книги / Методические указания к проведению практических занятий по разделу математическая статистика дисциплины Основы системного анализа и математической статистики

Число степеней свободы k n 1.

Пример 11

Используя t - критерий Стьюдента для равных по численности выборок, принять или отклонить гипотезу о том, что в результате отработки навыков время решения эквивалентных задач , имеющих один и тот же алгоритм решения, будет значимо уменьшаться.

Нулевая гипотеза H0: время решения задач не отличается. Альтернативная гипотеза H1: время решения третьей задачи меньше

времени решения первой.

Результаты измерения времени решения (в мин.) первой и третьей

задач у восьми испытуемых, а также необходимые расчеты представим

в виде таблице 7.

22

Решение:

Вначале произведем расчет по формуле

Число степеней свободы k 8 1 7. По таблице критических точек распределения Стъюдента при уровне значимости 0,05 находим tкр 2,37.

Таким образом, на 5% уровне значимости среднее время решения

третьей задачи существенно меньше среднего времени решения первой

задачи. В терминах статистических гипотез делаем вывод: на 5%

уровне принимается гипотеза H1.

4.3. F -- критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выборочных дисперсий двух выборок. Для вычисления F'эмп нужно найти отношение

дисперсий двух выборок с объемами n1 и n2, причем так, чтобы

большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая знаменателе.

23

выборки. В таблице 18 Приложения 6 критические значения F-критерия Фишера Fкр находятся по величинам k1 и k2 .

Для применения F-критерия Фишера необходимо, чтобы сравниваемые выборки были распределены по нормальному закону. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

Пример 12

В двух третьих классах школы проводилось тестирование умственного развития десяти учащихся. Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует

существуют ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Результаты тестирования представлены в табл. 8.

24

Решение:

Как видно из таблицы, величины средних в обеих группах практически совпадают между собой 60,6 63,6. Величина t - критерия Стьюдента оказалась равной 0, 347 и незначимой.

Вычислим дисперсии для переменных X и Y

Для F – критерия Фишера при степенях свободы k1 k2 10 1 9 находим Fкр:

Fкр 3,18для 0,05

Психолог может утверждать, что по степени однородности умственное развитие, имеется различие между выборками из двух

классов.

4.4. Критерий 2 (Пирсона)

Критерий Пирсона – наиболее часто употребляемый критерий для проверки простой гипотезы о законе распределения. Наблюдаемое значение критерия:

m- число интервалов, на которые разбит вариационный ряд,

ni - эмпирическая частота, ni' - теоретическая частота i – го интервала.

находим квантиль 2,k , где k (m r 1) число степеней свободы, r - число параметров предполагаемого распределения. Если распределение нормальное, то оценивают два параметра (a, ), число степеней свободы k (m 3). Таким же будет число степеней свободы в случае равномерного распределения (оцениваемые параметры a и b ). В случае показательного распределения

оценивается один параметр, следовательно k (m 2).

7. Если эмп2 кр2 , то гипотеза H0 не противоречит опытным данным.

Если эмп2 кр2 , то гипотеза H0 отвергается.

Число опытных данных при использовании критерия 2 должно быть большим, критерий справедлив при n . Достаточно большим должно быть и число наблюдений ni в отдельных интервалах, не менее 5-10. Если ni в отдельных интервалах мало, то следует объединить интервалы.

27

Пример 13.

В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда:

28

Решение:

Составляем вариационный ряд:

Таблица 10

Для заполнения столбцов 1,2 и 7 таблицы 11 (подробно их

заполнение рассмотрено в примере 1) вычислим

29

Используя данные столбцов 1,2,7, находим выборочное среднее:

x1 k xiсni

n i 1

30

Далее заполняем столбцы 3,4,5,6 и рассчитываем

генеральной совокупности не противоречит опытным данным.

4.5. Критерий А.Н. Колмогорова

Вводят в рассмотрение функцию, которая называется статистикой Колмогорова

Dn max Fn (x) F0 (x)

x

Fn (x) nnx , где nx - сумма наблюдаемых значений меньших x .

F0 (x) nnx' , где nx' - сумма теоретических значений меньших x

Пример 14.

Используя данные примера 13, и приняв в качестве нулевой

гипотезу H0: генеральная совокупность, из которой извлечена

выборка, подчинена нормальному закону распределения, проверить её по критерию Колмогорова. Уровень значимости 0,01.

Решение:

Воспользуемся результатами вычислений примера 13.