книги / Строительная механика машин

В случае если, например, пластинка нагружена равномерно распределенной по поверхности нагрузкой интенсивностью q, то величина перерезывающей силы Q на расстоянии r от центра пластинки определяется из уравнения

Таким образом, если Q представлена в функции r, то уравне-

ния (1.44), (1.45) без всяких затруднений можно будет проинтегрировать в любом частном случае, а постоянные интегрирования найти из граничных условий.

1.5. Учет граничных условий при расчете пластин

Рассмотрим некоторые случаи закрепления пластин:

1. В случае, когда пластинка защемлена на границе х = а (рис. 1.11), прогиб по этому краю равен нулю и плоскость, касательная к изогнутой срединной поверхности, совпадает на нем с начальным положением срединной плоскости пластинки (угол поворота равен нулю). Тогда граничные условия имеют вид:

h

х = а

Рис. 1.11. Схема жестко защемленной пластины

21

2. Если пластинка свободно оперта на границе х = а (рис. 1.12), то прогиб этого края должен быть равен нулю. В то же время этот край может свободно поворачиваться относительно оси х; это значит, что изгибающие моменты Мх об-

ращаются на нем в нуль. Тогда граничные условия имеют вид:

∂2 w

Также наряду с этим обращается в нуль ∂y2 , поэтому уравне-

ния (1.47) можно считать эквивалентными уравнениям:

не содержащим коэффициента Пуассона .

3. Если край пластинки совершенно свободен (рис. 1.13), то естественно принять, что по этому краю нет ни изгибающих или крутящих моментов, ни вертикальных перерезывающих сил, т.е.:

22

ного определения удовлетворяющих дифференциальному уравнению С. Жермен прогибов достаточно двух условий. На этом основании объединенное требование относительно потенциальной энергии Ux от действия крутящего момента Мху и перерезывающей силы Qx

для свободного края принимает вид

(1.17), получаем окончательно для свободного края при х = а:

Условие, чтобы изгибающие моменты на свободном крае были равны нулю, требует выполнения следующего равенства:

Уравнения (1.51) и (1.52) представляют собой два необходимых граничных условия для свободного края пластинки.

23

2.ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

ВТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

Вданном разделе учебно-методического пособия изложена теория вариационных методов [1, 2], описано практическое применение их к решению задач теории пластинок и оболочек. Вариационные методы обладают рядом достоинств по сравнению с численными методами и позволяют выполнять приближенные решения многих практически важных задач строительной механики.

2.1.Вариационные принципы строительной механики

Вариационные методы базируются на экстремальных свойствах потенциальной энергии, позволяющих получить необходимые расчетные уравнения.

Потенциальной энергией упругой системы называется та работа, которую совершают как внутренние, так и внешние силы системы при переводе ее из деформированного состояния в начальное, недеформированное. Пусть Э – полная потенциальная энергия системы, U, W – потенциальные энергии внутренних и внешних сил, тогда

Э = U + W.

Потенциальная энергия внутренних сил, линейно зависящих от деформации, всегда положительна и вычисляется как половина произведений сил на соответствующие перемещения. Потенциальная энергия внешних сил всегда отрицательна и определяется как полная величина произведения силы на путь.

2.1.1. Принцип Лагранжа – Кастильяно

Сформулируем общий принцип механики – начало возможных перемещений, имеющий важнейшее значение для теории упругих систем: если система находится в равновесии под действием приложенной нагрузки, то сумма работ внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях системы равна нулю.

Пусть упругое тело под действием внешней нагрузки, состоящей из поверхностных сил (Xν, Yν, Zν – компоненты вектора поверх-

24

ностных сил, который действует по нормали ν к поверхности S упругого тела) и объемных сил (ρX, ρY, ρZ – компоненты вектора объемных сил, который действует в объеме V упругого тела с плотностью материала ρ), получило напряжения Xx, Yy, Zz, ..., перемещения u, v, w и находится в состоянии равновесия (рис. 2.1). Назовем это состояние действительным (состояние I). В этом состоянии удовлетворяются условия равновесия и условия совместности деформаций Сен-Венана.

Рис. 2.1. Равновесие упругого тела в действительном (а) и фиктивном (б) состояниях

Представим себе другое, фиктивное, состояние тела (состояние II), в котором внешние силы, как поверхностные, так и объемные, суть вариации внешних сил действительного состояния: δXν, δYν, δZν, δρX, δρY, δρZ. Тогда напряжения и перемещения в этом состоянии будут представлять собой вариации напряжений и перемещений первого состояния: δXx, δYy, δZz, ..., δu, δv, δw. Выбор величины вариации внешних сил при этом произволен.

Применим начало возможных перемещений к состоянию I, взяв за возможные перемещения из состояния II, получим:

∫∫( Xνδu +Yνδν + Zνδw)dS + ∫∫∫ρ( X δu +Yδv + Zδw) dV −

S V

−δ ∫∫∫U0 (u,v, w)dV = 0,

V

25

где последний член выражает вариацию работы внутренних сил (U0 – удельная энергия внутренних сил); ее можно выразить через компоненты перемещений u, v, w. В этом уравнении Xν, Yν, Zν, X, Y, Z – постоянные неварьируемые величины. Поэтому можно знак вариации δ вынести за знаки интегралов. Меняя, кроме того, знаки на обратные, получим:

Равенство δЭ = 0 означает, что потенциальная энергия действительного состояния имеет экстремальное значение. Если взять вторую вариацию от функции Э, то можно убедиться, что она положительна. Следовательно, потенциальная энергия в состоянии равновесия минимальна.

Из всех мыслимых систем перемещений упругого тела перемещения, действительно имеющие место, сообщают потенциальной энергии минимальное значение. В этом заключается принцип Лагранжа, или принцип минимума для перемещений.

Применим теперь начало возможных перемещений к фиктивному состоянию тела, взяв за возможные перемещения действительного состояния. Получим:

Здесь уже u, v, w – постоянные неварьируемые функции, а U0 – удельная энергия внутренних сил, выраженная через напряжения и вызванная вариацией напряжений. Вынося знак вариации за знаки интегралов и меняя знаки на обратные, получим:

26

= δЭ(X x ,Yy ,... ) = 0.

Если в фиктивном состоянии положить вариации объемных сил равными нулю, то

Здесь Э1 – не полная потенциальная энергия, а энергия внутренних и поверхностных сил (не считая объемных). Равенство (2.2) означает, что потенциальная энергия внутренних и поверхностных сил в действительном состоянии имеет экстремальное значение. Можно показать, взяв вторую вариацию от Э1, что она положительна, т.е. Э1 имеет минимальное значение.

Из всех систем статически возможных напряжений, т.е. таких, которые находятся в равновесии с заданными массовыми силами, а на поверхности – с поверхностными силами, только та система имеет место в действительности, для которой энергия внутренних и поверхностных сил минимальна. В этом заключается вариационный принцип Кастильяно.

Принцип Кастильяно, как и принцип Лагранжа, утверждает, что энергия системы в действительном состоянии имеет минимальное значение. Однако он существенным образом отличается от принципа Лагранжа. В принципе Лагранжа варьируются перемещения, в принципе Кастильяно – напряжения.

Если из принципа Лагранжа как следствие вытекают уравнения равновесия внутри и на поверхности тела, то из принципа Кастильяно – уравнения неразрывности Сен-Венана.

Уравнение (2.1) называется вариационным уравнением Лагранжа, а (2.2) – вариационным уравнением Кастильяно.

27

Отметим два частных случая для выражений (2.1) и (2.2):

1. Предположим, что в фиктивном состоянии вариации внешних поверхностных и объемных сил выбраны так, что последние два интеграла уравнения (2.1) обратились в нуль.

Тогда в уравнении (2.1) остается следующее:

δ ∫∫∫U0 (u,v, w)dV = δU (u,v, w) = 0,

V

или

U (u,v, w) = min.

Это значит, что из всех систем перемещений, совпадающих с заданными на поверхности тела, только та имеет место в действительности, которая сообщает энергии внутренних сил минимальное значение.

2. Предположим, что в фиктивном состоянии вариации как поверхностных, так и объемных сил равны нулю, а вариации напряжений вызываются какими-либо иными воздействиями. Тогда в уравнении (2.2) остается следующее:

δ∫∫∫U0 (X x ,Yy ,...)dV = δU (X x ,Yy ,...) = 0,

V

или

Это значит, что из всех статически возможных систем напряжений, совпадающих с заданными на поверхности тела, только та имеет место в действительности, которая сообщает энергии внутренних сил минимальное значение.

2.1.2. Принцип Гамильтона

Пусть упругое тело находится в движении. Тогда мы можем по началу Д’Aламбера, добавив к действующей нагрузке силы инерции

28

мент времени t в состоянии равновесия. Применяя начало возможных перемещений и беря за возможные перемещения из состояния II, получим:

∫∫( Xνδu +Yνδv + Zνδw)dS + ∫∫∫ρ ( X δu +Yδv + Zδw)dV −

Здесь u, v, w, Xx, Yy, ... – функции координат x, y, z и времени t. Вынесем во всех интегралах, кроме третьего, знак вариации за интеграл и переменим знаки на обратные, получим:

Представим себе наряду с действительной траекторией движения некоторую близкую к ней траекторию, пересекающуюся с действительной в моменты времени t0 и t1 (рис. 2.2). Это значит, что мы варьируем компоненты перемещений u, v, w, подчиняя вариации условиям

при t = t0 и t = t1.

Рис. 2.2. Траектории движения точки упругого тела

29

Интегрируя (2.4) по времени в пределах от t0 до t1, получим:

Второй интеграл можно преобразовать, интегрируя по частям:

Первый объемный интеграл правой части ввиду условий (2.5) обращается в нуль. Второй интеграл представляет собой вариацию кинетической энергии δK.

Тогда из уравнения получим:

δt∫1 (K −Э)dt = 0.

t0

Иными словами, на участке действительного движения системы в промежутке времени t0–t1 интеграл

t∫1 (K −Э)dt

t0

принимает экстремальное значение. В этом заключается принцип Гамильтона, или принцип экстремума действия.

30