать о том, что не каждая подстановка ведет к упрощению. Когда подстановка выгодна и какую именно подстановку следует применить и рассматривается далее.
3.1.Интеграл вида При вычислении интегралов этого вида целесообразна замена
Интеграл вида заменойприводится к интегралу
Пример 11.
=
Пример 12.
3.2.Интегралы вида ,
заменой приводят к интегралам
Вычисление этих интегралов в зависимости от знака числа сводится к вычислению интегралов вида
Каждый из них представляет собой сумму двух интегралов, один из которых табличный, а другой вычисляется подведением под знак дифференциала ( см. примеры 4,5 ).
Замечание. В частном случае
(См. также пример 9).
Пример 13.