книги / Строительная механика машин

Максимальный изгибающий момент для квадратной пластинки в первом приближении отличается на 11,7 %. Для повышения точности решения необходимо увеличивать количество членов ряда.

2.3.2. Канонические уравнения Галеркина для изгиба пластинки

Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки имеет следующий вид [2] :

или

∆∆w = Dp .

Возьмем функцию прогибов w в виде (2.10), удовлетворяющую всем геометрическим и статическим граничным условиям задачи. Метод Галеркина требует, чтобы левая часть уравнения (2.15) после подстановки в нее ряда (2.10) была ортогональна ко всем функциям, составляющим этот ряд:

∫∫(D∑ai ∆∆ϕi − p) ϕk dxdy = 0 (i, k =1, 2, 3, ..., n). (2.16)

Развертывая сумму, вынося параметры за знаки интегралов, перенося грузовые члены вправо и деля все члены на параметр D, получим:

a1 ∫∫ ∆∆ϕ1 ϕ1dxdy + a2 ∫∫ ∆∆ϕ2 ϕ1dxdy + a3 ∫∫ ∆∆ϕ3 ϕ1dxdy +... = = ∫∫ Dp ϕ1dxdy,

a1 ∫∫ ∆∆ϕ1 ϕ2dxdy + a2 ∫∫ ∆∆ϕ2 ϕ2dxdy + a3 ∫∫ ∆∆ϕ3 ϕ2dxdy +... = = ∫∫ Dp ϕ2dxdy,

41

a1 ∫∫ ∆∆ϕ1 ϕ3dxdy + a2 ∫∫ ∆∆ϕ2 ϕ3dxdy + a3 ∫∫ ∆∆ϕ3 ϕ3dxdy +... =

Взаимность единичных интегралов δik и δki можно доказать путем интегрирования по частям, имея в виду, что ряд (2.10) удовлетворяет всем кинематическим и статическим граничным условиям.

Система (2.17) при известных интегралах δik и ∆pk позволяет найти параметры ai . Эта система носит название канонических уравнений Галеркина для изгиба пластинки. В первом приближении имеем одно уравнение с одним неизвестным параметром a1 , во втором приближении – два уравнения с неизвестными a1, a2 и т.д. Определив параметры ai , вносим их в ряд (2.10) и находим функцию

w(x, y).

Способ Галеркина в приложении к задачам механики можно трактовать как способ приближенного применения начала возможных перемещений. Действительно, дифференциальное уравнение равновесия (2.15) представляет равнодействующую всех внешних и внутренних сил, приложенных к элементу единичных размеров, ϕi есть возможное перемещение этого элемента. Условия (2.16) вы-

ражают равенство нулю работы всех сил на возможных перемещениях ϕi .

Пример 2. Рассмотрим в качестве примера изгиб прямоугольной пластинки, защемленной по всему контуру, под действи-

42

Возьмем для w(x,y) степенную функцию такого вида:

w(x, y) = a1 (x2 −a2 )2 (y2 −b2 )2 + a2 (x2 − a2 )2 (y2 −b2 )3 +... .

Данная функция удовлетворяет всем граничным условиям. Ограничимся первым приближением. Уравнение Галеркина (2.17) примет вид

a1δ11 = ∆p1,

и, следовательно,

43

Наибольший прогиб в центре пластинки при x = y = 0

= 0,0202 paD4 .

Наибольшее значение изгибающий момент принимает в середине сторон квадрата; при x = ±a, y = 0 найдем по первой из фор-

мул (2.14) максимальный момент: Мxmax = −0,205 pa2 . В центре пластинки Мx = 0,086 pa2 .

2.3.3. Уравнения Кастильяно – Ритца для изгиба пластинки

Вариационное уравнение Кастильяно (2.3) требует, чтобы в системе, находящейся в равновесии, обратилась в нуль вариация

энергии внутренних сил:

δU = 0 ,

где U выражается первым слагаемым формулы (2.7).

44

Энергия U зависит от трех неизвестных моментов: Μx, Μy, Μxy. Выберем для приближенного их выражения функции таким образом, чтобы момент Μxy отвечал граничным условиям задачи, а Μx и Μy удовлетворяли дифференциальному уравнению пластинки [2]:

Этого можно достичь, взяв для Μxy функцию в виде ряда

n

Μxy = ∑aiϕi (x, y) (i =1, 2, 3, ..., n), (2.19)

i=1

а для Μx и Μy функции такого вида:

здесь ψ(y) и ξ(x) зависят от одной лишь переменной. В частности, это могут быть постоянные.

Несложно убедиться, что функции (2.19) и (2.20) удовлетворяют уравнению (2.18). Из условия минимума потенциальной энергии

решение которых дает значения 3n неизвестных параметров. Если

45

Вторая и третья системы будут иметь аналогичный вид; надо лишь в уравнение (2.22) вместо ai поставить bi или ci .

Пример 3. Рассмотрим в качестве примера задачу, описанную в подразд. 2.3.2 (пример 2). Для прямоугольной пластинки, защемленной по контуру (см. рис. 2.3, б), примем за неизвестные изгибающие моменты Μx, Μy и крутящий момент Μxy. Имея в виду, что крутящий момент по контуру пластинки, а также вдоль линий x = 0, y = 0 равен нулю, а внутри контура меняется, как показано на рис. 2.7, примем для Μxy, ограничившись одним членом ряда, такую функцию:

Мxy = a1ϕ1 (x, y) = a1xy (x2 −a2 )(y2 −b2 ).

Рис. 2.7. Форма прогиба (w) и эпюра крутящего момента (Мху) при изгибе защемленной по контуру прямоугольной пластинки

Эта функция удовлетворяет указанным граничным условиям:

Μxy x=0 = Μxy y=0 = Μxy x=±a = Μxy y=±b .

Функции для Μx и Μy возьмем в соответствии с формулами (2.20) так, чтобы удовлетворялось дифференциальное уравнение изгиба пластинки:

46

Внося в полученные уравнения значения моментов Μx, Μy, Μxy и их производных, после интегрирования, подстановки пределов получим для a =b , µ = 0,3:

a1a14 0,0228 −a10 p 0,00066 = 0,

−a4 12p +b1a2 = 0.

Отсюда находим:

47

В характерных точках изгибающие моменты следующие:

Мxmax x=a, = −0,1742 pa2 ,

y=0

Таким образом, решение, выполненное в напряжениях с помощью уравнения Кастильяно – Ритца, хорошо согласуется с решением в перемещениях по методу Галеркина.

2.3.4. Уравнения устойчивости сжатой пластинки (уравнение Галеркина)

Дифференциальное уравнение искривленной формы равновесия потерявшей устойчивость пластинки имеет следующий вид [2]:

где Nx, Ny – погонные нормальные усилия в направлении осей координат х и у соответственно; Nxу – сдвиговые погонные усилия, действующие по касательной к контуру пластинки. Параметры Nx, Ny, Nxу называют также мембранными усилиями.

удовлетворяющего всем граничным условиям задачи. Тогда имеем:

48

Для определения параметров ai по Галеркину мы должны вне-

сти выражения w(x,y) и ее производные в уравнение (2.23) и составить n условий вида

Система (2.26) имеет ненулевое решение при условии равенства нулю определителя из всех коэффициентов δik . Записав это условие в виде:

49

получим уравнение n-й степени, корни которого составят n значений критического усилия Νx. В первом приближении (n = 1) имеем уравнение первой степени, во втором (n = 2) уравнение второй степени и т.д. Уравнение (2.27) называется уравнением Галеркина для устойчивости сжатой пластинки. В частном случае, если действуют одни лишь сжимающие силы Νx (Νy = Νxy = 0), обращаются в нуль коэффициенты α и β.

Этот метод позволяет решать задачи устойчивости пластин для различных случаев нагружения пластин.

2.3.5. Энергетический метод расчетов на устойчивость

Энергетический критерий потери устойчивости основан на рассмотрении потенциала всех сил, действующих на систему. Система находится в устойчивом равновесии, если ее полная энергия является минимальной.

Используя энергетический метод, С.П. Тимошенко в 1907 г. рассмотрел продольный изгиб стержня в упругой среде, а позже исследовал устойчивость пластин при различных условиях закрепления и оболочек.

Плоская форма равновесия пластинки является устойчивой, когда при каждом отклонении от плоской формы равновесия потенциальная энергия пластинки растет. В противном случае равновесное состояние пластинки оказывается неустойчивым.

При выходе из равновесия потенциальная энергия изгиба увеличивается и одновременно уменьшается потенциальная энергия сжатия. Равенство U = W дает критическое значение сжимающей нагрузки и сжимающего напряжения.

Для пластины при свободном опирании по контуру уравнение прогибов представляется в форме (2.11), тогда из уравнения (2.8) следует:

50